Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2216

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

4.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

т.к. V V2 V2 20.

30. Т е о р е м а о среднем:

f x, y dxdy f , SD ,

где существует точка , D. То есть объем цилиндрического тела равен объему цилиндра с площадью основания SD и высотой

f , .

Повторные интегралы по правильным областям и их свойства

Определение. Плоская область D называется правильной в направлении оси Oy, если она ограничена прямыми x a x b и кривыми y 1 x и y 2 x (рис. 7).

Координаты любой точки области D удовлетворяют неравенствам:

a x b;
		x y			x .
		x y		2	x .
	1			2
y			y 2 x
			y 2 x
							D

			y 1			x	x
							x
0		a	x			b

Рис. 7

Определение. Повторным интегралом по правильной в направлении оси Oy области D от функции f x, y называется

число, полученное следующим двукратным интегрированием:

	b 2		x
JD		f		x, y dy
JD		f		x, y dy	dx,
		1	x
	a	1	x

при интегрировании в скобках x считается const.

Пример.

Вычислить повторный интеграл по области (рис. 8)

						0 x 1;
							y 1.
						x2	y 1.
					y
					1	y 1
					1					y x2
										y x2
						M
										x
										x
					0	x			1
						Рис. 8
	1 1		2		1		y	3	1	1	1 3		x	6
			2				y				1 3		x
JD x y dy dx
					xy							x
					xy		3			dx x	3	x	3		dx
	0 x2				0		3		x2	0	3		3
x2		x	x4	x7 1	15	.

	2	3	4
	2	3	4	21 0	28
Определение. Область D называется правильной в
направлении оси Ox, если она ограничена прямыми y c,														y d и

кривыми x 1 y , x 2 y (рис. 9).

Координаты любой точки области D удовлетворяющие неравенствам:

c y d;

1 y x 2 y .

x 1 y

x 2 y

M y

Рис. 9

Определение. Повторным интегралом по правильной в

направлении оси Ox области			D от функции f x, y называется
число	d 2 y
	d 2 y
JD			f	x, y dx
JD			f	x, y dx	dy,
		1 y
	c	1 y

при интегрировании в скобках y считается const.

Пример.

Вычислить повторный интеграл по области (рис. 10)

									0 y 1;

															y.
									0 x						y.
								y			y 1
								1			y 1
								1
																	y x2
								y				M					y x2


								0						1						x
										Рис. 10

																			y
	1		y						1			x2							y	1	y
	1								1			x2								1	y
JD dy x y							2							y		2	x						y	5 2	dy

								dx dy														2
	0	0							0			2						0		0		2
y2		2		y	7 2	1		1 2 15					.

	4
	4	7				0		4	7		28

З а м е ч а н и е. Области, правильные в обоих направлениях, называются просто правильными (рис. 11).

c
0	а	b	x
		Рис. 11

a x b;

c y d;

x y

1 y

y .

По правильной

области

от

f x, y

можно составить 2

повторных интеграла:

2 x

JD dx f x, y dy;

1 x

2 y

JD* dy

f x, y dx.

c 1 y

Геометрически правильные области обладают тем свойством, что прямые параллельны Ox и Oy, пересекают границу области не более чем в двух точках (рис. 12, а), б)).

а) y	Неправильная	б)	y	Неправильная
	в направлении y

Рис. 12

Свойства повторных интегралов

10 . Геометрический смысл повторного интеграла. Повторный интеграл по правильной в каком-либо

направлении области D от функции f x, y равен объему цилиндра, ограниченного снизу областью D, сверху поверхностью z f x, y , а по бокам прямыми, параллельными оси Oz (рис. 13).

Д о к а з а т е л ь с т в о Пусть область D правильная в направлении Oy.

a x b;
		x y		x .
	1		2

Построим цилиндрическое тело, указанное в определении свойства 10 , и возьмем x a,b .

Рассмотрим

z f x, y			z f x, y
			z f x, y
	S x
y
y2			y 2 x
y2
y1			y x
			1
a	x	b	x
	Рис. 13
b	2 x

JD dx f x, y dy.

		a	1 x
	2	x	y2
y1 1 x ; y2 2 x .	f x, y dy f x, y dy Sкр.тр.			S x –
	1	x	y1

площадь поперечного сечения цилиндрического тела.

JD S x dx Vц.т .

20. Повторные интегралы по правильным областям не зависит от порядка интегрирования, т.е. JD JD* .

b 2 x d 2 y

dx f x, y dy dy f x, y dx.

a 1 x c 1 y

Лекция № 10. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

КПОВТОРНЫМ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ

ВДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Вычисление двойных интегралов ведется на основании теоремы.

Т е о р е м а. Двойной интеграл по правильной области D от

функции	f x, y равен повторному интегралу по этой области от
этой же функции, т.е.		2 x		2 y
	b		d
f x, y dxdy dx f x, y dy dy				f x, y dx.
D	a	1 x	c	1 y

Д о к а з а т е л ь с т в о Следует из геометрического смысла двойного и повторного

интегралов.

Пример.

Вычислить xydxdy по области (рис. 1)

Первый способ: представим область D, в виде

0 x 1; D: 0 y x2;

1 x 2;

0 y 1;

y 1

					0		x	1		x 2			x
									Рис. 1
										1		x2	2	1
xydxdy				,		т.е. xydxdy xdy ydx xdy ydx
D		D1		D2			D			0		0	1	0
1	x5		1	2	1		3	10		5
		dx		xdx							.
	2	dx	2	xdx	12		4	12		6	.
0				1

Второй способ: представим область D, как единую (рис.2)

0 y 1;

y x 2.

y x2

								M				y
	y							M

															x


	0					1				2


					Рис. 2
				1			2				1		x2				2
xydxdy ydy							xdx y												dx
xydxdy ydy							xdx y							2					dx
D				0							0
								y
								y										y
1			y						y3		1			5
			y						y3					5
y		2		dy y2												.
y		2	2	dy y2					6							.
0			2						6		0			6

Зададим f x, y dxdy и сделаем замену его переменных по

формуле

x u,v ;

y u,v .

(1)

Составим по формуле (1) определитель 2-го порядка, который называется Якобианом замены переменных:


x	x
u	v	.
y	y
u	v

(2)

Т е о р е м а. Если 0 в области D, то имеет место формула

f x, y dxdy f u,v , u,v dudv.

D	D*
(3)
Пример.

Вычислить x y 3 x y 2 dxdy по области ABCD (рис.3).

1 C

Рис. 3

x y 1;	AB
	CD
x y 3;	CD
	AD
x y 1;	AD
	BC
x y 1;	BC

0 x 1;

1 x y x 1;

1 x 2;

x 1 y 3 x.

Сделаем замену переменных, положив:

x y u;	x	1	u v ;		1		1
	x		u v ;
		2			2		2			1	.
										1

x y v;	y	1	u v ;			1		1	2
x y v;	y	2	u v ;		2				2
		2			2		2
В результате замены, получим область D* (рис.4)
	u 1;
				1 u 3;
	u 3;			1 u 3;
	D*:
	v 1;			1 v 1.

v 1;

y
1				x
1

0	1			3
1
1		Рис. 4
		Рис. 4
x y 3	x y 2		dxdy u3v2		1	dudx
					1
					2
D			D*

1 u3du v2dv 20.

Двойной интеграл в полярных координатах (рис. 5).

Рис. 5

def

M OM xi yi M x, y .

M x, y – декартовы координаты точки

M ;

–

M ,

полярный радиус; OM OX

–

полярный

угол;

–

полярные координаты точки M .

0; 0 2 .

Формулы перехода:

x cos ;

;

y sin ;

(4)

В f x, y dxdy сделаем замену переменных по формуле (4):

x cos ;

sin

cos

y sin ;

cos

sin

xydxdy f cos , sin d d

(5)

где D* – область D в полярных координатах.

Формула (5) называется формулой перехода к полярным

координатам.
Пример.
Вычислить							x2 y2
Вычислить			1 x2 y2		dxdy по области D:		x2 y2	1.
		D
а)	y				б)	y
D

	0
	0
1			1	x			0	x
							0

Рис. 6

Область D рассмотрим в виде (рис. 6, а))

D:	1 x 1;


	1 x2 y 1 x2 .

Перейдем к полярным координатам (рис 6, б))

0 2 ;

0 1.

Воспользуемся формулой (5):

1 x2 y2 dxdy 1 2 cos2 2 sin2 d d

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021356.7 Кб2221.pdf
#
07.01.20214.09 Mб22210.pdf
#
07.01.20214.09 Mб122211.pdf
#
07.01.20214.09 Mб62212.pdf
#
07.01.20214.16 Mб52215.pdf
#
07.01.20214.17 Mб12216.pdf
#
07.01.20214.17 Mб62217.pdf
#
07.01.20214.17 Mб52218.pdf
#
07.01.20214.19 Mб192219.pdf
#
07.01.2021357.51 Кб1222.pdf
#
07.01.20214.2 Mб02220.pdf