4Метод математической индукции

Теорема 2.7. Утверждение справедливо для всякого натурального , если:

1.Оно справедливо для = 1.

2.Из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального = следует его справедливость для = + 1.

Доказательство. От противного. Предположим, что утверждение справедливо не для всякого натурального . Тогда существует такое натуральное , что:

1.Утверждение для = несправедливо.

2.Для всякого , меньшего , утверждение справедливо (иными словами, есть первое натуральное число, для которого утверждение несправедливо).

Очевидно, что > 1, т.к. для = 1 утверждение справедливо (условие 1). Следовательно, − 1 — натуральное число. Выходит, что для натурального числа − 1 утверждение справедливо, а для следующего натурального числа несправедливо. Это противоречит условию 2. [:|||||:]

Часть 3

Предел числовой последовательности

1Числовые последовательности

Отображение N → будем называть последовательностью и записывать как 1, 2, . . . , . Отображение N →R будем называть числовой последовательностью.

Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если R (

R) : N 6 ( > ). Ч.п. { } ограничена, если R : N | | 6 . Ч.п. { } ограничена тогда и только тогда, когда { } ограничена сверху и снизу. Ч.п. { }

называется неограниченной, если R N : | | > .

{ } называется бесконечно большой, если R ( ) : > | | > . Всякая б.б.ч.п. является неограниченной, но обратное, вообще говоря, неверно. Например, рассмотрим следующую неограниченную последовательность:

= + (−1) +1 · . 2

Докажем, что 0 R : 0 > | 0 | < 0 (отрицание определения б.б.ч.п.). Можно

предъявить 0 = 1 : N 0 > : | 2 0 | = 0 < 1 = 0.

{ } называется бесконечно малой, если > 0 ( ) : > ( ) | | < .

2Свойства бесконечно малых числовых последовательностей

Пусть { } — б.м.ч.п.

17

1.{ } ограничена.

Доказательство. Как известно, > 0 ( ) : > | | < . Значит, для всех

3.Если { } — бесконечно малая, то { ± } и { · } — бесконечно малые.

Доказательство.

[:|||||:]

3Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей

18