Задачи на движение Теория Предпосылки при решении задач на движение

При решении такого типа задач, если не оговорено иное, считают, что движение происходит равномерно – т.е. за любые равные промежутки времени (обозначается как t – лат. «tempus») объект проходит одно и то же расстояние (обозначается как S – итал. «spostamento»). Быстроту перемещения объекта характеризует скорость (обозначается как v – лат. «vēlōcitās»).

Для равномерного движения справедливы следующие формулы (все величины – положительные числа):

Чтобы запомнить зависимость между скоростью, временем и расстоянием, удобно пользоваться мнемоническим треугольником. Необходимо закрыть искомую величину (скорость, время или расстояние) пальцем – и относительное расположение оставшихся величин подскажет нужную формулу.

Если в задаче присутствует несколько единиц измерения (например, скорость – в километрах в час, а время – в минутах), перед подстановкой данных в формулу необходимо выбрать одну единицу измерения и представить все величины в ней.

Стоит помнить: 1 ч = 60 мин = 3 600 сек; 1 км = 1 000 м.

Легко запомнить: 1 м/с = 3,6 км/ч.

Проверь себя

6. Поезд «Стриж» курсирует на маршруте Москва – Нижний Новгород. За какое время (в часах) «Стриж» преодолеет расстояние между двумя городами, если будет двигаться со скоростью 120 км/ч? Принять расстояние между Москвой и Нижним Новгородом равным 420 км.

7. Если Вася будет идти в школу с постоянной скоростью 2,5 км/ч, то потратит на путь от дома до школы 0,5 часа. Чему равно расстояние (в километрах) от дома Васи до школы?

8. Спринтер пробежал дистанцию в 270 м за 0,5 мин. Определите скорость спринтера. Ответ дайте в километрах в час.

9. Первый пешеход движется со скоростью 100 м/мин, а второй проходит 12 км за 2 ч. Какой из пешеходов движется быстрее?

10. Поезд, двигаясь со скоростью 90 км/ч, проходит мимо семафора за 15 секунд. Чему равна длина поезда? Ответ дайте в метрах.

Базовые задачи на движение нескольких объектов

В задачах нередко встречается несколько объектов, которые двигаются относительно друг друга.

1. Движение двух объектов навстречу друг другу

Для вывода формулы решим следующую задачу.

Пример. Из двух городов, расстояние между которыми 150 км, одновременно навстречу друг другу начали движение велосипедист и мотоциклист. Велосипедист двигается со скоростью 10 км/ч, мотоциклист – со скоростью 40 км/ч. Какое расстояние будет между ними:

а) через 1 час? б) через 2 часа? в) через 3 часа?

Решение. Обозначим схематически, где будут находиться мотоциклист и велосипедист через час движения.

40 км 100 км 10 км

По итогам двух часов после отправления ситуация вновь изменится.

80 км 50 км 20 км

Еще через час мотоцикл преодолеет еще 40 км, а велосипедист – еще 10 км. Таким образом, каждый из объектов пройдет свою часть оставшихся 50 км – и произойдет встреча.

120 км 30 км

Таким образом, наглядно видно, что за каждую единицу времени (в данном случае час) расстояние сокращается на где и – скорости двигающихся навстречу друг другу объектов.

Формула для движения объектов навстречу друг другу:

Аналогичная формула применима и при движении в противоположных направлениях!

2. Движение двух объектов в одном направлении

Вновь рассмотрим пример, чтобы вывести необходимую формулу.

Пример. В марафонском забеге участвуют Ахиллес и черепаха. Дав черепахе фору в 40 км, Ахиллес принимается догонять черепаху. Через сколько часов Ахиллес догонит черепаху, если ее скорость равна 1 км/ч, а скорость Ахиллеса – 21 км/ч?

Решение. За час черепаха преодолеет 1 км. За это время Ахиллес пробежит 21 км и приблизится к черепахе на 21 – 1 = 20 км.

За следующий час черепаха вновь проползет всего 1 км пути. За это время быстроногий Ахиллес пробежит 21 км. Таким образом, он преодолеет оставшиеся между ним и черепахой 20 км и догонит ее.

Таким образом, наглядно видно, что за каждую единицу времени (в данном случае час) расстояние между убегающим и догоняющим сокращается на где – скорость догоняющего, а – скорость убегающего. Следует отметить, что если догоняющий имеет скорость меньше, чем убегающий, встреча не состоится.

Формула для движения объектов в одном направлении:

В данной формуле > .

Проверь себя

1. Два поезда отправились одновременно навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми составляет 420 км. Определите скорость второго поезда, если скорость первого составила 80 км/ч, а встреча поездов произошла через 3 ч.

2. Два велосипедиста одновременно выехали из города и начали движение в одном направлении. Скорость первого велосипедиста на 4 км/ч больше скорости второго велосипедиста. Через сколько минут расстояние между велосипедистами составит 800 м?

3. Из города А со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через 1 ч вслед за ним отправился второй автомобиль со скоростью 50 км/ч. Сколько километров будет между автомобилями через 10 ч после выхода первого?

4. Белка направляется за орехом. Путь от дупла до орешника она преодолевает со скоростью 4 м/с, а путь обратно – со скоростью 2 м/с. На весь путь до орешника и обратно белка потратила 1,2 мин. Определите расстояние от дупла до орешника (в метрах).

5. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 18 секунд. Найдите длину поезда (в метрах).

Составление таблиц S-v-t

Кроме схематического приема, который мы показали в предыдущем разделе, при решении задач на движение удобно пользоваться табличным методом.

При решении задач с использованием данного метода за переменную x обычно принимается неизвестное задачи.

Таблица имеет следующий вид:

Объекты/ ситуации	Скорость (v)	Время (t)	Расстояние (S)
Объект/ситуация 1
Объект/ситуация 2

В строках таблицы указываются, в зависимости от условия задачи, либо объекты (велосипедист и мотоциклист, два пешехода и т.п.), либо различные ситуации, в которых находится двигающийся объект (движение туда и обратно, движение по расписанию и фактически и т.п.).

Пример. Из Саратова в Москву вышел пассажирский поезд со скоростью 55 км/ч, а через 2 ч вслед за ним отправился скорый поезд со скоростью 66 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй поезд догонит первый, если расстояние от Саратова до Москвы 855 км?

Решение. В задаче уже известны скорости поездов. Поэтому за x удобно принять время движения какого-нибудь поезда.

Обозначим через x время, за которое скорый поезд догонит пассажирский. Пассажирский поезд был в пути на 2 ч дольше, значит, его время в пути равно х + 2. Так как поезда встретились, то каждый из них прошел одинаковый путь, чем мы и воспользуемся.

Тип поезда	Скорость	Время	Расстояние
Скорый	66	х	66 ∙ х
Пассажирский	55	х + 2	55 ∙ (х + 2)