2216

P x, y dx Q x, y dy 0. (2*)

Пример.

y x y dy x y x y dx xydy 0. xy dx xy

Исходя из определений, введенных на лекции №1, общим решением уравнения (2) будет функция y x,C , а общим интегралом x, y,C 0. Считаем, что уравнение (2) решено или проинтегрировано, если найдено его общее решение или общий интеграл.

Задача Коши

В практических задачах (лекция №1) обычно требуется найти решение дифференциального уравнения (2), удовлетворяющее

x0 , y0 .

Очевидно, что если для уравнения y f x, y получено

C0 и решением задачи Коши будет функция y x,C0 или интеграл x, y,C0 0.

Способы решения

Геометрический способ. Так как каждое решение уравнения геометрически представляет интегральную кривую, то геометрически решение уравнения сводится к отысканию ортонормированного семейства этих кривых. Если на плоскости зафиксировать точку M0 x0, y0 , то из уравнения (2), не решая его, можно найти y0 f x0, y0 , учитывая, что y есть тангенс угла

наклона касательной к оси Ox, то в любой точке M0 мы получаем направление интегральной кривой. Если построить такие касательные во всех точках плоскости, то получим поле направлений интегральных кривых данного дифференциального уравнения.

Пример.

Рис. 1

Из построенного поля направлений (рис. 1), очевидно, что интегральные кривые суть прямые y Cx. Чтобы облегчить построение интегральных кривых, находят такие линии, во всех точках которых направления одинаковы. Такие линии называются изоклинами (изо – равных, клино – наклоняю). Очевидно, что для

проходящие через начало координат представляют собой изоклины.

представляют собой окружности (рис. 2). Пусть

C 1, y tg 1; ;

4

C 2, y tg 2; arctg 2;

C 3, y tg 3; arctg 3 и т.д.,

по ним легко построить не только поле направлений, но и даже примерно сами кривые.

y

x

Рис. 2

Аналитические способы. Рассмотрим аналитические способы решения различных типов дифференциального уравнения

(2).

Частные типы дифференциальных уравнений 1-го порядка и отыскание их общих решений

Уравнения с разделяющимися переменными.

Запишем дифференциальное уравнение 1-го порядка в симметричном форме (2*):

P x, y dx Q x, y dy 0.

уравнение (3) называется уравнением с разделяющимися переменными. Его можно представить:

Проинтегрировав, мы получим интегральное уравнение в виде

x y C. F x, y,C 0.

Примеры.

1. x xy2 dx y yx2 dy;

(*)

Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию: y/x 0 0, т. е. интегральную кривую, переходящую через точку O 0,0 . Из уравнения (*) следует:

0 1 0 1 C C 1.

x2 y2 x2 y2 0 – кривая 4-го порядка, вырождается в точку.

2. Рассмотрим задачу №1 из лекции №1 и найдем количество

1 ln 2 1 arctg ln x C . 2

ln 2 1 x2 2arctg 2C, где y ; x

ln y2 x2 2arctg y C. x

Лекция № 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА (окончание)

Линейные уравнения 1-го порядка.

Определение. Дифференциальные уравнения, в которых неизвестная функция и все её производные входят только в первой степени и которые для n-го порядка производной можно представитьввиде:

a0 x y n a1 x y n 1 an 1 x y an x y f x 0,

называются линейными.

В частности, линейное уравнение 1-го порядка имеет вид: a x y b x y f x 0 или в приведенном в виде, когда a x 0, y p x y q x 0.

(1)

Линейные уравнения 1-го порядка интегрируются с помощью

подстановки

y u x x ,

(2)

причем обе неизвестные функции u u x и x находятся в процессе решения.

Пример.

dy y x2 y 1 y x2 0; x 0. dx x x

Введем подстановку: y u y u u.

u u 1u x2 0, x

u 1u u x2 0x

(*)

Подберем функцию u u x так, чтобы коэффициент при был равен нулю:

При отыскании функции u const не учитываем, т.е. du dx; u x

lnu ln x. После чего ставим в уравнение (*) найденную функцию u.

За м е ч а н и е 1. Из примера следует, что после подстановки собираем члены с функцией и полученный коэффициент при приравниваем к нулю, так находим функцию u, причем при первом интегрировании константа не учитывается. Подставляя найденную функцию u обратно в уравнение, находим .

За м е ч а н и е 2. К линейным уравнениям сводятся так называемые уравнения Бернулли:

y p x y q x ym ,

где m – целое число, m 0, m 1. Предварительно уравнение делят на ym:

y m y p x y1 m q x ,

после чего подстановкой z y1 m уравнение сводят к линейному:

1 m

z1 m y z1 m y m .

Пример.

y 2xy 2x3y2; y 2 y 2xy 1 2x3; z y 1, т. е. z z x ;

y z 1; y 1 z 2 z ; z2 y 2;

z2 z12 z 2xz 2x3;

z 2xz 2x3 0 – линейное.

Уравнение в полных дифференциалах.

Рассмотрим уравнение

P x, y dx Q x, y dy 0

(4)

Левая часть этого уравнения может оказаться дифференциалом некоторой функции двух переменных u x, y , т.е. уравнение может иметь вид

откуда следует, что общий интеграл такого уравнения имеет вид: u x, y C.

(6)

Встают два вопроса:

1.Как среди уравнений вида (4) суметь отличить уравнение вида

(5)?

2.Как по уравнению вида (5) найти функцию u x, y ?

Первый вопрос решается просто, учитывая, что частные

(4) для односвязной области будет уравнением (5) тогда и только тогда, когда

P Q,

(7)

то есть достаточно для уравнения (4) проверить выполняемость равенства (7).

Второй вопрос решается так:

u P x, y .

x

(8)

Интегрируя равенство (8), при условии, что y const, получим:

u x, y P x, y dx C y .

(9)

Продифференцировав (9) по y, имеем:

(10)

Остается из дифференциального уравнения (10)

(13)

состоящей из уравнения, дающего зависимость функции y от двух параметров x и p, и одного дифференциального, указывающего на связь между ними. Решив дифференциальное уравнение (а оно

разрешимо относительно d p ), т.е. отыскав его общий интеграл

dx

x, p,C 0, имеем решение дифференциального уравнения (12)

ввиде

y f x, p ;

x, p,C 0.

(14)

Такое решение (4) называется общим решением в параметрической форме. Если удается исключить параметр p, то получим общий интеграл уравнения (2): x, y,C 0.

Пример.

y 2xy y 3, (**)

т.е. уравнение имеет вид y f x, y , (12): положим y p; y 2xp p3; dy 2p 2x 3p2 d p .

(а)

(б)