2216

x 3 p2 C . 4 p2

Решение дифференциального уравнения имеет вид:

(***)

При таком способе отыскания решения, преобразуя дифференциальное уравнение (б), мы теряем решения, в данном

является решением дифференциального уравнения, решая (***), получит его невозможно.

З а м е ч а н и е. Подобно тому, как мы решили пример (**), решается любое уравнение вида y x y y , называемое

уравнением Лагранжа (частный случай которых – уравнения Клеро y xy y ).

Лекция № 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА

Дифференциальное уравнение 2-го порядка связывает x, y, y иy , т.е. имеет вид F x, y, y , y 0. Будем рассматривать только дифференциальные уравнения, разрешенные относительного 2-й производной:

y f x, y, y .

(1)

Общее решение [или общий интеграл] такого уравнения зависит от двух произвольных постоянных, т.е. представляет собой функцию

y x,C1,C2 x, y,C1,C2 0 ,

(2)

которая определяет на плоскости двухпараметрическое семейство интегральных кривых.

На такие уравнения обычно накладывают начальные условия в виде:

семейства кривых (2) единственную интегральную кривую, проходящую через точку x0, y0 и касающуюся указанного направления.

Т е о р е м а Коши. Пусть дано уравнение (1) и на него наложены условия (3). Тогда, если функция f x, y, y и её частные производные по аргументам y и y непрерывны в окрестности точки x0 , y0 , y0 , то существует единственное решение y y x уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям. Эта теорема называется теоремой существования и единственности решения (3) дифференциального уравнения (1). Без доказательства.

З а м е ч а н и е. Зная общее решение y x,C1,C2 уравнения (1), легко найти решение, удовлетворяющее начальным условиям (3). Достаточно продифференцировать решение и в систему

y x,C1,C2 ;

y x,C1,C2

подставить вместо x, y и y x0, y0 и y0 , после чего находим C10 и C20 . Таким решением будет функция y x,C10,C20 .

y ln x C1 C2 – общее решение.

Находим решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения 2-го порядка F x, y, y , y 0 сводятся к уравнениям 1-го порядка (говорят «допускают понижение порядка») в следующих простых случаях:

1) когда в уравнении (1) отсутствует переменная y:

F x, y , y 0;

(4)

2) когда в уравнении (1) отсутствует независимая переменная

x:

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Общие вопросы

Будем рассматривать линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

y a1 x y a2 x y f x ,

Если f x 0, то уравнение вида

y a1 x y a2 x y 0

(7)

называется линейным однородным уравнением 2-го порядка.

В связи с этим уравнение (6) называют уравнением с правой частью, а уравнение (7) – уравнением без правой части.

Обозначим левую часть уравнения (7) через L y , т.е.

L y y a1 x y a2 x y,

(8)

и будем называть L y линейными дифференциальным оператором (ЛДО)

результатов его применения к каждой функции. Д о к а з а т е л ь с т в о

L y1 y2 y1 y2 a1 x y1 y2 a2 x y1 y2

y1 a1 x y1 a2 x y1 y2 a1 x y2 a2 x y2 L y1 L y2 . 20 . L Cy CL y , c const, т.е. постоянный множитель

выносится за знак ЛДО. Действительно,

L Cy Cy a1 x Cy a2 x CyC y a1 x y a2 x y CL y .

30 . L u x i x L u iL следует из свойств 10 и 20 . Из этих свойств вытекает ряд теорем о решениях линейного

\\

0

доказать.

Т е о р е м а 2. Сумма двух решений дифференциального уравнения L y 0 также является решением этого уравнения.

Д о к а з а т е л ь с т в о Существует L y1 0 и L y2 0.

10

L y1 y2 L y1 L y2 0 0 0, что и требовалось доказать.

1, 2, , n , не равные нулю одновременно, что равенство

1y1 x 2 y2 x n yn x 0

(*)

выполняется во всех точках отрезка a,b и линейно независима,

определителем Вронского для системы из двух функций или

Вронскианом:

функций, и т.д.

Т е о р е м а 4. Если система функций y1, y2, , yn – линейно зависима, то её Вронскиан W 0.

Докажем для системы двух функций. Пусть y1 ; y2 y1; y2

Т е о р е м а 5. Если функции y1 x и y2 x линейно независимы на отрезке a,b и являются решениями (на этом

уравнения (7), причем удовлетворяющее начальным условиям (**), в силу единственности решения C1y1 x0 C2 y2 x0 0; y1 x

иy2 x линейно зависима, что противоречит условию.

Те о р е м а 6 (основная). Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка L y 0 является

функция

(***)

где y1 и y2 – любые два линейно-независимые частные решения этого уравнения, а C1 и C2 – произвольные константы.

Д о к а з а т е л ь с т в о По условию L y1 0 и L y2 0, тогда

в силу теоремы 5, то система всегда имеет единственное решение, т.е. всегда определяются единственным образом C1 и C2 .

Обобщения. Все доказанные теоремы имеют место и для линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка, т.е. уравнений вида:

L y yn a1 x yn 1 a2 x yn 2 an 1 x y an x y 0.

(9)

Общим решением уравнения (9) является функция y C1y1 x C2y2 x Cn yn x ,

Лекция № 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Будем рассматривать дифференциальные уравнения вида y py qy 0,

(1)

где p, q R, т.е. const.

Согласно теореме 6, общее решение уравнения (1) имеет вид:

но т.к. e x 0, то функция y e x является решением уравнения (1), только тогда, когда

2 p q 0.

(2)

Квадратный трехчлен (2) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (1). При решении уравнения (2) могут быть следующие случаи:

I случай. 1 и 2 – корни действительные и разные

Действительно, y2 e 1x 1xe 1x 1 1x e 1x . y2 1 1 1x e 1x 1e 1x 12x 2 1 e 1x ,

тогда

L y2 12x 2 1 p1 1x qx e 1x

12 p 1 q x 2 1 p e 1x 0,

причем

Итак, общее решение имеет вид:

y C1e 1x C2xe 1x C1 C2x e 1x

(4)

Пример.

y 2y y 0.

1.Составим характеристическое уравнение:

2 2 1 0; 1 2 1.

2.Общее уравнение:

Jm~y1 Jm~y2 , т.е. y1 e x cos x; y2 e x sin x, причем

Итак, общее решение:

y e x C1 cos x C2 sin x .

(5)