2. Транзитивность. Если , |
, то |
. |
→ |
→ |
→ |
Доказательство.
U′1( ) : U′1( ) ∩ E ( ) = ( ) · ( ).U′2( ) : U′2( ) ∩ E ( ) = ( ) · ( ).
Тогда при U′( ) = U′1( ) ∩ U′2( ) (пересечение не пусто, т.к. обе окрестности содержат в себе хоть какую-то бесконечно малую окрестность ) выполняется ( ) = ( ) · ( ) ×
× |
( |
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) |
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· |
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· |
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[:|||||:] |
||||||
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, т.к. lim( ( ) |
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( )) = lim ( ) |
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lim ( ) = 1. |
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|||||||||||||||||||||||
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|
|
→ |
|
|
|
→ |
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|
→ |
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|
→ |
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3. Если |
U′( ) : ( ) = 0 при |
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U′( ) |
, то |
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lim |
( ) |
= 1. Однако, если |
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lim |
( ) |
, |
||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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̸ |
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∩E |
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|
|
|
→ |
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( ) |
|
|
→ |
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( ) |
||||||||
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|
→ |
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||
то требование ( ) ̸= 0, ( ) ̸= 0 необязательно (см. первый замечательный предел). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
Будем говорить, что ( ) бесконечно малая по сравнению с ( ) при → , если |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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U′( ) : |
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U′( ) |
∩ E |
( ) = ( ) |
· |
( ), |
→ |
, где |
lim ( ) = 0. |
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|||||||||||||||
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||||||||||
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|
→ |
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|
|
|
Обозначается как ( ) = o( ( )), → или (что лучше на письме) ( ) = ¯o( ( )), → . Например:
2 |
= o¯ |
( ) |
, → ∞ |
2 = o(¯ ), |
→ 0 |
|||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
1 |
· |
1 |
|
|
2 = · . |
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||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||
Справедливо также свойство, похожее на 3, а именно, если ( ) ̸= 0 в U′( ), то = ¯o( )
lim ( ) = 0.
→ ( )
Если ( ) и ( ) — бесконечно малые функции при → и = o(¯ ), то функция ( )
бесконечно малая более высокого порядка малости.
Обозначения O и o¯ называются символами Ландау. Асимптотическое сравнение может быть очень удобным, поскольку при изучении поведения сложной функции позволяет с малой относительной погрешностью перейти к другой, более простой.
3 |
Замечательные пределы |
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3.1 |
Первый замечательный предел |
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lim |
sin |
= 1 |
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||||
|
|
→0 |
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Доказательство. Рассмотрим односторонние пределы lim |
sin и |
lim |
sin и докажем, что |
|||||
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→0+0 |
|
→0−0 |
|
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|
||
они равны 1.
Правый односторонний предел
37
A 
C
x B
O
Пусть (0; 2 ). Отложим этот угол на окружности радиуса . Тогда имеем:
= 12 2 sin ,
(сектор) = 12 2 ,
= 12 2 tg .
Из чего следует, что
0 < sin < < tg , |
|
|
|||||||
0 < 1 < |
|
|
< |
|
1 |
, |
|
||
sin |
cos |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
cos < |
sin |
< 1. |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но тогда по теореме о двух милиционерах получаем, что lim |
sin = 1. |
||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
→0+0 |
|
Левый односторонний предел
= −
lim |
sin |
= |
|
|
= − |
|
= |
lim |
sin(− ) |
= lim |
sin |
= 1. |
||
|
|
|
− |
|
||||||||||
→0−0 |
|
→ |
0 |
+ 0 |
|
→0+0 |
→0+0 |
|
||||||
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|
0 |
|
0 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
[:|||||:]
3.2 Второй замечательный предел
1
lim(1 + ) =
→0
Доказательство. Точно также рассмотрим отдельно правый и левый односторонние пределы.
правый |
|
} −−−→ |
{ |
} → |
|
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||||||
Пусть |
{ |
|
|
|
|
и при этом < 1. По теореме Архимеда |
||||||||
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1 |
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→∞ |
0 + 0 ( |
|
|
0, > 0) |
||||||
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1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
: |
6 |
|
|
< + 1 |
|
< 6 |
|
. { } → 0 + 0 { } → +∞ (доказывается от |
||||||
|
|
+1 |
|
|||||||||||
38
противного по теореме о двух милиционерах), тогда (возводим каждую часть неравенства в соответствующую ей степень из неравенства Архимеда, предварительно прибавив 1):
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(1 + |
|
+ 1) |
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6 (1 + ) |
+1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
< (1 + ) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
· ( |
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
−1 |
−−−→∞→ |
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|||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−−−→∞→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда по теореме о двух милиционерах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim (1 + ) |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
левый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
} −−−→ |
0 |
|
|
− |
|
0, < 0, > |
− |
1, |
= |
− |
|
|
{ |
|
} −−−→ |
0 + 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(1 + ) |
|
|
= (1 |
|
|
|
)− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 − |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
− |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
− |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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0 + 0 |
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1 |
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= |
|||||||||
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1 +1 |
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1 |
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−−−→∞→ |
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= (1 + |
) |
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= (1 + |
) |
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lim (1 + ) = . |
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· |
(1 + |
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) |
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→0−0 |
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||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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= . |
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→ |
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→1 |
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[:|||||:] |
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Значит, lim(1 + ) |
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→0 |
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3.3 |
Таблица эквивалентностей |
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Эквивалентность при → 0 |
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Равенство при = 0 |
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sin |
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2 |
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2 |
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sin = + ¯o( ) |
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1 − cos |
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cos = 1 − |
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+ ¯o( 2) |
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2 |
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2 |
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tg |
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tg = + ¯o( ) |
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arcsin |
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arcsin = + ¯o( ) |
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||||||
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arctg |
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arctg = + ¯o( ) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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− 1 |
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= 1 + + ¯o( ) |
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||||
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ln(1 + ) |
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ln(1 + ) = + ¯o( ) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(1 + ) |
|
|
− 1 |
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|
(1 + ) |
|
|
= 1 + + ¯o( ) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Докажем все эти утверждения: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
sin |
|
|
|
|
lim sin |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
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→0 |
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= 1 |
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|||||||||||||||||||
2. |
(1 |
− |
cos ) |
|
|
2 |
|
|
|
lim |
(1−cos )·2 |
|
|
= |
lim |
|
2·2 sin |
2 |
|
= lim |
4 sin |
2 |
= 1. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
→0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→0 4·(2 ) |
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
tg |
|
|
|
|
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|
|
|
lim tg |
|
|
|
|
lim sin |
|
|
|
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|
1 |
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|
|
. |
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
= |
|
· cos |
= 1 |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
→0 |
|
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|
→0 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
arcsin |
|
|
|
|
lim arcsin |
= [ |
= arcsin |
|
] = |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
→0 |
|
|
|
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|
|
|
→0 |
|
sin |
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
arctg |
|
|
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lim arctg = [ |
= arctg |
|
] = |
|
lim |
|
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= 1. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
→0 |
|
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|
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|
|
|
|
→0 |
|
tg |
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|
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39