Доказательство. Рассмотрим функцию ( ) = ( ) − *( ). Требуется доказать, что ( )
∫
R[ , ] и ( ) = 0. Заметим, что ( ) ограничена (как разность ограниченных функций).
Пусть [ , ] | ( )| 6 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−−→ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
6 |
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( , ) = |
|
( )Δ |
|
|
( ) |
|
6 |
1 |
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[:|||||:] |
|||
Теорема 39.13. Пусть ( ) |
C[ , ] |
и ( ) > 0 |
при [ , ]. Пусть также 0 |
[ , ] : |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) = > 0. Тогда ∫ |
( ) > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство. Если ( |
) |
= > 0, |
|
то в силу непрерывности функции |
U( |
) : |
|
|
|
|||||||||||||||||
U( 0) ( ) > 2 . Тогда |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( ) = |
|
( ) + |
( ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[ , ] U( 0) |
|
|
U( 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Левая часть этой суммы по следствию 39.10 не меньше 0. Правая часть же точно больше
0, т.к. ( ) > |
> 0. Значит, и вся сумма больше 0. |
[:|||||:] |
2 |
|
|
Часть 40
Определенный интеграл Римана III
1Теоремы о среднем
1.1 Первая теорема о среднем
Теорема 40.1. Пусть выполнены следующие условия:3
1.( ) и ( ) R[ , ].
2.( ) знакоопределена на [ , ].
3., R : [ , ] 6 ( ) 6 .
( ) непрерывна на [ |
|
|
|
|
[ |
|
] : |
|
|
|
. |
|
||
|
],∫ |
то |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|||||
Тогда |
[ , ] : |
|
( ) ( ) = |
|
|
( ) . Если дополнительно справедливо, что |
||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
= ( ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. Без потери общности будем считать, что ( ) > 0. Тогда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
· ( ) 6 ( ) · ( ) 6 · ( ), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
( ) 6 ∫ |
( ) ( ) 6 ∫ |
( ) . |
||||||||
3И снова спасибо Александре Корытовой за предоставленную лекцию.
117