Комбинаторика. Теория вероятности Теория Основы теории множеств

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции.

Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты.

Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, – это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, – это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например, множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т. д.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

Существуют конечные (содержащие определенное число элементов) и бесконечные множества. Если элементы конечного множества как-либо пронумерованы, то множество считается упорядоченным. Упорядочить множество можно различными способами.

Способы задания множеств

1. Задание перечислением элементов (списком) – для конечных множеств.

2. Задание характеристическим свойством – для конечных и бесконечных множеств. Характеристическим свойством называют свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают элементы, не принадлежащие данному множеству.

Если каждый элемент множества Х является в то же время элементом множества Y, то говорят, что Х – часть (подмножество) множества Y. Любое множество, которое не является пустым, может быть разбито на подмножества.

Пример. Множество четных чисел, множество простых чисел, множество чисел, кратных трем, – это различные подмножества множества натуральных чисел.

Знак  означает, что одно множество является подмножеством (включено в другое множество). Например, запись   означает, что множество В является подмножеством множества А.

Операции над множествами

Пример. Рассмотрим класс, в котором учатся мальчики, имена которых не повторяются. В секцию плавания ходит 5 мальчиков – Антон, Боря, Витя, Гена и Дима. В секцию рисования ходит 6 мальчиков – Антон, Боря, Вова, Гриша, Дима, Егор.

Зададим множество Х = {мальчики в классе, которые ходят в секцию плавания} и множество Y = {мальчики в классе, которые ходят в секцию рисования}.

Пересечением множеств Х и Y называется множество состоящее из элементов, которые принадлежат как Х, так и Y. Применительно к нашему примеру, нужно выбрать мальчиков, которые ходят и на плавание, и на рисование. Таких мальчиков всего 3 – Антон, Боря и Дима.

Объединением множеств Х и Y называется множество состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х, Y. Применительно к нашему примеру, нужно выбрать всех мальчиков, которые ходят хотя бы на один из двух кружков – таких мальчиков всего 8 – Антон, Боря, Витя, Вова, Гена, Гриша, Дима и Егор.

Разностью множеств Х и Y называется множество состоящее из элементов множества Х, не принадлежащих множеству Y. Применительно к нашему примеру, нужно выбрать всех мальчиков, которые ходят на плавание, но не ходят на рисование. Таких мальчиков всего 2 – Витя и Гена.

Для геометрической иллюстрации действий над множествами используют диаграммы Эйлера – Венна.

ДОДЕЛАТЬ

Проверь себя

1. Конечно ли множество чисел между 1 и 2?

2. Является ли пустым множество корней уравнения

3. Является ли:

а) множество натуральных чисел подмножеством множества целых чисел?

б) множество простых чисел подмножеством множества целых нечетных чисел?

4. В столовой продаются булочки с мясом, с капустой, с яйцом, с маком и с повидлом, а в кафе – булочки с яблоком, с маком, с корицей, с мясом и с творогом.

Зададим множество Х = {булочки, продаваемые в столовой} и множество Y = {булочки, продаваемые в кафе}.

Определите результат:

а) пересечения множеств X и Y;

б) объединения множеств X и Y;

в) разности множеств X и Y.

5. Каждый из 32 участников опроса на выходных посетил театр или музей, причем несколько человек посетили и театр, и музей. Согласно результатам опроса, в театре на выходных побывало 20 человек, в музее – 18 человек. Определите, сколько участников опроса посетило в выходные только театр, сколько – только музей, а сколько – и театр, и музей.

Комбинаторика и ее основные законы

При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторого множества объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, располагать их в определенном порядке и т. д. Задачи подобного рода называются комбинаторными задачами. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Комбинаторика строится на двух основных законах – правиле суммы и правиле произведения.

Правило суммы звучит так: Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b – n способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого выбора элемента b, то выбор «а или b» можно сделать m + n способами. Различают два случая:

1. Если пересечение конечных множеств А и В пусто то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств А и В:

Иными словами, если в классе 5 учеников родилось в марте, а 10 – в апреле, то выбрать ученика, который родился или в марте, или в апреле, можно 5 + 10 = 15 способами (вариант рождения ученика в оба месяца сразу исключен – пересечение множеств пусто).

2) Если пересечение конечных множеств А и В не является пустым то число элементов в их объединении определяется по формуле включений и исключений:

Для любых конечных множеств А и В верно равенство:

Иными словами, необходимо не забыть вычесть все возможные пересечения множеств.

Например, если 10 участников конференции пило во время перерыва чай, 15 – кофе, а 2 человека – и чай, и кофе, то выбрать человека, который пил или чай, или кофе, можно 10 + 15 – 2 = 23 способами (постановка вопроса с использованием «или» подразумевает, что те, кто пил и чай, и кофе, нас не устраивают – пересечения множеств необходимо вычесть).

Правило произведения звучит так: если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) k способами, то пары объектов А и В можно выбрать mk способами:

Пример. В магазине продается 5 видов пиджаков и 7 видов брюк. Сколькими способами можно составить комплект из пиджака и брюк?

Решение. В данном случае выбор брюк не зависит от того, какой пиджак выбран (так же, как и выбор пиджака не зависит от того, какие брюки были выбраны). Происходит независимый выбор, как того требует правило произведения.

Значит, если пиджак можно выбрать 5 способами, а брюки – 7 способами, то подобрать комплект из пиджака и брюк, согласно правилу произведения, можно 5 ∙ 7 = 35 способами.

Правило произведения действует и при формировании троек, четверок и т.д. – т.е. можно формировать группы, состоящие из любого числа объектов.

Пример. Сколько существует пятизначных чисел, у которых первые 4 цифры – нечетные?

Решение. Представим себе пять последовательных позиций для цифр пятизначного числа.

На первую позицию можно поставить пять цифр – 1, 3, 5, 7 и 9.

На вторую, третью и четвертую позиции можно поставить все те же пять цифр: 1, 3, 5, 7 и 9.

А на пятой позиции может находиться любая из 10 цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9.

Всего имеем 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 10 = 6250 вариантов заполнения позиций – именно столько и будет искомых чисел.

Иногда задача ставится таким образом, что объекты в составляемом множестве не могут повторяться.

Пример. Шифр для замка чемодана должен состоять из трех неповторяющихся цифр. Сколько вариантов шифра можно составить при данных условиях?

Решение. Первую цифру мы можем выбрать 10 способами (любая цифра от 0 до 9). Вторую цифру шифра мы можем выбрать уже 9 способами – так как одна цифра уже «занята» и не может быть использована. Рассуждая аналогично, третью цифру можно выбрать 8 способами – в противном случае не исключен повтор ранее использованной цифры.

Итого имеем 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 вариантов шифра.

Проверь себя

1. На столе лежит 5 яблок и 3 апельсина. Сколькими способами можно взять со стола фрукт?

2. В 9 «А» классе 20 учеников любят алгебру, 12 – геометрию, а 9 – и алгебру, и геометрию. Сколько учеников в 9 «А» классе любят или алгебру, или геометрию?

3. В канцелярском магазине продается 25 видов тетрадей и 14 видов ручек. Сколькими способами первоклассник может купить в магазине тетрадь и ручку?

4. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 4 тома романа Л.Н. Толстого «Война и мир»?

5. Рома собрал коллекцию банкнот и монет из разных стран мира. Сейчас у него в коллекции 10 монет из Германии, 4 монеты из Франции, 2 банкноты из Италии, 3 банкноты из Португалии и 5 банкнот из Испании. Рома хочет подарить другу одну банкноту и одну монету. Сколькими способами он сможет это сделать? Считать, что все монеты и банкноты в коллекции различны.

Основные формулы комбинаторики

Рассмотрим основные комбинаторные задачи, которые встречаются в повседневной жизни.

1. Перестановки без повторений. Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов. Перестановки – это такие соединения по n элементов, которые отличаются лишь порядком входящих в него элементов.

Классические примеры перестановок – несколько человек становятся в очередь, несколько различных книг необходимо разместить на книжной полке, несколько человек необходимо разместить на стульях, стоящих в ряд.

Число перестановок определяется по формуле:

Выражение n! математики называют факториалом. Факториал числа n – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Например, 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6. При этом считают, что 0! = 1.

Пример. В песенном конкурсе участвуют 5 исполнителей. Сколько существует возможных вариантов распределения мест между ними?

Решение. В итоговой таблице турнира команды будут отличаться номерами занятых мест, поэтому для подсчета вариантов распределения мест между ними воспользуемся формулой перестановки:

2. Сочетания без повторений. Сочетания – это такие соединения из n элементов по m (m  n), которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом. В сочетаниях нас интересуют только сами элементы множества, и не интересует их порядок.

Примеры сочетаний: выбор нескольких дежурных по классу, выбор нескольких карт из колоды, выбор нескольких нот из одной октавы.

Число сочетаний без повторений определяется по формуле:

Пример. В вазе лежит 7 разных конфет. Мама собирает Машу в школу и хочет дать девочке 4 конфеты из вазы. Сколькими способами мама может это сделать?

Решение. В данном случае, важно то, какие конфеты получит Маша, а не то, в каком порядке их брала из вазы мама. Таким образом, любой выбор мамы – это сочетание без повторений из 7 элементов по 4. Таким образом, всего вариантов:

Здесь для удобства мы расписали 7! и 4! по определению и провели сокращение – осталось выражение 5 ∙ 6 ∙ 7.

3. Размещения без повторений. Размещениями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из n различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком.

Примеры размещений: раздача карт из колоды определенным игрокам, выбор председателя и заместителя председателя комиссии из числа участников собрания, распределение трех первых мест между участниками спортивного состязания.

Число возможных размещений из n различных элементов по m без повторений находится по формуле:

Для большего понимания сути размещений рассмотрим две, на первый взгляд, одинаковые задачи.

Пример. В гоночной команде 6 человек. Для участия в ралли необходимо выбрать двоих. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. В данной ситуации нам не важно, кто какую функцию будет выполнять (иными словами, порядок не важен). Задача заключается именно в выборе нескольких человек из команды.

Это – классический пример сочетания без повторений.

Пример. В гоночной команде 6 человек. Для участия в ралли необходимо выбрать водителя и штурмана. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. На первый взгляд, задача ничем не отличается от первой. Однако, заметим, что в данной ситуации нам важно, кто займет место штурмана, а кто – место водителя (иными словами, важен порядок).

Это – классический пример размещения без повторений.

Заметим, что во втором примере число вариантов в два раза превышает число вариантов, полученное в первом примере.

Этот факт можно объяснить так: пусть гонщики Александр и Богдан выбраны в качестве участников ралли. И Александр, и Богдан могут занять как место водителя, так и место штурмана.

В первом примере варианты «Антон – водитель, Богдан – штурман» и «Антон – штурман, Богдан – водитель» считаются за один (точное распределение ролей внутри экипажа не важно, важно лишь выбрать двоих), в то время как во втором примере важно точное распределение ролей внутри экипажа – поэтому данные варианты считаются различными.

4. Перестановки с повторениями. В перестановках с повторениями также участвует сразу все множество объектов, но есть одно ограничение: в данном множестве один или большее число объектов повторяются.

Примеры перестановок с повторениями: определение порядка выступления докладчиков на конференции, если у одного или нескольких докладчиков несколько выступлений, расстановка на полке книг, среди которых встречается несколько одинаковых, определение порядка уроков при составлении расписания на день (в том случае, если в течение дня проводится несколько уроков по одному и тому же предмету).

Число различных перестановок с повторениями из элементов {a₁, a₂, …, a_n}, в которых элементы a₁, a₂, …, a_n повторяются соответственно k₁, k₂, …, k_n раз, равно:

Пример. В гостиницу прибыло 10 отдыхающих. Их необходимо разместить в двух трехместных и двух двухместных номерах. Сколькими способами можно осуществить расселение?

Решение. Всего в гостинице 10 мест, однако эти места неравноценны (перестановки отдыхающих внутри одного номера мы считаем за один вариант, так как цель задачи – разместить отдыхающих по номерам как таковым).

Отдыхающим предложено 3 места 1 вида (в первом трехместном номере), 3 места 2 вида (во втором трехместном номере), 2 места 3 вида (в первом двухместном номере) и 2 места 4 вида (во втором двухместном номере). Отметим, что подразделение номеров на виды условно – номера одинаковой вместимости могут и не отличаться между собой, однако размещение трех человек в первом номере и размещение этих же людей во втором номере – два разных варианта.

Имеем перестановку 10 человек с повторениями:

5. Сочетания с повторениями. В сочетаниях с повторениями выборка производится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов.

Примеры сочетаний с повторениями: выбор нескольких фруктов из корзины, в которой находятся фрукты разных сортов, составление комплекта из нескольких книг при условии, что в наличии имеются книги разных авторов, составление набора из открыток при условии, что продается несколько видов открыток.

Формула для составления сочетания с повторениями из n элементов по m:

При решении задач обычно принимают во внимание тот факт, что элементы одного сорта являются одинаковыми, причем количество элементов одного сорта – неограниченно.

Пример. В кондитерском магазине есть следующие виды пирожных: бисквитные, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 4 пирожных?

Решение. Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожные (т.к. выбираем 4 штуки, а на выбор предложено 3 вида). В данном случае нас не интересует порядок пирожных в наборе – значит, имеем дело с сочетанием. Используем формулу сочетания с повторениями:

6. Размещения с повторениями. В данном случае из множества, состоящего из n элементов, выбирается m элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке. Заметим, что что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз.

Примеры размещений с повторениями: составление трехзначных шифров при условии, что любую цифру можно использовать любое количество раз, распределение предметов по ящикам при условии, что в один ящик может быть помещено несколько предметов, составление слов из букв, которые могут использоваться несколько раз.

Число размещений с повторениями из n элементов по m можно вычислить так:

Пример. В кассе осталось по одному билету на балет, в оперу и на спектакль. Сколькими способами их можно распределить между четырьмя театралами (если каждый может получить сколько угодно билетов)?

Решение. Пронумеруем билеты на балет, в оперу и на спектакль цифрами от 1 до 3. Билет с номером 1 может достаться любому из 4 театралов – та же ситуация с билетом 2 и билетом 3.

Таким образом, имеем размещение (так как билеты отличимы друг от друга, порядок распределения важен) с повторениями (человек может получить более одного билета на руки). То есть на каждый билет мы будем выбирать человека, который его и купит.

В итоге получим:

Следует отметить, что в более сложных задачах может применяться несколько комбинаторных формул, а также правило суммы и/или правило произведения.

Пример. Сестры Аня, Вика и Даша собираются на вечеринку. В их распоряжении есть 4 различных платья, 3 различные заколки и 5 различных пар обуви. Если учесть, что размер одежды и размер ноги у сестер одинаков, сколькими способами Аня, Вика и Даша могут нарядиться для вечеринки?

Решение. Порядок распределения в каждом случае важен – так как нам необходимо подобрать наряд для каждой конкретной девочки. Повторений быть не может – каждый элемент одежды уникален и может быть выбран только одной девочкой.

В случае с платьями имеем размещение без повторений – из четырех футболок необходимо выбрать три.

В случае с заколками имеем перестановку без повторений, так как число заколок совпадает с числом девочек.

В случае с парами обуви вновь имеем размещение без повторений (аналогично ситуации с платьями).

Так как девочки наряжаются в определенном порядке (на них должно находиться сразу три элемента одежды), то полученные в каждом отдельном случае количества комбинаций необходимо перемножить (по правилу произведения).

В итоге, получим:

Проверь себя

1. В пассажирском поезде 13 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 13 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

2. Туристическая фирма продает путевки во Францию, Италию, Испанию, Хорватию, Болгарию, Венгрию и Грецию. Турист хочет посетить две страны, причем одну – летом, а другую – зимой. Сколькими способами турист может выбрать себе страны для отдыха согласно данным условиям?

3. На почте имеется 6 видов марок. Сколькими способами на 3 конверта с письмами можно поставить марку?

4. В цветочном магазине в достаточном количестве представлены розы, ромашки, хризантемы и лилии. Сколькими способами можно составить букет из 9 цветов?

5. Воспитательница хочет разделить 3 одинаковые конфеты между 5 детьми. Сколькими способами она может это сделать, если каждый ребенок может получить не больше 2 конфет? Делить конфеты на части нельзя.

Основы теории вероятностей. Событие, эксперимент, исход

Даже в случайных явлениях, происходящих вокруг нас, можно найти закономерности. Именно в этом нас убеждает такая наука как теория вероятностей. Мы часто применяем ее в реальной жизни. Ежедневно нам приходится принимать решения, которые впоследствии повлияют на нашу жизнь.

И для того, чтобы эти решения оказались для нас благоприятными, мы пользуемся данной теорией, иногда сами того не осознавая. Мы оцениваем вероятность дождя, вероятность того, что работа будет выполнена в срок и многое другое.

При этом мы нередко сталкиваемся с экспериментами. Под экспериментом в теории вероятностей понимается некоторый реальный эксперимент, который можно провести и в жизни: подбрасывание монетки или игральной кости, раскручивание рулетки, вытаскивание экзаменационного билета и т.д.

То, что может получиться в результате эксперимента, называют элементарным исходом. Например, при бросании игрального кубика возможны следующие элементарные исходы: «выпало одно очко», «выпало два очка», «выпало три очка» и т.д.

Некоторый набор элементарных исходов и составляет случайное событие. Например, мы бросаем игральный кубик. Выпадение четного числа очков при этом – случайное событие. Событие состоит из трех элементарных исходов: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков». В дальнейшем такие элементарные исходы мы будем называть благоприятными, так как эти исходы позволяют случайному событию наступить.

В теории вероятностей рассматривается вероятность случайных событий. Вероятность события – это степень возможности наступления этого события.

По возможности наступления все события можно разбить на три типа: