2216

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

coskxdx 1 k 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

можно найти тригонометрический ряд, сходящийся к данной функции? Эта задача и будет решаться в данной лекции.

Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье

Пусть периодическая с периодом 2 функция f x такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале , , т.е. является суммой этого ряда:

	a
f x	2	a			sinnx .
f x	0	a	n	cosnx b	sinnx .
			n	n

n 1

(2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов ряда

(2). Это, например, будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т.е. сходится положительный числовой ряд.

a0	a	b	a	2	b	a	n	b	.
a0

2	1	1			2			n
2

(3)

Тогда ряд (1) мажорируем и, следовательно, его можно почленно интегрировать в промежутке от до . Используем это для вычисления коэффициента a0.

Проинтегрируем обе части равенства (2) в пределах от до

f x dx

an cosnxdx

bn sinnxdx

n 1

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в

первой части:

dx a0

;

an sinnx

an cosnxdx an

cosnxdx

	cosnx

bn sinnxdx bn sinnxdx bn		0.
	n

Следовательно, a20 dx a0, откуда

a0 f x dx.

(4)

Для вычисления остальных коэффициентов ряда нам потребуются некоторые определенные интегралы, которые мы и

рассмотрим предварительно.
Если	n и k – целые				числа, то			имеют место следующие
равенства: если n k, то:

	cosnxcoskxdx 0;


	cosnxsinkxdx 0; I , если же n k , то:



	sinnxsinkxdx 0;


	cos2 kxdx ;
	cos2 kxdx ;



	coskxsinkxdx 0; II


	sin			2	kxdx 0.
	sin				kxdx 0.
						1
Например, т.к. cosnxcoskxdx						1	cos n k x cos n k x , то
Например, т.к. cosnxcoskxdx							cos n k x cos n k x , то
					2
		1							1
cosnxcoskxdx		1	cos n k xdx						1	cos n k xdx 0.
cosnxcoskxdx		2	cos n k xdx						2	cos n k xdx 0.

Аналогично можно получить и остальные формулы группы

(I). Формулы группы (II) вычисляются непосредственно. Теперь мы можем вычислить коэффициенты ak и bk ряда (2). Для

разыскания коэффициента ak при каком-либо определенном значении k 0 умножим обе части равенства (2) на coskx:

	a0
f x coskx		coskx an cosnxcoskx bn sinnxcoskx .

2		n 1
(*)

Ряд, получившийся в первой части равенства, мажорируем, т.к. его члены не превосходят по абсолютной величине членов сходящегося положительного ряда (3). Поэтому его можно почленно интегрировать на любом отрезке.

Проинтегрируем равенство (*) в пределах от до :

f x coskxdx a20



bn sinnxcoskxdx
bn sinnxcoskxdx		.

coskxdx an cosnxcoskxdx

n 1

Принимая во внимание формулы (II) и (I), видим, что все интегралы в правой части равны нулю, кроме интеграла с

коэффициентом				ak .	Следовательно,
	f x coskxdx ak
	f x coskxdx ak	cos2	kxdx ak , откуда

			1
		ak		f x coskxdx.
		ak		f x coskxdx.
	(5)
	(5)
	Умножая обе части равенства (2) на sinkx и снова интегрируя

от до , найдем, откуда				f x sinkxdx bk	sin2 kxdx bk .

			1
		bk		f x sinkxdx.
		bk		f x sinkxdx.

(6)

Коэффициенты, определенные по формулам (4), (5) и (6),

называются коэффициентами Фурье функции f x , а

тригонометрический ряд (1) с такими коэффициентами называется

рядом Фурье функции f x .

Возвратимся теперь к вопросу, поставленному нами в начале лекции: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках (т.е. сходился именно к этой функции)? Достаточные условия представимости функции f x рядом Фурье дает следующая теорема:

Т е о р е м а. Если периодическая функция f x с периодом 2 кусочно монотонная и ограниченная на отрезке , , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s x равна значению функции f x в точках непрерывности функции.

y
		y

		f

		x


	x
y	f


f c 0		f c 0
f c 0

Рис.1

В точках разрыва функции f x сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции f x справа и слева (т.е. если x c – точка разрыва функции f x , то

s x x c		f c 0 f c 0	.

	2

Данную теорему мы приводим без доказательства. В лекции будет дано доказательство другого достаточного признака разложимости функции в ряд Фурье, который относится в некотором смысле к более узкому классу функций.

З а м е ч а н и я: 1) если функция f x – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке a, b , то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если x c есть точка

разрыва функции f x , то в силу монотонности функции

существуют пределы	f c	0 ,
lim f x	f c	0 ,	lim f x f c 0 ,
x c 0			x c 0

т.е. точка c есть точка разрыва первого рода (рис. 1);

2) из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных областях математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики.

Лекция № 24. РЯДЫ ФУРЬЕ (окончание)

Примеры разложения функций в ряды Фурье

Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье.

Примеры.

1. Периодическая функция f x с периодом 2 определена следующим образом:

f x x, x .

Эта функция кусочно-монотонная и ограниченная (рис. 1). Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье.

По формуле (4) лекции №23 находим

	1		1 x2

a0		xdx		0.

			2

Применяя формулу (5) лекции №23 и интегрируя по частям, найдем

1 ak

	1		sinkx	1

xcoskxdx		x			sinkxdx 0.
			k	k

По формуле (6) лекции №23 находим

	1		1		coskx
b		xsinkxdx		x
b		xsinkxdx		x	k
k					k

Таким образом, получаем ряд

f x 2	sin x		sin2x	sin3x	1	k 1 sinkx
								.

		1	2	3			k

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому её пределов справа и слева, т.е. нулю (рис. 1).

3				3
4	2	0	2	4	x

	Рис. 1
2. Периодическая функция f x с периодом			2 определена
следующим образом:
f x x	при	x 0,
f x x	при	0 x

(т.е. f x x ) (рис.2). Эта функция также кусочно-монотонная и ограничена на отрезке x .

5 x

Рис.2

Определим её коэффициенты Фурье:

		1		1	0
a	0		f x dx			x dx		x dx ,


							0

		1	0	x coskxdx			1	xsinkx	0	1	0

a	k					xcoskxdx						sinkxdx
								k		k

					0

xsinkx		1			1
xsinkx		1			1
				sinkxdx
k			k	sinkxdx	k
	0			0
	0

coskx	0	coskx


k		k
			0

2		0,			при k -четном;
2
	cosk 1	4		,	при k -нечетном;
	cosk 1	4
k2		k	2
		k

k		0
k
b	1		x sinkxdx
b			x sinkxdx
				0

Таким образом, получим ряд

xsinkxdx 0.

f x		4	cosx		cos3x		cos5x	cos 2p 1 x
									.

	2		12	32		52		2p 1 2

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции (рис.2).

3. Периодическая с периодом 2 функция f x определена следующим образом:

f x 1 при	x 0,
f x 1 при	0 x .

Эта функция кусочно-монотонная и ограничена на отрезке

x (рис. 3).

		3				2				0					2	3 x

										1
										Рис. 3
Вычислим её коэффициенты Фурье:
			1					1	0
a	0		1			f x dx		1		1 dx			x dx 0;
a						f x dx				1 dx			x dx 0;

												0
f x				4	sin x		sin3x				sin 2n 1 x
														.
						1	3				2n 1			.
						1	3				2n 1

	1		1	0
ak		f x coskxdx			coskxdx coskxdx

					0

xsinkx

coskx

sinkxdx

при

k -четном;

приk -нечетном.

	2	1 cosk

	k

З а м е ч а н и е. О разложении периодической функции в ряд Фурье.

Отметим следующее свойство периодической функции x с периодом 2 .

			2
		x dx		x dx, .

Действительно,		так	как	2 , то			полагая
x 2 , можно записать при c и d :
d	d 2				d 2	d 2
x dx		2 d			d	x dx.
c	c 2				c 2	c 2
В	частности,		полагая		c ;d ,		получим

x dx	x dx, поэтому

	2	2
	x dx x dx x dx	x dx


	x dx x dx x dx x dx.

Вывод. Интеграл от периодической функции x по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение.

Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования , промежутком интегрирования, 2 , т. е. можно положить (рис. 4)

4 2

Рис. 4

f x dx,

f x cosnxdx;

f x sinnxdx.

(1)

f x

4. Разложим в ряд Фурье функцию

с периодом 2 ,

которая на отрезке 0 x 2 задана равенством

f x x (рис. 5).

Эта функция на отрезке , задается двумя формулами:

f x x 2 на

, 0 и

f x x

на 0, .

В то же время на

отрезке 0,

функция

f x гораздо

проще задается

одной

формулой

f x x. Поэтому воспользуемся

формулами

(1) ,

приняв 0:

2	0			2		3		4	5	6	x
				Рис. 5
		1	2		1		2
	a0		f x dx				xdx 2 ;
	a0		f x dx				xdx 2 ;

0 0

	1	2	1	2	1	xsinnx		cosnx 2
an		f x cosnxdx		xcosnxdx										0;
							n		n	2
		0		0								0
	1	2	1	2	1	xcosnx			sinnx 2					2
bn		f x sinnxdx		xsinnxdx
							n		n		2				n
		0		0									0

Следовательно,

f x sin x 2sin2x 2sin3x 2sinnx

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Из определения четной и нечетной функций следует, что еслиx – четная функция, то

		x 0
x dx 2 x dx,		0 x	, от до 0.
	0	x x

Действительно,

x dx x dx x dx x dx x dx

			0	0	0

x dx x dx 2 x dx, что и требовалось доказать,

0 0 0

т.к. x x .

Аналогично можно доказать, что если x нечетная функция, то

x dx x dx x dx x dx x dx 0.

	0		0	0	0
Если	в ряд Фурье разлагается нечетная функция f x ,					то
произведение есть		функция		f x coskx	также нечетная,	а
f x sin kx	– четная
			1
		a0		f x dx 0;
		a0		f x dx 0;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021356.7 Кб4221.pdf
#
07.01.20214.09 Mб22210.pdf
#
07.01.20214.09 Mб152211.pdf
#
07.01.20214.09 Mб72212.pdf
#
07.01.20214.16 Mб72215.pdf
#
07.01.20214.17 Mб22216.pdf
#
07.01.20214.17 Mб62217.pdf
#
07.01.20214.17 Mб82218.pdf
#
07.01.20214.19 Mб262219.pdf
#
07.01.2021357.51 Кб2222.pdf
#
07.01.20214.2 Mб02220.pdf