2216

Получим x1 x1, так как корни характеристического уравнения r1 0, r2 1, r3 1,

то последнее уравнение имеет решение

i

xi fij t xj gi t .

j 1

Линейные нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их решение

Такой системой является система вида

xn fn1 t x1 fnn t xn gn t

(8)

если в системе (8) gi t 0 i 1,2, ,n , то система называется однородной. Если система (8) имеет постоянные коэффициенты, т.е. fij aij, aij R, то однородную систему можно решать при помощи характеристического уравнения матрицы A.

Пример.

Для решённой методом исключения системы имеем:

Решение линейных неоднородных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Рассмотрим систему

yi fi1 x y1 fi2 x y2 fin x yn gi x ,

(9)

где i 1,2, ,n. gi x 0.

Эта система является частным случаем нормальной системы, поэтому может быть решена методом исключения. Однако её можно решать и методом вариации постоянных, методом Лагранжа.

Пусть общее решение однородной системы, соответствующей системе (9), т.е. gi x 0 имеет вид

(10)

тогда общее решение системы (9) можно найти в виде

yi C1 x yi1 x C2 x yi2 x Cn x yin x ,

алгебраических уравнений относительно Ci x :

C1 x yi1 x C2 x yi2 x Cn x yin x gi x . (12)

Определив C1 ,C2 , ,Cn , затем находим:

C1 x C1 dx C1;

C2 x C2 dx C2;

Cn x Cn dx Cn. (13)

Пример.

Найдем сперва общее решение однородной системы, соответствующей данной неоднородной:

где h1 h11;h21 и h2 h12;h22 собственные векторы. Найдем эти векторы:

При 1 имеем

Тогда

y1 C1ex C2e x; решение общего однородного уравнения.

y2 C1ex C2e x.

Применим метод Лагранжа, «поварьируем» постоянные C1 и C2 и решим систему:

Методом Лагранжа можно решать также и линейные уравнения любого порядка:

y n a1 y n 1 an 1y an y g x .

y y y* C1ex C2e2x 1 e3x . 2

Очевидно, что между линейными системами (нормальными) и линейными дифференциальными уравнениями существует тесная связь.

y3 C1 C3ex.

Собственные числа найдем из характеристического уравнения.

Тогда общее решение запишется в виде

где собственные векторы hi определяются из систем

h1 h2 h3 0;

h1 h2 h3 0;

h1 h2 h3 0,

которые получаются при подстановке вместо собственные чисел 1, 2, 3 :

Лекция № 8. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Интеграл 1-го рода.

Зададим в пространстве кусок гладкой кривой AB (кривая называется гладкой, если в любой точке кривой существует касательная, которая непрерывно меняется от точки к точке, иначе

разбиения.

2. На любом участке выберем точку Pi i, i, i и составим интегральную сумму:

n

f Pi i .

i1

x

Рис. 1

3. Предел этой суммы при n и 0, если он существует и не зависит ни от способа разбиения кривой на

участки, ни от выбора точек, называется криволинейным интегралом 1-го рода.

def : f x, y,z d . f x, y,z d – для замкнутой кривой.

AB

считать, что функция f x, y,z задает распределение линейной плотности на кривой, следовательно, интегральная сумма выражает приблизительно значение массы кривой, а f x, y,z d

AB

дает точное значение массы кривой.

Интеграл 1-го рода также позволяет вычислить центры тяжести дуг кривых. Имеют место формулы:

Пример.

Вычислить x y z d ,

AB

где AB – дуга винтовой линии (рис. 2).

B

0

y

A

x

Рис. 2

1.Определяем d по формуле (5):

d x 2 y 2 z 2dt sint 2 cost 2 12dt 2dt.

2

Случай плоской кривой.

y

y x B

A

Рис. 3