Теорема 41.2 (Признак сходимости несобственных интегралов). Пусть ( ) > 0 на [ , +∞).

Т.е. данный несобственный интеграл сходится.

Достаточность.

Заметим, что ( ) > 0, значит ( ) . Но тогда для ее сходимости достаточно ограниченности.

[:|||||:]

Часть 42

Признаки сравнения несобственных интегралов

1Простейшие признаки сравнения

Теорема 42.1. Пусть [ , +∞) 0 6 ( ) 6 ( ). Тогда:

Доказательство.

124

Теорема 42.2 (Первый признак сравнения (признак абсолютной сходимости)). Пусть

Теорема 42.3 (Второй признак сравнения). Пусть ( ), ( ) > 0 и lim ( ) = . Тогда

→+∞ ( )

Доказательство.

1.Из условия следует, что (( )) = + ¯o(1), т.е. ( ) = ( + ¯o(1)) ( ). По определению ¯o(1)

можно предъявить такое , что > |¯o(1)| 6 2 . Тогда

∫

и( ) .

125

2.Можно записать, что ( ) = ¯o(1) ( ). Аналогично, можно ограничить сверху ¯o(1) некоторой константой. Тогда ( ) 6 ( ). Но тогда, используя теорему 42.1, получаем то, что и требовалось доказать.

3.Если lim (( )) = +∞, то ( ) = ¯o(1) ( ) 6 ( ). Снова используем теорему 42.1.

→+∞

[:|||||:]

Данные признаки опираются на тот факт, что у нас уже есть некоторый интеграл, про который известно, сходится он или нет. Поэтому найдем следующий несобственный интеграл I рода для того, чтобы было на что «опереться» при использовании данных признаков:

Запись ( ) = O*( ( )), → означает, что lim ( ) = < ∞, причем ̸= 0. Т.е. это частный

→ ( )

случай O, которое говорит, что данное отношение функций ограничено.

Например, если требуется просто исследовать интеграл на сходимость, то необязательно считать его «честно». Пусть необходимо исследовать на сходимость следующий интеграл:

Непосредственное нахождение первообразной подынтегральной функции достаточно трудо-

А значит, по предыдущему следствию данный интеграл сходится. Заметим также, что в качестве нижнего предела в данном интеграле может выступать любое число > 1.

Для несобственных интегралов II рода можно получить практически аналогичный результат:

126

Комбинируя последние признаки, можно исследовать на сходимость интегралы наподобие этого:

2Абсолютная и условная сходимость

Здесь нам понадобится вспомнить первый признак сравнения (теорема 42.2).

sin2 6 12 , сходимость становится очевидной.

Следствие 42.6.

Доказательство. Напрямую следует из первого признака сравнения и | ( )| 6 | ( )|. [:|||||:]

Исходя из того, что из | ( )|, ( ) сходится/расходится, принято выделять следующие виды сходимости:

условно (некачественно).

3Признак Дирихле

1. Следующие 3 условия по сути эквивалентны:

(a) Первообразная функции ( ) ограничена, т.е. | ( )| 6 .

∫

(b) > ( ) 6 (обобщение предыдущего условия).

127