2216

Отметим некоторые важные свойства мажорируемых рядов (без доказательства).

Т е о р е м а 1. Пусть функциональный ряд u1 x u2 xun x мажорируем на отрезке a,b . Пусть S x – сумма этого

ряда, Sn x – сумма первых n членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа 0 найдется положительное число N такое, что при всех n N будет выполняться неравенство S x Sn x , каково бы ни было x из отрезка a,b .

Проиллюстрируем это геометрически (рис. 1). Рассмотрим график функции y S x . Построим около этой кривой полосу

свойством (не обязательно мажорируемый), называется

равномерно сходящимся рядом на отрезке a,b .

Т е о р е м а 2. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке a,b , есть функция, непрерывная на этом отрезке.

З а м е ч а н и е. Из теоремы 2 следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке a,b разрывна, то ряд не мажорируем на

x

F t dt u1 x u1 u2 x u2 un x un .

Но по условию

S x u1 x u2 x un x ;

S u1 u2 un ,

F t dt S x S . Дифференцируя по x обе части последнего

равенства, получим F x S x что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е. Требование мажорируемости ряда производных является весьма существенным. Покажем это на примере:

Лекция № 20. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Определение. Степенным рядом называется функциональный

которого суть произведения постоянных a0,a1,a2, ,an, на степенные функции с целыми неотрицательными показателями от разности x x0.

Постоянные a0,a1,a2, ,an, называются коэффициентами степенного ряда. В частности, если x0 0, то получим

a0 a1x a2x2 anxn ,

(*)

т.е. ряд, расположенный по степеням x. Будем рассматривать именно такие ряды, а подстановка x x x0 преобразует всякий степенной ряд к виду (*).

Для удобства n-м членом степенного ряда называют член anxn, несмотря на то, что он стоит на n 1 -ом месте. Свободный член ряда a0 считают нулевым членом ряда. Рассмотрим наиболее важные свойства степенных рядов.

Те о р е м а Абеля. Если степенной ряд (*) сходится при

xx1 0, то он сходится, и притом абсолютно, при всяком x

лежащем в интервале x1 , x1 , т.е. удовлетворяющем условию

x x1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о

Так как anx1n сходится, то его общий член anx1n 0,

n 1

поэтому

все члены этого ряда ограничены, т.е. существует M 0, что при любом n имеет место anx1n M .

Запишем ряд (*) так:

и составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда:

В силу установленного неравенства каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со

знаменателем x 1, значит, сходящейся. x1

Поэтому сходится и ряд абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Несмотря на то, что anxn anx1n , мы не можем воспользоваться признаком сравнения, т.к. в условии теоремы не сказано, что в точке x x1 ряд (*) сходится абсолютно.

С л е д с т в и е. Если степенной ряд (*) расходится при x x1, то он расходится и при всяком x, большем по абсолютной величине, чем x1, т.е. при x x1 . От противного.

Перейдем к установлению области сходимости степенного ряда (*). Здесь возможны три случая:

1) Область сходимости состоит только из одной точки x 0, т.е. расходится всюду, кроме x 0, например:

1 x 22 x2 nnxn ;

действительно при фиксированном x, начиная с достаточно большого n будет nx 1 nnxn 1, т.е. общий член ряда не

стремится к нулю.

2) Область сходимости состоит из всех точек оси Ox, т.е.

то начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, ряд сходится при любом x.

3) Область сходимости состоит больше, чем из одной точки оси Ox, причем есть точки оси, не принадлежащие области

В третьем случае на числовой оси наряду с точками сходимости ряда имеются и точки расходимости.

Из теоремы Абеля и её следствия вытекает, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для

x, по модулю меньших R x R , ряд абсолютно сходится, а

для всех x, по модулю больших R x R , ряд расходится. Определение. Радиусом сходимости степенного ряда (*)

называется такое число R, что для всех x, x R, степенной ряд сходится, а для всех x, x R, расходится. Интервал от x R до

x R называется интервалом сходимости.

З а м е ч а н и е. Что касается значений x R и x R, то здесь могут осуществляться различные возможности: ряд может сходиться в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно (позже рассмотрим примеры).

Для степенных рядов вида

a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n

центр интервала сходимости будет лежать не в точке x 0, или для (*), а в точке x x0, следовательно, интервалом сходимости будет x0 R, x0 R . Укажем способ отыскания радиуса сходимости степенного ряда.

Прежде всего отметим, что для нахождения радиуса сходимости можно исследовать ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда,

a0 a1 x an x n ,

(**)

т.к. интервалы сходимости рядов (*) и (**) совпадают. Тогда к ряду (**), члены которого положительны, применим признак Даламбера.

Если, начиная с некоторого номера, члены ряда идут без пропусков, т.е. коэффициент ряда 0, то предел отношения последующего члена ряда к предыдущему можно записать в виде:

Для тех значений x , при которых этот предел будет меньше 1, ряд сходится, а для тех, при которых больше 1, ряд расходится. Отсюда следует, что то значение x , при котором этот предел равен единице, и будет являться радиусом сходимости ряда.

Может случиться, что найденный предел при любом x будет равен нулю. Это значит, что ряд (*) сходится при всех x и его радиус сходимости R . Наоборот, если при всех x 0 предел окажется равным бесконечности, то ряд будет всюду расходиться (кроме точки x 0) и его радиус сходимости R 0.

Примеры.

1. Найти радиус сходимости ряда

Отметим, что в силу необходимого признака общий член стремится к нулю: lim xn 0, при x. Это замечание пригодится

вдальнейшем.

2.Возьмем ряд 1 x x2 x4 .

интервала: при x 1 получаем расходящийся (т.к. гармонический),

требовалось доказать. Тогда на ряд (*) переносятся свойства мажорируемых функциональных рядов.

Сл е д с т в и е 1. Сумма степенного ряда (*) есть функция непрерывная в интервале сходимости ряда.

Сл е д с т в и е 2. Степенной ряд, полученный в результате

почленного интегрирования ряда (*), в интервале 0,x сходится

почленного дифференцирования ряда (*), сходится в интервале

или степенной ряд в интервале его сходимости можно дифференцировать почленно.

Применяя следствие 3 к первому произвольному ряду, найдем

т.д.

Итак, степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз.

Лекция № 21. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Ряд Тейлора и Маклорена. Известно, что для функции f x ,

имеющей все производные до n 1 -го порядка включительно, в окрестности точки x x0 (т.е. на некотором интервале, содержащем точку x x0) справедлива формула Тейлора:

(1)

где так называемый остаточный член Rn 1 x вычисляется по формуле

брать сколько угодно большим. Тогда, переходя к пределу при

(2)

Последнее равенство справедливо тогда и только тогда, когда

lim Rn x 0.

n

(3)

То есть условие (3) является необходимым и достаточным для того, чтобы ряд Тейлора сходился и имел своей суммой f x .

Достаточность: f x Pn x Rn x ,

сумма ряда (2), её предел равен сумме ряда, значит, равенство (2) справедливо.

данной функцией (хотя и может сходиться к другой функции). Если в ряде Тейлора положим a 0, то получим частный

случай ряда, который называют рядом Маклорена:

(4)

З а м е ч а н и е. Если для какой-нибудь функции формально написан ряд Тейлора, то чтобы доказать, что написанный ряд