2216

пусть каждый член ряда (1) не больше соответствующего члена ряда (2), то есть

Тогда:

1)если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1),

2)если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

До к а з а т е л ь с т в о

n

Докажем сначала первую часть. Положим Sn uk ,

(1) расходится, его частичные суммы неограниченно возрастают,

Sn , т.к. n Sn, то и n .

З а м е ч а н и е. Признаки сравнения применимы и в том случае, когда условию (*) удовлетворяют члены ряда не при всех

убывающей геометрической прогрессии. Поэтому данный ряд сходится.

З а м е ч а н и е. Однако трудность применения признаков сходимости заключается в необходимости подбора другого ряда, а это не всегда просто.

Перейдем к установлению признака, который позволит в достаточно большом числе случаев устанавливать сходимость ряда исходя только из выражения для его членов.

Признак Даламбера.

Пусть дан ряд с положительными членами

u1 u2 un un 0 . (**)

Если при n существует предел отношения последующего

члена к предыдущему un 1 , равный : un

lim un 1 ,

n un

то при 1 ряд сходится, при 1 ряд расходится, а при 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Д о к а з а т е л ь с т в о Делаем для 1. В силу определения предела всегда можно

выбрать такое число N, что при всех n N будет справедливо

Мы имеем:

uN 1 1uN ;

uN 2 1uN 1 12uN ;

uN 3 1uN 2 13uN ;

.

соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1uN 12uN 13uN (знаменатель её 1 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линией

y f x , с основанием от x 1 до x n, где n произвольное целое положительное число (рис.1).

y

y f x

x n.

Рассмотрим две ступенчатые фигуры: одна (входящая) имеет

4. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость.

Знакочередующиеся ряды. Перейдем к рядам с членами, имеющими любой знак. Прежде всего остановимся на так называемых знакочередующихся рядах. В таких рядах члены попеременно имеют то положительный, то отрицательный знак. Знакочередующийся ряд можно записать так:

u1 u2 u3 ,

(3)

где u1,u2,u3 – положительные числа. Возьмем перед всем рядом знак плюс, что,, конечно, не ограничит общности. Укажем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.

Т е о р е м а Лейбница. Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов убывают, т.е. в ряде (3) u1 u2 u3 , и общий член un 0, то ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине меньше первого члена, остаток ряда rn по абсолютной величине меньше первого из отбрасываемых членов.

величиной положительной, возрастает с увеличением m. С другой стороны,

применима, не только установить сходимость ряда, но и оценить погрешность, допускаемую при отбрасывании всех членов ряда, начиная с некоторого .

Пример.

1 1 1 1 1 – ряд сходится,

распределением знаков (знакопеременных) приведем только один важный признак сходимости.

Достаточный признак сходимости. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда сходится, то сходится и данный ряд.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Обозначим через Sn сумму n первых членов ряда u1 u2

un , через Sn сумму всех положительных членов, а через

Sn сумму всех отрицательных членов среди первых n членов

S S S .

З а м е ч а н и е. Этот достаточный признак не является

необходимым, т.е. ряд un может сходиться и тогда, когда ряд

n 1

un расходится.

n 1

Примеры.

Определение. Ряд, абсолютные величины членов которого образуют сходящийся ряд, называется абсолютно сходящимся.

Если ряд сходится, а ряд, образованный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный ряд называется

неабсолютно или условно сходящимся.

Указанное разграничение абсолютной и условной сходимостей рядов является весьма существенным.

Оказывается, что некоторые свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды, условно сходящиеся ряды этими свойствами не обладают, например, свойством коммутативности. Абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать: S S S .

Лекция № 19. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

(*)

Давая x определенные числовые значения, мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися и расходящимися.

Определение. Совокупность тех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от x. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через S x .

Пример.

Рассмотрим функциональный ряд 1 x x2 xn . Этот ряд сходится при всех значениях x в интервале 1,1 ,

т.е. при всех x, удовлетворяющих условию x 1. Для каждого значения x в указанном интервале сумма ряда определяется как сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем x. Таким образом, в интервале 1,1 данный ряд определяет

функцию S x 1 , которая является суммой ряда, т.е.

1 x

1 1 x x2 x3 . 1 x

Мажорируемые ряды

Определение. Функциональный ряд u1 x u2 x u3 xun x (*) называется мажорируемым в некоторой области изменения x, если существует такой сходящийся числовой ряд

1 2 3 n

(**)

с положительными членами, что для всех значений x из данной области выполняются соотношения

(***)

Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.

Пример.