2. Метод креста (конверта) Пирсона

При решении задач на растворы с разными концентрациями можно применить диагональную схему правила смешения или крест Пирсона.

При расчётах записывают одну над другой концентрации исходных растворов/сплавов, справа между ними – концентрацию раствора/сплава, который необходимо получить, и вычитают по диагонали из большего значения меньше.

Отношение этих разностей следует приравнять к отношению масс взятых растворов. Более подробно о том, как было выведено уравнение креста Пирсона, описано ниже.

Разность концентраций

Масса растворов

Концентрация смеси

Концентрация растворов

Схематически крест Пирсона выглядит так:

Формула для креста Пирсона выводится из уже известной формулы смешения растворов/соединения сплавов:

Покажем на примерах, как пользоваться крестом Пирсона.

Пример. Смешали 20 г 10%-ного раствора хлорида натрия и 16 г 55%-ного раствора хлорида натрия. Определите концентрацию хлорида натрия в полученной смеси.

Решение. Изобразим крест Пирсона и заполним его данными из задачи.

Примем во внимание, что концентрация раствора будет больше 10%, но меньше 55%. Таким образом, разность концентраций для первого раствора будет 55% – ω, а для второго раствора – уже ω – 10% (т.к. из большего вычитаем меньшее).

Составим отношения разностей концентраций и масс растворов:

По правилу пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) имеем:

Итак, получится 30%-ный раствор хлорида натрия.

Пример. Из колбы, полностью наполненной 97%-ным раствором хлорида кальция, отлили 2 л жидкости и долили 2 л 45%-ного раствора этого же вещества. После этого в колбе получился 81%-ный раствор хлорида кальция. Сколько литров раствора вмещает эта колба?

Решение. Обозначим первоначальный объем колбы за х. Для удобства упростим задачу и начнем заполнение креста Пирсона уже после момента отлива 2 л жидкости.

Составим отношения разностей концентраций и масс растворов:

По правилу пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) имеем:

Итак, колба вмещает 6,5 л раствора.

Проверь себя

Решить любым удобным способом (алгебраическим, табличным, методом креста Пирсона).

1. Сколько килограммов 20%-ного раствора нитрата аммония нужно добавить к 2 кг 10%-ного раствора нитрата аммония, чтобы получить 12%-ный раствор нитрата аммония?

2. В бидоне было 6 л молока жирностью 6,3%. Через несколько суток из бидона слили 0,6 л выделившихся сливок. Чему равна жирность оставшегося молока, если жирность сливок составила 9%?

3. К 5 кг сплава свинца и алюминия добавили 4 кг свинца. Найти первоначальное содержание алюминия в исходном сплаве (в процентах), если в новом сплаве алюминия стало в 2 раза меньше, чем свинца.

4. К раствору, содержащему 400 г поваренной соли, долили 2 кг воды, после чего его концентрация снизилась на 10%. Сколько килограммов воды содержал раствор изначально?

5. Имеется два сплава меди и олова. В первом сплаве содержание этих металлов находится в отношении 1:9, а во втором сплаве – 2:3. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить из них 15 кг нового сплава, в котором содержание меди и олова находилось в отношении 1:4?

Практика

Блок А

1. К 2 л 80%-ного раствора ортофосфорной кислоты прибавили 3 л воды. Определите концентрацию ортофосфорной кислоты в полученном растворе. 32%

2. (ОГЭ) Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 16-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? 13

3. (ОГЭ) При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 65%, получили раствор, содержащий 60% соли. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? 1:4

4. (ОГЭ) При смешивании первого раствора щелочи, концентрация которой 20%, и второго раствора этой же щелочи, концентрация которой 50%, получили раствор, содержащий 30% щелочи. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? 2:1

5. (ОГЭ) Смешав 60%-ный и 30%-ный растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 70%-ный раствор кислоты. Сколь ко килограммов 60%-ного раствора использовали для получения смеси? 2

6. (ОГЭ) Первый сплав содержит 5% меди, второй – 11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. 6

7. На заводе имеется сталь двух сортов. Сталь первого сорта содержит 12% марганца, сталь второго сорта – 26% марганца. Чему равно содержание (в процентах) марганца в сплаве, полученном из двух равных (по весу) кусков стали разного сорта? 19%

8. Для приготовления теста к 600 г муки, содержащей 25% клейковины, добавили 300 г муки, содержащей 40% клейковины. Чему равен процент содержания клейковины в полученной смеси? 30%

9. Для приготовления шоколадного соуса кондитер разогревает 1,3 кг шоколада с содержанием какао-продуктов 65% и 1,2 кг шоколада с содержанием какао-продуктов 40%. Определите содержание какао-продуктов в полученном соусе (в процентах). 53%

10. Имеется два куска сплава меди и олова, причем в первом куске содержание олова составляет 90%, а во втором – 10%. Сколько килограммов каждого куска необходимо взять, чтобы из них получить 16 кг сплава, содержащего 20% олова? В ответе укажите массу большего из взятых кусков. 14

11. 600 мл 85%-ного раствора медного купороса разбавили водой, в результате чего был получен 30%-ный раствор медного купороса. Сколько миллилитров воды было добавлено в исходный раствор? 1100

12. Сколько литров 45%-ного раствора этанола необходимо добавить к 8 л 95%-ного раствора этанола, чтобы получить 65%-ный раствор этанола? 12

13. Сколько литров чистой соляной кислоты необходимо добавить к 3 л 36%-ного раствора этой кислоты, чтобы получить 76%-ный раствор соляной кислоты? 5

Блок В

14. (ОГЭ) Слива содержит 87% воды, а полученный из нее чернослив – 35% воды. Сколько килограммов чернослива получится из 22 кг слив? 4,4

15. (ОГЭ) Свежий виноград содержит 81% воды, а полученный из него изюм – 5%. Сколько килограммов винограда необходимо взять, чтобы после сушки получить 18 кг изюма? 90

16. В ювелирной мастерской имеется два сплава золота и серебра с различным содержанием этих металлов. Для первой цепочки было взято 120 г первого сплава и 180 г второго сплава. Для второй цепочки первого сплава было взято на 20 г меньше, чем для первой цепочки, а второго сплава – на 20 г больше, чем для первой цепочки. В результате содержание золота в первой цепочке составило 66%, во второй – 70%. Определите содержание золота в первом сплаве. Ответ укажите в процентах. 30

17. Кусок сплава кобальта и вольфрама, содержащий 98 г кобальта, сплавили с 10 г чистого кобальта, в результате чего содержание кобальта в сплаве увеличилось на 2%. Сколько граммов весил первоначальный кусок сплава? 140

18. К водному раствору, содержащему 12 мл хлорида магния, добавили 40 мл воды, в результате чего концентрация хлорида магния в растворе (по объему) снизилась на 8%. Сколько миллилитров воды было в первоначальном растворе? 48

19. Для производства сыра «Гауда» на сыроварне было взято 850 кг сырной массы. При обработке данной массы выделилось 50 кг сыворотки жирностью 0,2%. Определите жирность полученного сыра (в процентах), если жирность сырной массы составляла 45%? 47,8

20. Торт состоит из бисквитного и песочного слоя. Согласно рецепту, для бисквитного слоя требуется 200 г муки и 6 яиц, для песочного слоя – 400 г муки и 4 яйца. Хозяйка хочет приготовить большой бисквитно-песочный торт, при этом сохранив соотношение яиц и муки в торте таким, какое оно приведено в рецепте. Сколько яиц необходимо взять хозяйке для приготовления торта из 2,4 кг муки? 40

21. Для получения 4 500 кг бетона с содержанием цемента 23% смешали 2 400 кг бетона первого сорта с содержанием цемента 30% и бетон второго сорта. Сколько процентов цемента содержалось во взятом бетоне второго сорта? 15

22. Имеется два куска мельхиора (сплава меди и никеля). Первый кусок, содержащий 76% меди, весит в 3 раза меньше, чем второй кусок, содержащий 80% меди. При сплавлении и обработке этих кусков мастер изготовил столовую ложку массой 84 г. Сколько граммов меди содержится в изготовленной ложке, если потери сплавов при обработке отсутствовали? 79

Блок С

23. Перед покраской стен была смешана желтая краска с содержанием оксида железа 60% и оранжевая краска с содержанием оксида железа 57%. В результате была получена краска с содержанием оксида железа 58,4%. Сколько килограммов оранжевой краски было использовано, если желтой краски было взято на 0,3 кг меньше, чем оранжевой краски? 2,4

24. (ОГЭ) Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 30% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе? 11