Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2216

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Рис. 1

F x, y,z 0

Поверхность

–

гладкая,

если

существует и

непрерывна производные

в любой точке поверхности,

причем одновременно не обращаются в нуль.

Проделаем следующие операции:

1. Разобьем кусок поверхности на n произвольных участков

с площадями i

, max i .

На каждом

участке

выберем

произвольную

точку

Mi xi, yi,zi и рассмотрим на каждом участке два вектора:

a M

P x , y

i Q x , y

j R x

, y

k , ni

где

–

нормальный

вектор

точке

Mi , единичный

вектор

нормали.

Mi i

Mi j

Mi k;

ni cos i

i cos i

j cos i k,

где i ni Ox, i ni Oy, i ni Oz. 3. Составим интегральную сумму:

n	n
ai ni i	P xi, yi ,zi cos i Q xi, yi ,zi cos i

i 1 i 1R xi, yi,zi cos i i .

Тогда lim a		n		def
			i
n	i	i

P x, y,z cos Q x, y,z cos R x, y,z cos d

ai ni d .

(1)

Физический смысл поверхностного интеграла

Пусть вектор a x, y,z задает скорость течения жидкости через поверхность F , тогда интегральная сумма приближенно определяет объем жидкости через кусок поверхности F в единицу времени в направлении нормали к поверхности (рис. 2). Действительно, поток через элементарную поверхность определяем, как

i Прni i H i Прniai i

ai	,ni	a		,n		.
		a		,n		.
			i	i	i
	n
	n
	i

Рис.2

Переходя к пределу, получим

ai ni d ,

который определяет поток жидкости через кусок поверхности F

со скоростью течения a x, y,z .
Вычисление интеграла.		Пусть кусок поверхности F задан
уравнением	F x, y,z 0,	которое	однозначно разрешимо
относительно	любых неизвестных,		n cos cos cos –

единичный вектор нормали, т.е. уравнение можно представить в следующих трех равносильных формах:

z f x, y y g x,z x h y,z .

(2)

Dyz

d yz

d xz	n
	n
Dxy

0	y

d xy

x Dxy

Рис. 3

Геометрически это означает, что прямые, параллельные осям координат, пересекают поверхность равно в одной точке. Спроецируем поверхность на все три координатные плоскости

(рис. 3).

Получим на них плоские области Dxy, Dyz, Dxz . Если

элементарную площадку d (площадка лежит на плоскости, касательной к поверхности) спроецировать на координатные плоскости, то:

d xy dxdy; d xz dxdz; d yz dydz;

d xy d cos ;

d yz d cos ;

d xz d cos ,

(3)

здесь «плюс» – если угол острый, «минус» – если угол тупой, Из формул (1), (2) и (3) следует, что поверхностный интеграл

сводится к трем двойным:

ai ni d P x, y,z cos Q x, y,z cos R x, y,z cos d

P x, y,z cos d Q x, y,z cos d R x, y,z cos d

d yz

d xz

d xy

R x, y, f x, y dxdy Q x,g x,z ,z dxdz P h y,z y,z dydz.

Dxy Dxz Dyz

Пример.
Вычислить ai ni	d , где F кусок плоскости x 2y 2z
F
2 0, вырезанный первым октантом a yi xj zk (рис. 4).
	z
	B	1
	B	n
		C
	A	1	y
x	A
x	2	Рис. 4
		Рис. 4

AC x 2y 2 0;

AB x 2z 2 0;

BC y z 1 0;

0 x 2;

0 y 1;

0 x 2;

2 x

Dyz :

2 x

Dxy :

Dxz :

0 y

;

0 z 1 y;

0 z

или

0 y 1;

0 z 1;

0 x 2 2y;

0 x 2 2z.

ai ni d

y cos ni Ox xcos ni Oy zcos ni Oz

2 x 2y

dxdy xdxdz ydydz

Dxy

Dxz

Dyz

2 2y

2 2z

1 y

2 x 2y

dx dz xdx ydy dz

1 y

dy 2 1 z dz y 1 y dy

1 y 3 1			y2			y3 1			1	1	7
3								1				.
	3			2					2
		0			3		0			3	6

Лекция № 14. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

	Основной формулой	интегрального исчисления функции
y f x является формула Ньютона-Лейбница
	b
	f x dx F b F a ,
	a
где		вычисление интеграла сводится к
где	f x F x , т.е.	вычисление интеграла сводится к

вычислению значений первообразной на концах отрезка a,b . Для функции многих переменных интегралы по плоским и

пространственным областям сводятся к интегралам по границам этих областей.

1. Формула Грина.

Пусть задана плоская правильная область D (рис. 1), граница которой является гладкой кривой D, и функции P x, y и Q x, y имеют в области D и на границе D непрерывные частные производные по x и y, тогда имеет место формула Грина (положительное направление выбирается против хода часовой стрелки):

	Q	P			P x, y dx Q x, y dy.
			dxdy

	x	y
D				D

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о

yy 2 x

	A			D		B
	A			D		B




			y 1 x

0		a			b	x

Рис. 1

a x b;

x .

dxdy

;

2 x

dxdy dx

dy dx P x, y

1 x

P x, 2 x dx P x, 1 x dx

P x, y dx

P x, y dx.

P x, y dx

B A

A B

Аналогично, представив область D:

c y d;

y ,

получим

x dxdy Q x, y dy.

D D

Тогда

Q x, y dy

P x, y dx

dxdy

P x, y dx Q x, y dy,

что и требовалось

доказать.

Вывод. Формула Грина позволяет вычислять криволинейные интегралы 2-го рода (на плоскости) по замкнутому контуру, сводя их к двойным.

Пример.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода по заданной плоскости (рис. 2), сведя его к двойному интегралу

x y2 dx y x2 dy

Рис. 2

P x, y x y2 ; Q x, y y x2.

2x;

2y.

0 x 1;

x y x.

Pdx Qdy

dxdy

– формула Грина.

dx y x2 dy 2x 2y dxdy

x y2

y2 x

x3 1

2 dx x y dy 2 dx xy

4 x

dx 4

2 x

С другой стороны, площадь замкнутого контура можно определить при помощи криволинейного интеграла по его границе

(рис. 3), согласно формуле S 12xdy ydx.

S 1 xdy ydx

2 C

Рис. 3

2. Формула Остроградского-Гаусса.

Пусть задана пространственная область V , ограниченная

гладкой поверхностью V

и пусть функции

P x, y,z , Q x, y,z ,

R x, y,z

и их

производные

– непрерывны как

внутри области V , так и на поверхности V , тогда имеет место

формула Остроградского-Гаусса

Pcos Qcos Rcos d ,

(2)

где n cos ,cos ,cos

–

единичный

вектор нормали к

поверхности V , направленный во внешнюю сторону области

V (рис. 4).

Спроецируем область V на плоскость Oxy и докажем, что

			R
			R
				dV Rcos nOZ d .
			z	dV Rcos nOZ d .
		V				V
нижний кусок V F1, верхний – F2 :
		z						n
		z						z 2 x, y
		k			n		n	z 1 x, y
					n		n

		i			j			y
		x						d xy
								d xy
						Рис. 4
	R			2 x		R		d xy R x, y,z	2 x
		dV d xy					dz		1 x
	z	dV d xy					dz		1 x
V	z	D			x	z		D
		xy		1				xy

R x, y, 2 x, y d xy R x, y, 1 x, y d xy

Dxy


R x, y,z cos nOz d	R x, y,z cos nOz d
F2	F1

R x, y,z cos nOz d .

Аналогично, проецируя на плоскость Oxz докажем, что

Q dV Qcos nOy d .

V V

Проецируя на плоскость Oyz имеем

P dV Pcos nOX d (2).

V V

Вывод. Формула Остроградского-Гаусса позволяет сводить поверхностный интеграл по замкнутой поверхности к тройному интегралу по пространственной области.

Пример.			иначе ai ni d ,
Вычислить ycos xcos zcos d ,
		V	V
где a yi x j zk . Область V задается			координатными

	Q	R
P

плоскостями и плоскостью x 2y 2z 2 0 (рис. 5).

y 2z 2 0

x 2

Рис. 5


													0 y 1;
												D:	0 x 21 y ;
																			2 x 2y
															0 z				2 x 2y
																										;
																								2		;
ai ni																								2
ai ni			d ycos xcos zcos d
V						V
		P				Q				R						0 0 1 dx

												dx
	V	x				y				z					V
											2 1 y				2 x 2y										2 1 y
								1			2 1 y				2					1			1		2 1 y
dxdydz dy												dx			dz					1		dy			2 x 2y dx
dxdydz dy												dx			dz					2		dy			2 x 2y dx
	V							0			0				0								0		0
	1	1					x2					2 1 y					1	1									2
		dy 2x							2xy									4 1 y 2 1 y 4y 1 y												dy
	2	dy 2x					2		2xy								2	4 1 y 2 1 y 4y 1 y												dy
		0										0						0
	1			1 y 2							1 y 3			2y			2	4			y		3	1	1			4			1
		4						2																			2 0 2		2 1
	2	4			2			2			2																2 0 2	3	2 1
	2				2						2							3						0	2			3			3

V 1. 3

3. Формула Стокса.

Пусть задан кусок гладкой поверхности с краем ( – замкнутая пространственная кривая). Если функции P x, y,z , Q x, y,z и R x, y,z и их частные производные по всем аргументам непрерывны как по поверхности , так и на границе, то имеет место формула Стокса:

cos nOx

cos nOy

cos nOZ d

Pdx Qdy Rdz.

(3)

Без доказательства.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021356.7 Кб2221.pdf
#
07.01.20214.09 Mб22210.pdf
#
07.01.20214.09 Mб122211.pdf
#
07.01.20214.09 Mб62212.pdf
#
07.01.20214.16 Mб52215.pdf
#
07.01.20214.17 Mб12216.pdf
#
07.01.20214.17 Mб62217.pdf
#
07.01.20214.17 Mб52218.pdf
#
07.01.20214.19 Mб192219.pdf
#
07.01.2021357.51 Кб1222.pdf
#
07.01.20214.2 Mб02220.pdf