2216

z n

n

0 y

x

Рис. 6

З а м е ч а н и е. Направление нормали к поверхности и направление обхода по контуру должны быть согласованными

– составлять правый винт (рис. 6).

Лекция № 15. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Определение. Если в пространстве задана вектор-функция трех аргументов a x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k , то

говорят, что задано векторное поле. В частности, если a не зависит от времени t, то поле называется стационарным.

Для характеристики векторных полей вводят понятия: линия тока, поток векторного поля и дивергенция, циркуляция по контуру и ротор.

Определение. Линиями тока или векторными линиями

называют такие линии, касательные к которым в любой точке совпадают с вектором, заданным в этой точке (рис. 1).

виде.

Запишем линии тока в векторном виде

(1)

Из системы дифференциальных уравнений (1) определяются линии тока.

Пример.

На плоскости задано векторное поле a x, y yi x j . Найти векторные линии.

Запишем уравнение векторных линий в форме r x t i y t j.

dr dxi dy j ||a yi xj в любой точке.

окружностей (рис. 2).

y

0

x

Рис. 2

Поток векторного поля, дивергенция

Пусть задано векторное поле:

a x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k ,

будем считать, что оно задает поле скоростей несжимаемой жидкости. Возьмем в пространстве площадку ( может быть

плоской или куском поверхности), т.е. M a M . Тогда поток жидкости через площадку выразится интегралом (рис. 3):

a nd ,

(2)

a M M

n

Рис. 3

в произвольном векторном поле интеграл (2) называется потоком вектора через площадку .

Возьмем M x0, y0,z0 и окружим её произвольной гладкой замкнутой поверхностью V , ограничивающей объем V (рис. 4). Нормали к поверхности V направим во внешнюю сторону. Поток

векторного поля через V

a nd

V

(3)

характеризует производительность источников внутри объема V , т.е. если 0, в области V имеются источники, 0 – стоки,

0, нет ни источников, ни стоков, сколько втекает, столько же

ивытекает. Так, например, будет для любой области,

расположенной в потоке воды, текущей в реке. Если –

V

производительность источников в единице объема, если lim , то

V 0 V

получим производительность источников в точке. Эта производительность, а в поле скоростей интенсивность называется дивергенцией (divergentia) – расхождение векторного поля в точке

M .

M

Рис. 4

Определение. Дивергенцией векторного поля в точке M называется число:

Т е о р е м а 1. Если функции P x, y,z , Q x, y,z , R x, y,z и их частные производные непрерывны в области и на её границе, то

diva M 2 2 1 1. 4 4

В точке M имеется источник мощностью 1.

4

З а м е ч а н и я:

1) через diva формула Остроградского-Гаусса записывается компактно:

divad a nd .

(5)

2) через оператор Гамильтона сама дивергенция записывается тоже компактно:

diva a ,

(6)

здесь скалярное произведение оператора на вектор a.

ad a nd .

Циркуляция по замкнутому контуру, ротор

Будем считать, что векторное поле

a x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k

является силовым, т.е. M a M F – сила

A2

a M F

A1

Рис. 5

Возьмем в пространстве произвольную A1A2 , в любой точке

M A1A2определена сила F M (рис. 5). Под действием этой силы можно совершить работу по перемещению материального

тела из A1 в A2 по A1A2 . Эта работа называется линейным интегралом векторного поля вдоль A1A2 :

(7)

Линейный интеграл вдоль замкнутого контура, называется

циркуляцией по этому контуру:

Pdx Qdy Rdz adr .

плоской площадкой с площадью S , перпендикулярной e, согласуем направление на контуре s этой площадки с e (правый винт).

Рис. 6

Вычислим в любом направлении e в точке M0 скалярную

adr

позволяют построить в любой точке вихревой вектор (ротор) rota, считая, что

adr

Прerota lim s .

s 0 S

(9)

Те о р е м а 2. Если функции P x, y,z , Q x, y,z , и R x, y,z

иих частные производные непрерывны в точке M и её окрестности, то

З а м е ч а н и е. Выражение rota позволяет компактно записать формулу Стокса

rota nd a dr .

идать следующую формулировку теореме Стокса.

Те о р е м а Стокса. Циркуляция вектора a по замкнутому

произвольную поверхность , имеющую своей границей контур

(рис. 9).

rota

Рис. 9

rota – аналог угловой скорости вращения .

Лекция № 16. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (окончание)

Потенциальные векторные поля

Определение. Векторное поле называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторой скалярной функции u u x, y,z , т.е.

a x, y,z gradu.

Свойства потенциальных полей

10 . Линейный интеграл потенциального поля не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от конечных точек пути

(рис. 1), т.е.

a dr u M2 u M1 .

M1M2

M2

du u M2 u M1 .

M1

20. Циркуляция по любому замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю, т.е. a dr 0 (рис. 2).

M2 M1 M1 M2 0.

30. Для того, чтобы векторное поле, заданное вектором a x, y,z P x, y,z i Q x, y,z j R x, y,z k ,

было потенциальным, необходимо и достаточно, выполнение следующие условия: rota 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о