- •1 Аксиоматика множеств действительных чисел
- •Действительные числа
- •Изображение вещественных чисел бесконечными десятичными дробями
- •Изоморфизм
- •Мощность множества
- •2 Ограниченные и неограниченные множества
- •Ограниченные множества
- •Верхняя и нижняя грань
- •Теорема Архимеда
- •Метод математической индукции
- •3 Предел числовой последовательности
- •Числовые последовательности
- •Свойства бесконечно малых числовых последовательностей
- •Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей
- •Предел числовой последовательности
- •4 Сходящиеся последовательности
- •Свойства сходящихся числовых последовательностей
- •Предельный переход и неравенства
- •Теорема о двух милиционерах
- •5 Монотонные последовательности
- •Определение
- •Теорема Вейерштрасса
- •Число Эйлера
- •Система стягивающихся сегментов
- •6 Частичные пределы последовательности
- •Подпоследовательности
- •Частичные пределы
- •Критерий сходимости числовой последовательности
- •7 Критерий Коши
- •Фундаментальная последовательность
- •Критерий Коши
- •Телескопический признак сходимости
- •Покрытие множеств
- •Предельные точки множеств
- •9 Предел функции
- •Определения
- •Предел функции в точке по Коши
- •Предел функции в точке по Гейне
- •Эквивалентность формулировок
- •Односторонние пределы
- •10 Теоремы, связанные с понятием предела функции
- •Арифметические операции с пределами
- •Предел композиции функций
- •Предельный переход и неравенства
- •11 Критерий Коши существования предела функции
- •Критерий Коши
- •Асимптотическое сравнение функций
- •Свойства отношения эквивалентности
- •Замечательные пределы
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •Таблица эквивалентностей
- •12 Непрерывность функции
- •Понятие непрерывности
- •Свойства непрерывных функций
- •Арифметические операции над непрерывными функциями
- •Непрерывность композиции функций
- •Классификация точек разрыва
- •Точки разрыва монотонной функции
- •13 Локальные и глобальные свойства непрерывных функций
- •Локальные свойства
- •Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •Сохранение знака непрерывной в точке функции
- •Глобальные свойства
- •Прохождение непрерывной функции через 0 при смене знаков
- •Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение
- •Критерий непрерывности монотонной функции
- •14 Теоремы Вейерштрасса
- •Первая теорема Вейерштрасса
- •Вторая теорема Вейерштрасса
- •Производная функции
- •Понятие производной
- •Односторонние производные
- •Геометрическая интерпретация производной
- •Дифференцируемость функции
- •16 Теоремы о дифференцируемости функций I
- •Правила дифференцирования
- •Функции, заданные параметрически
- •17 Теоремы о дифференцируемых функциях II
- •18 Теоремы о дифференцируемых функциях III
- •19 Производные высших порядков
- •Определение
- •Формула Лейбница
- •Инвариантность формы дифференциала
- •Инвариантность первого дифференциала
- •Нарушение инвариантности для дифференциалов высших порядков
- •Дифференцирование функции, заданной параметрически
- •20 Равномерная непрерывность
- •Равномерная непрерывность
- •Модуль непрерывности и колебание функции на отрезке
- •21 Раскрытие неопределенностей
- •Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •Применение на практике
- •22 Формула Тейлора
- •Постановка задачи
- •Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа
- •Единственность разложения
- •Разложение по формуле Маклорена
- •23 Исследование функций методами дифференциального исчисления I
- •Условия монотонности функций
- •Условия точек экстремума
- •Асимптота графика функции
- •Выпуклость функции и точки перегиба
- •Геометрическая интерпретация выпуклости
- •Точки перегиба
- •25 Функции нескольких переменных
- •Определения
- •Классификация точек
- •Открытые и замкнутые множества
- •Окрестность точки
- •Предел функции
- •Функции двух переменных
- •Непрерывность
- •Частные производные ФНП и ее дифференциал
- •Необходимые условия дифференцируемости
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •27 Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала и правила дифференцирования
- •28 Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Смешанные производные
- •Второй дифференциал ФНП
- •29 Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала
- •Частная производная первого порядка
- •Касательная плоскость
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •30 Неявные функции
- •Понятие неявной функции
- •Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции
- •Теорема о разрешимости системы неявных функций
- •31 Безусловный экстремум функции нескольких переменных I
- •32 Безусловный экстремум функции нескольких переменных II
- •Необходимое условие локального экстремума в терминах второй производной
- •Критерий Сильвестра
- •Достаточное условие локального экстремума для функции двух переменных
- •Формула Тейлора и замена переменных для ФНП
- •Формула Тейлора в многомерном случае
- •Замена переменных в дифференциальных уравнениях
- •33-34 Условный локальный экстремум
- •Метод исключения для нахождения точек условного экстремума
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия существования условного экстремума по методу Лагранжа
- •35 Первообразная функция и неопределенный интеграл I
- •Основные определения
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Методы интегрирования
- •36 Первообразная функция и неопределенный интеграл II
- •Разложение многочлена на множители
- •Комплексные числа
- •Разложение многочлена на множители
- •Интегрирование рациональных дробей
- •37 Первообразная функция и неопределенный интеграл III
- •Некоторые тригонометрические выражения
- •Квадратичные иррациональности
- •38 Определенный интеграл Римана I
- •Разбиение отрезка
- •Свойства измельчения
- •Определенный интеграл
- •Необходимое условие интегрируемости
- •Критерий интегрируемости функции по Риману
- •39 Определенный интеграл Римана II
- •Интегральные суммы Дарбу
- •Достаточные признаки интегрируемости
- •Свойства интегрируемых функций
- •Безымянное свойство
- •Аддитивность
- •Линейность интеграла
- •Интегрируемость произведения
- •Неотрицательность определенного интеграла
- •Интегрируемость модуля
- •Ну и еще два свойства
- •40 Определенный интеграл Римана III
- •Теоремы о среднем
- •Первая теорема о среднем
- •Вторая теорема о среднем
- •Связь между определенным и неопределенным интегралами
- •Основная формула интегрального исчисления
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •41 Несобственные интегралы
- •Несобственные интегралы I рода
- •Несобственные интегралы II рода
- •Сходимость в смысле главного значения
- •Критерий Коши сходимости несобственных интегралов I рода
- •42 Признаки сравнения несобственных интегралов
- •Простейшие признаки сравнения
- •Абсолютная и условная сходимость
- •Признак Дирихле
- •Признак Абеля
- •43 Приложения интегрального исчисления к вычислению площадей
- •Многоугольные фигуры
- •Свойства площади
- •Квадрируемость фигуры
- •Критерии квадрируемости
- •Криволинейная трапеция
- •Параметрически заданная кривая
- •Площадь фигуры в полярной системе координат
- •Понятие кривой на плоскости и в пространстве
- •Длина дуги кривой
- •Объем тела вращения
- •Дифференцирование под знаком интеграла
- •Теория
- •Примеры
- •Вопросы для самопроверки перед коллоквиумом
- •45 Численные методы
- •Метод бисекции
- •Нахождение всех корней полинома
- •Метод Ньютона
- •Метод золотого сечения
- •Градиентный спуск
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Метод прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод Симсона
- •Различные равенства и неравенства
- •Тригонометрические тождества
- •Классика
- •Гиперболические функции
- •Предел числовой последовательности
- •Функции
- •Функции нескольких переменных
- •Таблица производных
- •Ряды Маклорена
- •Таблица неопределенных интегралов
- •Методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Метод Остроградского
- •Рационализация интегралов
- •Обобщенная формула интегрирования по частям
- •Более нестандартные примеры
- •Определенные и несобственные интегралы
3Классификация точек разрыва
1. Если lim ( ), но либо ( ) не определена в , либо данный предел не равен значению
→
в данной точке, то — устранимый разрыв. Иными словами, мы можем переопределить функцию в точке так, чтобы она стала непрерывной. Например, если переопределить
{
( ) = |
| |
sgn |
| |
как ( ) = |
| sgn |, |
если ̸= 0 |
, то она станет непрерывной в = 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
если = 0 |
|
||||
2. Если |
|
lim |
0 |
( ) = , |
|
lim |
|
|
, но |
̸= |
, то — разрыв I рода. Например, при |
|||
|
|
− |
|
|
+0 |
( ) = |
|
|
||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
= 0 в ( ) = sgn .
3.Если не существует или равен ±∞ хотя бы один из пределов lim ( ), lim ( ), то
→ −0 |
→ +0 |
— разрыв II рода. |
|
Важно отметить, что при классификации точек необходимо проверять сначала более
«сильные» критерии. Например, функция ( ) = |
1 |
в точке = 0 не |
определена. Однако, |
||||||
→0+0 |
∞ |
|
→0−0 |
−∞ |
|
|
|
|
|
, а |
, т.е. = 0 |
— точка разрыва II рода. |
|
||||||
lim ( ) = + |
|
lim ( ) = |
|
|
|||||
Будем говорить, что ( ) — кусочно-непрерывная на [ ; ], если ( ) непрерывна на нем за исключением конечного числа точек 1, 2, . . . , , в которых у ( ) существуют односторонние
пределы, а также существуют lim ( ), lim ( ).
→ +0 → −0
4Точки разрыва монотонной функции
( ) монотонно возрастает 1, 2 E : 1 < 2 ( 1) < ( 2).
( ) монотонно неубывает 1, 2 E : 1 < 2 ( 1) 6 ( 2).
( ) монотонно убывает 1, 2 E : 1 < 2 ( 1) > ( 2).
( ) монотонно невозрастает 1, 2 E : 1 < 2 ( 1) > ( 2).
Лемма 12.3. Если ( ) монотонна на [ ; ], то в любой точке из интервала ( ; ) существуют оба односторонних предела.
Доказательство. Без потери общности предположим, что ( ) на [ ; ]. Пусть точка
( ; ).
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим множество { ( )} — множество значений ( ) в точках ( ; ]. Оно не пусто, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.к. ( ) |
|
{ ( )}. Кроме того, |
{ ( )} является ограниченным |
снизу, т.к. ( ) > ( ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
; |
|
] inf{ |
|
( |
|
)} |
= |
. Докажем, что |
= |
|
lim |
( ). Поскольку = inf |
{ |
( ) |
} |
, то > 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ +0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(0; − ) : ( + ) < + . Т.к. |
( ) , то |
( ; + ) значения ( ) будут заведомо меньше |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ |
. Тогда получаем, что |
− |
< |
6 |
|
( |
|
) |
< |
+ |
|
| |
|
( |
|
) − |
|
| |
< |
|
|
lim ( ) = . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ +0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Теперь рассмотрим множество { ( )} — множество значений ( ) в точках [ ; ). Оно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
не пусто, т.к. ( ) |
{ ( )}. Кроме того, { ( )} является ограниченным сверху, т.к. ( ) 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
|
) |
|
[ |
|
; |
|
) sup{ |
|
( |
|
)} = |
. Докажем, что |
|
lim |
|
|
( |
|
|
. Поскольку |
= sup{ |
|
( |
|
)} |
, то |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= → −0 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
> 0 |
|
(0; − ) : ( − ) > − . Т.к. ( ) |
, то ( − ; ) |
значения ( ) будут |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заведомо больше − . Тогда получаем, что − |
< ( ) |
6 |
< + |
| ( ) − | < |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
( |
|
) = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[:|||||:] |
||||||||||
→ −0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
42