2216

представляет данную функцию, нужно либо доказать, что остаточный член 0, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции, в частности, можно пользоваться такой теоремой.

(5)

Так как остаточный член 0 при x, то данный ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию sin x при x.

Этим рядом пользуются для вычисления значений sin x при различных значениях x.

Ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получим

Определим погрешность

числом 0,173647, или

sin 0,173647. 18

2. f x ex . Формально имеем:

(10)

5. Разложим в ряд Маклорена функцию

fx 1 x m, m R.

За м е ч а н и е. xm не рассматриваем потому, что если m не целое положительное число (а только такой случай и интересен),

f n 0 m m 1 m n 1 1 x m n x 0 m m 1 m n 1,

,

Следовательно,

1 x m 1 mx m m 1 x2 m m 1 m n 1 xn . 2! n!

Установим область сходимости ряда. Найдем предел абсолютной величины отношения последующего члена к предыдущему:

именно к рассматриваемой функции, вследствие его сложности опустим.

Итак, биномиальный ряд представляет функцию 1 x m в интервале 1,1 .

1 x m 1 mx m m 1 x2 m m 1 m n 1 xn . 2! n!

(11)

За м е ч а н и е. Если m – целое положительное число, то ряд

(11)обращается в формулу бинома Ньютона, если m 0, то ряд

сходится к 1 x m на отрезке 1,1 .

Частные виды биномиального ряда

1)m 1.

11 x x2 x3 1 n xn , x 1,1

1x

–геометрическая прогрессия.

2) m 1 .

3) m 1.

2

x 1,1 .

7. Совершенно аналогично получается разложение функции f x arctg x в ряд Маклорена.

Для этого заменив в ряде (*) x на x2, получим:

З а м е ч а н и е 1. Можно доказать, что разложение (13) верно

За м е ч а н и е 2. Разложения (5), (6), (8), (11)-(13) следует запомнить, т.к. многие другие функции могут быть разложены в ряды при помощи них (например, (7), (9),(10)).

За м е ч а н и е 3. Полезно самостоятельно найти разложение функции f x arcsin x в ряд Маклорена.

Лекция № 22. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ТЕЙЛОРА

I. Интегрирование функций

x

1. Допустим, что нужно найти интеграл F x f x dx,

a

a

конечном виде, то F x элементарная и мы находим её разложение в ряд Тейлора. Именно так мы поступали при разложении функций ln 1 x , arctgx. Если же интервал

x

F x f x dx в элементарных функциях не выражается, то

a

найденный ряд может служить выражением неэлементарной функции F x через самые простые основные элементарные функции – степенные, но уже не конечным выражением, а бесконечным. Представление с помощью бесконечных рядов не хуже, а во многих отношениях значительно удобнее, чем их представление с помощью конечного числа основных элементарных функций.

Пример.

x sinx x dx Si x – интегральный синус.

0

Делим ряд для sin x на x, получим

ряд не сходится ни к какой элементарной функции, он является аналитическим заданием новой функции, но посредством не

x

конечного, а бесконечного числа операций. Функция sinx x dx

0

часто встречается при изучении некоторых разделов теоретической физики. С помощью приведенного ряда составлены все подробные таблицы.

2. При изучении теории вероятностей важную роль играет

интегралом вероятностей. Вычислить интеграл в конечном виде

,

сходится быстро.

1 2

dx

3. Вычислим интеграл .

0 1 x4

В принципе этот интеграл можно выразить в элементарных функциях:

Однако его выражение, как мы видим, сложно и мало удобно для вычислений.

В то же время, разложив подынтегральную функцию в ряд

II. Интегрирование дифференциальных уравнений

Пусть задано дифференциальное уравнение и начальные условия, определяющие частное решение. Допустим, что решение уравнения в окрестности точки x0, в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд, расположенный по степеням разности x x0:

y a0 a1 x x0 a2 x x0 2 .

Продифференцируем этот ряд с неопределенными коэффициентами столько раз, каков порядок уравнения. Подставляя затем в уравнение вместо неизвестной функции и её производных соответствующие ряды, мы получим тождество, из

которого и определяем неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда (их число равно порядку уравнения) определяются из начальных условий. Если полученный ряд сходится, то он и выражает искомое решение. Достаточно большое число членов ряда дает нам как угодно хорошее приближенное выражение решения в виде многочлена. Особенно удобно решать с помощью рядов линейные дифференциальные уравнения.

Пример.

1. y xy 0 при y x 0 0; y x 0 1. Решение будем искать в

виде ряда, расположенного по степеням x:

y a0 a1x a2x2 anxn .

Коэффициенты a0 и a1 находим из начальных условий:

a0 y x 0 0; a1 y x 0 1.

y a1 2a2x nanxn 1 .

Дважды дифференцируем ряд:

С помощью признака Даламбера легко убедиться в том, что этот ряд сходится во всех точках числовой оси Ox и, следовательно, представляет искомое решение при всех x. Заметим, что порядок уравнения нисколько не влияет на метод решения его при помощи рядов.

2. y xy2 1 при y x 1 0. Это уравнение нелинейное, и

поэтому подстановка вместо функции y её разложения в ряд

y a0 a1 x 1 a2 x 1 2

привела бы к сложным уравнениям для определения коэффициентов.

Поэтому обычно поступают иначе. Продифференцируем уравнение несколько раз подряд: