2216

Пример.

y 2y 10y 0.

1.2 2 10 0; 1,2 1 9 1 3i; 1; 3.

2.Общее решение:

y1ex sin3x – частное решение. 3

Обобщения. Совершенно аналогично находится общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений n- го порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнений

yn p1 y n 1 p2 y n 2 pn 1y pn y 0, (1*)

здесь pi const , т.е. pi R. Для этого:

1) составляем характеристическое уравнение

n p1 n 1 p2 n 2 pn 1 pn 0; (2*)

2)решая его, находим n-корней;

3)по характеру корней выписываем частные линейно независимые решения:

а) любому однократному корню соответствует решение

e x ;

б) любому r-кратному корню соответствует r-линейно

независимых решений e x,xe x, ,xr 1e x ;

r

в) любой паре однократных комплексных сопряженных корней 1 i и 2 i соответствуют два решения

e x cos x и e x sin x;

г) любой r-кратной паре комплексных сопряженных корней1 i соответствуют 2r-линейно независимых решений:

e x cos x, e x sin x, xe x cos x, xe x sin x, x2e x cos x,

x2e x sin x, xr 1e x cos x, xr 1e x sin x.

В общей сложности мы получаем n линейно независимых решений y1, y2, , yn, и общее решения уравнения (1*) записываем в виде

y C1y1 C2 y2 Cn yn .

Примеры.

2.yV yIV y y 0.

5 4 1 0; 1 2 1 2 1 0;

1 2 1; 3 1; 4,5 0 1 i; ex,xex,e x,eox cosx,eox sinx.

y C1ex C2xex C3e x C4 cosx C5 sin x– общее уравнение.

Лекция № 6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Будем рассматривать уравнения вида y py qy f x

или

(1)

L y f x ,

где f x – данная функция, p,q R.

Покажем, что общее решение уравнения (1) можно представить в виде

y y y*,

(2)

где y общее решение однородного уравнения L y 0; y* какое-нибудь (любое) частное решение уравнения (1).

Частное решение y* обычно находят, ориентируясь на вид функции f x , методом неопределенных коэффициентов.

Действительно,

20

L y y* L y L y* 0 f x ; L y y* f x .

Функция (2) является решением зависит от двух

y* x Acos x Bsin x .

Примеры.

I. y 2y 3y 3x 1. Общее решение y y y*.

1) Находим общее решение однородного уравнения y:

2A 3 Ax B 3x 1;

3Ax 2A 3B 3x 1;

Итак, y* x 1.

2) Находим y* Acos2x Bsin 2x x;

y* Acos2x Bsin 2x 2xBcos2x 2xAsin 2x

A 2Bx cos2x B 2Ax sin 2x.

y* 2Bcos2x A 2Bx 2sin 2x 2Asin 2x 2 B 2Ax cos2x

4B 4Ax cos2x 4A 4Bx sin x 4Axcos2x 4Bxsin 2x 3sin 2x

.

З а м е ч а н и е. 2. Если правая часть неоднородного уравнения представляет сумму двух или нескольких функций, т.е.

y py qy f1 x f2 x ,

то общее решение имеет вид

y y y1 * y2 *,

где y общее решение однородного уравнения L y 0,

y1 * частное решение уравненияL y f1 x , y2 * частное решение уравнения L y f2 x .

Действительно,

L y y1 * y2 * L y L y1 * L y2 * 0 f1 x f2 x ,

что и доказывает наше утверждение.

Пример.

y 2y 3y 2e3x cosx, найдем общее решение в виде

y y y1 * y2 *.

1) Находим y:

y1* 3Ae3x 3 A Ax e3x 6A 9Ax e3x .

6A 9Ax 2A 6Ax 3Ax e3x 2e3x ;

4A 2; A 1 ; y1* 1 xe3x

2 2

3) Находим:

y2* Acosx Bsinx;

y2* Asinx Bcosx; y2* Acos x Bsinx;

Acos x Bsinx 2Asinx 2Bcos x 3Acos x 3Bsinx cos x;4A 2B cos x 4B 2A sin x cosx;

A 2B 0

4A 2B 1;

5A 1

A 1 0,2;

5

B 0,1.

Общее решение

уравнения:

Ln y 0.

(3)

Известно, что общее решение уравнения (1) равно сумме общего решения уравнения (3) и какого-нибудь решения уравнения (1). Решение неоднородного уравнения (1) можно получить методом вариации постоянных, если известно общее решение однородного уравнение (3). Уясним этот метод на примере уравнения третьего порядка.

Итак, пусть задано линейное уравнение третьего порядка y p2 y p1y p0 y f x .

(4)

Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения есть

y C1y1 x C2 y2 x C3y3 x ,

(5)

где y1, y2, y3 линейно независимые решения уравнения (3)

L yi 0; i 1,2,3 .

Будем искать частное решение неоднородного уравнения (4) в

функции, которые надо найти. Наложим на искомые функции Ci x два условия:

Тогда будет:

0

//

i 1

Но выражения в скобках в левой части этого равенства равны нулю, поэтому

3

Ci yi f x .

i 1

(7)

Таким образом, из уравнений (6) и (7) получим систему

i 1

3 C y f x ,

i i

i 1

(8)

относительно неизвестных C1 , C2 , C3 с определителем 0, потому что это есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений y1, y2, y3, играющих роль коэффициентов. Поэтому данная система имеет единственное решение

Ci x i x i 1,2,3 ,

где i непрерывные на a,b функции. Откуда

Ci x i x dx.

(9)

При этом функции Ci x имеют на a,b непрерывную производную частное решение неоднородного уравнения (1) имеет вид

y C1y1 x C2 y2 x C3y3 x ,

где функции Ci x определения равенствами (9).

Пример.

y 3y 2y e3x.

R2 k k2 3k 2 0; k1 1; k2 2.

Следовательно, общее решение однородного уравнения y C1ex C2e2x .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных C1 и C2 . Составим систему:

Решая систему, имеем C1 x e2x; C2 x ex.

как

y1 e2xex exe2x 1 e3x .

2 2

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет

вид

y C1ex C2e2x 1 e3x .

2

Лекция №7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Определение 1. Система уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных от искомых функций

xi fi t,x1,x2, ,xn ,i 1,2, ,n,

(1)

называется нормальной.

Определение 2. Решением нормальной системы (1) на a,b изменения аргумента t называется всякая система n функций

x1 x1 t , x2 x2 t , , xn xn t ,

(2)

дифференцируемых на интервале a t b, обращающая уравнения системы (1) в тождество.

Задача Коши для системы (1) формулируется так: найти решение системы (2), удовлетворяющее при t t0 начальным условиям:

x1 /t t0 x10, x2 /t t0 x20, ,xn /t t0 xn0 .

(3)

Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

dxi fi t,x1,x2, ,xn ,i 1,2, ,n, dt

(4)

непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным x1,x2, ,xn, то найдется интервал t t0 h0;t0 h0 , на котором существует единственное решение нормальной системы (2), удовлетворяющее начальным условиям (3).

Интегрирование нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Метод исключения продемонстрируем на примере:

x1 x2 x3;x2 x1 x3;

x3 x1 x2.

Продифференцируем по t обе части первого уравнения системы x2 и x3 вместо подставим их выражения через x1,x2,x3.

x1 x2 x3 2x1 x2 x3.

(5)

Дифференцируем равенство (5) и подставим вместо x1,x2,x3 их выражения через x1,x2,x3.

Получим

x1 x2 x3.

(6)

Выразим из первого уравнения системы и уравнения (5)x2 и

x3:

(7)

и подставим их в уравнение (6).