Рассмотрим конкретный пример. Пусть ( ) = 2, ( ) = 2. Забудем про то, что — зависимая переменная. Тогда получим:

( ) = 4 = 4 3 2 = 12 2 2,= 2 2 = 2 2,

′( ) = 2 = 2 = 2 2 · 2 = 4 3 ,

′′( ) = 2 2 = 2 2 = 2 · 4 2 2 = 8 2 2 ̸= 12 2 2.

Как видно, выражение для получилось верным (в силу инвариантности 1 формы), а для

2 нет. Теперь вспомним, что на самом деле = ( ), и воспользуемся формулой 1:

2 = 2 2 +2 2 = 8 2 2 + 4 2 2 = 12 2 2.

3.3 Дифференцирование функции, заданной параметрически

водную функции , используя инвариантность первой формы дифференциала:

Часть 20

Равномерная непрерывность

1Равномерная непрерывность

Будем говорить, что функция ( ) равномерно непрерывна на множестве E, если

> 0 ( ) > 0 : ′, ′′ E, | ′ − ′′| < | ( ′) − ( ′′)| < .

Вспомним заодно определение непрерывности в точке 0:

> 0 ( , 0) > 0 : E, | − 0| < | ( ) − ( 0)| < .

Можно заметить, что равномерная непрерывность является глобальным свойством функции, в то время как обычная непрерывность — локальным. Действительно, при равномерной непрерывности предъявляется , зависящее от , но не зависящее от . При обычной непрерывности зависит в том числе и от 0, поэтому для каждого предъявляется свое значение

.

Теорема 20.1. Если ( ) равномерно непрерывна на E, то ( ) и непрерывна на E.

Доказательство. Если в определении принять ′ = 0, ′′ = , то получим определение непрерывности в точке 0, что можно сделать для 0 E. [:|||||:]

56

Теорема 20.2. Если ( ) равномерно непрерывна на E, то ( ) также равномерно непрерывна на любом E′ E.

Утверждение 20.3. Если ( ) непрерывна на E, то, вообще говоря, она не является равномерно непрерывной на E.

Доказательство. Приведем контрпример. Пусть ( ) = 2 и E = (1, +∞). Напишем отрицание определения равномерной непрерывности:

Таким образом, обратное утверждение неверно. На рисунке справа изображена некоторая непрерывная функция. Как видно, при одном и том же значении соответствующие -окрестности в точках 0 и ′0 разные. Если же мы хотим увеличить ′ (окрестность ′0) до , то нужно увеличить и соответствующее′. В случае ( ) = 2 для постоянного соответствующее будет неограниченно расти по мере роста . Для равномерной же непрерывности необходимо, чтобы возможно было зафиксировать некоторую и предъявлять ее для любого

.

Однако существуют условия, при которых непрерывная функция является и равномерно непрерывной.

Теорема 20.4 (Теорема Кантора). Если ( ) C[ , ], то ( ) равномерно непрерывна на

[ , ].

2Модуль непрерывности и колебание функции на отрезке

Пусть функция ( ) задана на отрезке [ , ]. Тогда величина

57

Теорема 20.5. ( ) равномерно непрерывна на отрезке [ , ] т.и.т.т., когда выполняется

> 0 ( ) > 0 : 0 < 2 − 1 < , [ 1, 2] [ , ] ( , [ 1, 2]) < .

Доказательство.

Необходимость. Пусть для произвольного > 0 найдется такое > 0, что для всех

1, 2 [ , ], | 1 − 2| < выполняется неравенство | ( 1) − ( 2)| < 2 . В таком случае для произвольных точек , [ 1, 2] получаем

Достаточность. Пусть > 0 > 0, такое что при 0 < 2 − 1 < , [ 1, 2] [ , ] выполняется неравенство ( , [ 1, 2]) < . В этом случае для отмеченных выше точек 1 и 2, связанных лишь соотношением 0 < 2 − 1 < , выполняется

| ( 1) − ( 2)| 6 ( , [ 1, 2]) < .

А это и гарантирует равномерную непрерывность функции на отрезке [ , ].

[:|||||:]

Теорема 20.6. Определенная на множестве E функция ( ) равномерно непрерывна на нем т.и.т.т., когда

lim ( , , E) = 0.

→0+0

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция равномерно непрерывна на множестве E:

> 0 ( ) > 0 : 1, 2 E, | 1 − 2| < | ( 1) − ( 2)| < 2.

Используя то, что при расширении числового множества его точная верхняя грань может только не убывать, получаем, что если 0 < ′ < , то

58