4. Более сложные квадратичные функции (параболы)

В предыдущем разделе мы рассмотрели простейшие функции, в которых переменная х выражена в квадрате. Более сложные функции такого типа выражаются формулой:

Здесь коэффициенты а, b, c – постоянные числа (константы).

Функция, заданная такой формулой, называется квадратичной (по форме задания такая функция похожа на то, как задается квадратный трехчлен).

Перед тем, как мы начнем рассматривать непосредственно функцию рассмотрим некоторые частные случаи.

Случай 1. b = c = 0. Тогда функция будет иметь вид: Эту функцию мы уже рассматривали в предыдущем разделе.

Случай 2. b = 0. Тогда функция будет иметь вид:

Для упрощения понимания характера поведения функции в общем виде, нарисуем на одном чертеже несколько функций такого вида.

Например, функции и

Как мы видим, коэффициент с в квадратичной функции является аналогом коэффициента b в линейной функции – он отвечает за параллельный перенос графика функции вверх или вниз.

Так же, как и в случае с линейной функцией, значение этого коэффициента можно найти по графику функции – коэффициент с равен значению функции в точке х = 0.

Случай 3. а = 0. Тогда функция будет иметь вид:

Такая функция квадратичной не является, она является линейной.

Теперь поместим на одном чертеже графики трех функций: Составим таблицы:

x	–3	–2	–1	0	1	2	3
f1	16	9	4	1	0	1	4
f2	9	4	1	0	1	4	9
f3	4	1	0	1	4	9	16

Нарисуем графики:

Заметим, что первый и третий графики были получены параллельным переносом второго на 1 единицу (первый – вправо, третий – влево).

Объединим этот вывод с выводом, который мы получили при рассмотрении случая 2, и сформулируем общее правило, которое можно использовать при построении графика функции вида

Правило. Для построения графика функции необходимо:

а) представить уравнение функции в виде

б) нарисовать график функции

в) параллельно перенести (сдвинуть) график функции на –k единиц вправо (если k < 0) или на k единиц влево (если k > 0) и на p единиц вверх (если p > 0) или на –р единиц вниз (если p < 0).

Пример. Построить график функции

Решение. Для того чтобы представить данную функцию в виде необходимо выделить полный квадрат.

Для этого вынесем 2 за скобки:

Фрагмент , который получился в скобках, используется в формуле сокращенного умножения Для получения этой формулы внутри скобок вычтем единицу и тут же ее прибавим – таким образом, результат выражения не изменится:

Получим далее:

Таким образом, необходимо построить график функции и осуществить параллельный перенос этого графика на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.

Построение данного графика может быть произведено самостоятельно.

Следует отметить, что график функции вида может быть построен и с помощью таблицы.

В общем виде преобразование квадратного трехчлена к полному квадрату происходит так:

a) Объединим первые два слагаемых трехчлена и вынесем а за скобки:

б) Представим, что у нас есть квадрат суммы, в котором x – одно из слагаемых, а из выражения в скобках надо получить его полный квадрат суммы.

Одночлен умножим на 2 и разделим на 2 одновременно – тем самым значение одночлена не изменится. Получим:

в) Для формулы квадрата суммы мы уже выделили квадрат первого выражения (в данном случае, ) и удвоенное произведение первого выражения на второе . То есть в качестве второго выражением будет выступать одночлен Возведем его в квадрат, прибавим полученный квадрат к выражению в скобках и вычтем этот квадрат – таким образом, значение выражения в скобках не изменится. Получим:

г) Свернем первые три слагаемых внутри скобок в формулу сокращенного умножения:

д) Вынесем оставшееся внутри скобок слагаемое, умножив его на а, и приведем слагаемые, не вошедшие в формулу сокращенного умножения, к общему знаменателю:

В итоге, получим:

Таким образом, график необходимо сдвинуть на единиц влево или вправо (в зависимости от знака выражения ), а также сдвинуть на единиц вверх или вниз (в зависимости от знака выражения ). В результате этой операции вершина параболы переместится из точки (0; 0) в точку При этом знак «минус» перед выражением означает лишь то, что:

а) при отрицательном значении выражения вершина двигается в противоположную сторону – не в отрицательную сторону (влево), а в положительную (вправо);

б) при положительном значении выражения вершина двигается в противоположную сторону – не в положительную сторону (вправо), а в отрицательную (влево).

Что касается ординаты точки вершины, то здесь направление движения вершины и знак выражения совпадают, поэтому знак «минус» перед выражением не требуется.

Таким образом, абсциссу вершины любой параболы можно найти по формуле:

Ординату вершины любой параболы можно найти двумя способами:

а) по формуле:

б) подставив значение x_вер в уравнение функции.

Проверь себя

1. Выделите полный квадрат в следующих трехчленах:

а)

б)

в)

г)

2. Определите знаки коэффициентов а и с для данных парабол:

3. Даны две функции: и

а) Найдите область определения и область значений каждой функции.

б) Чему равны коэффициенты a, b и c данных функций? Куда направлены ветви каждой из данных парабол?

в) Определите координаты вершины для каждой параболы.

г) Начертите графики этих функций, не используя табличный метод.

д) Какой из данных графиков пересекается с графиком функции y = 1 ровно в одной точке. Определите координаты этой точки.

4. Определите графически, пересекаются ли графики функций и Если да, то в скольких точках? Найдите координаты этих точек.

5. Дана функция: Не прибегая к построению графика функции, ответьте:

а) При каком значении х функция принимает наибольшее значение?

б) Определите наибольшее значение данной функции.

Дискриминант и корни квадратного уравнения

В предыдущем разделе мы определили, что ордината вершины параболы находится по формуле:

Рассмотрим все возможные знаки данного выражения и построим эскизы графиков функций для каждого случая.

а) Если тогда вершина находится выше оси х (у нее положительная ордината).

Этому соответствуют два случая:

В первом случае а < 0 (т.к. ветви параболы направлены вниз), в то время как во втором случае а > 0 (так как ветви направлены вверх).

б) Если тогда вершина находится ниже оси х (у нее отрицательная ордината).

Этому соответствуют два случая:

x

В первом случае а < 0 (т.к. ветви параболы направлены вниз), в то время как во втором случае а > 0 (так как ветви направлены вверх).

а) Если то вершина находится на оси х. Вновь 2 случая:

x

В первом случае а < 0 (т.к. ветви параболы направлены вниз), в то время как во втором случае а > 0 (так как ветви направлены вверх).

Проследим, сколько точек пересечения с осью х имеет график в каждом случае, а также то, какой знак будет принимать числитель и знаменатель дроби

Две точки пересечения с осью x получаются в двух случаях:

а) .

б) .

Одна точка пересечения с осью x получается в двух случаях:

а) .

б) .

Ни одной точки пересечения с осью x не получается в двух случаях:

а) .

б) .

Заметим, что точки, в которых график квадратичной функции пересекает ось х, совпадают с корнями квадратного уравнения (если бы данное уравнение решали графическим методом, то задача сводилась бы к нахождению именно точек пересечения графика функции и графика функции последний график как раз полностью совпадает с осью х).

Также заметим, что знак выражения определяет количество корней квадратного уравнения По знаку данного выражения можно различить несколько случаев:

а) корней у квадратного уравнения нет;

б) корень у квадратного уравнения один;

в) корней у квадратного уравнения два.

Именно за свойство отличать случаи друг от друга данное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (от лат. discrimino – «разбираю», «различаю»). Обозначается дискриминант буквой D. Получается, что

Таким образом, если D > 0, то у квадратного уравнения есть два корня, если D = 0 – один корень, если D < 0 – нет корней.

Проверь себя

1. Вычислите дискриминант квадратного уравнения:

а)

б)

в)

2. Не вычисляя непосредственно корни уравнения, ответьте: сколько корней имеет квадратное уравнение

3. Не производя построение графиков функций, ответьте: сколько точек пересечения имеет график функции и график функции Найдите область определения каждой из указанных функций.

4. Найдите дискриминант квадратного уравнения

5. Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень.

Возрастание и убывание функции, непрерывность, монотонность, нули функции, четность и нечетность функции

При решении некоторых задач полезно проводить исследование функции, описывающей некие процессы, упомянутые в задаче. Такие исследования могут позволить понять характер этих процессов и сформировать четкий алгоритм решения задачи.

В первую очередь, следует еще раз отметить понятие непрерывности функции. У этого термина есть подробное определение, рассматриваемое в курсе математического анализа. Для наших целей достаточно упрощенного понимания данного свойства функции.

Пример. Сравним две функции: и

На первый взгляд, функции очень похожи – если попробовать сократить x в уравнении второй функции, то мы должны получить все ту же функцию

Однако в данном случае «слепое» сокращение приводит к ошибочным выводам!

Напомним, что дробь не существует при х = 0 (так как на нуль делить нельзя). Таким образом, не существует и значения функции в точке х = 0. В таком случае говорят, что функция терпит разрыв в точке х = 0.

Графически разрыв обозначается «выколотой точкой»:

Получается, что на рисунке выше мы изобразили график функции Как вы видите, он отличается от графика функции наличием разрыва в точке х = 0.

Вывод: функция является непрерывной на множестве действительных чисел если она не терпит на нем разрывов.

Важную информацию о поведении функции также могут предоставить промежутки ее возрастания и убывания на определенном интервале.

Так, функция y = f (x) возрастает на интервале Х, если для любых точек и принадлежащих этому интервалу и связанных неравенством выполняется условие Проще говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Наоборот, функция y = f (x) убывает на интервале Х, если для любых точек и принадлежащих этому интервалу и связанных неравенством выполняется условие Проще говоря, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.