Площадь параллелограмма и трапеции

Для нахождения площади параллелограмма нам понадобится знание основной формулы для нахождения площади треугольника.

Дан параллелограмм АВСD. Для удобства обозначим сторону АD за а. Напомним, что в параллелограмме противоположные стороны попарно равны.

С

B

А

Н

D

Проведем диагональ BD и рассмотрим два получившихся треугольника – треугольник АВD и треугольник BDC.

Эти треугольники равны по трем сторонам (одна сторона общая, а противоположные стороны параллелограмма, как мы уже отметили ранее, попарно равны).

Таким образом, площадь параллелограмма будет складываться из площадей двух одинаковых треугольников. Найдем площадь любого из них (например, ABD), предварительно проведя высоту ВН (обозначим ее в общем виде как h) к стороне AD:

В итоге, площадь параллелограмма будет равна:

Таким образом, площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Для доказательства мы могли бы рассматривать тот же треугольник, но проводить высоту к стороне АВ – мы бы получили аналогичную формулу.

Для вывода формулы площади трапеции снова воспользуемся формулой площади треугольника – на этот раз, формулой площади прямоугольного треугольника.

Для этого разделим трапецию двумя высотами на три фигуры – два треугольника и один прямоугольник.

А Н К D

B С

Для удобства введем дополнительные обозначения: BH = h, BC = a, AD = b.

Запишем площадь трапеции как сумму площадей входящих в нее геометрических фигур:

Так как BH = CK (как высоты трапеции), а HK = BC (как стороны прямоугольника), получим:

Таким образом, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на ее высоту.

Также полезно вывести формулу для нахождения площади любого выпуклого четырехугольника через его диагонали.

Несмотря на то, что для выведения этой формулы потребуется лишь формула площади треугольника, использующая синус угла, обычно в школьной программе данная формула не дается.

Изобразим произвольный выпуклый четырехугольник и проведем в нем диагонали АС и BD (обозначим их за d₁ и d₂ соответственно). Обозначим острый угол между диагоналями за α.

B

О

D

С

А

α

Выразим площадь четырехугольника через сумму площадей четырех получившихся треугольников. Предварительно заметим, что согласно формулам приведения sin α = sin (180^o – α). Этот факт мы используем в преобразованиях ниже:

Итого имеем:

Таким образом, площадь любого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Эту формулу можно применять в частных случаях – например, площадь ромба, согласно данной формуле, будет иметь вид:

Отметим, что при выведении этой формулы мы использовали тот факт, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Проверь себя

1. Докажите, что площадь параллелограмма можно найти по формуле: где а и b – его смежные стороны, α – угол между ними.

2. Докажите, что площадь ромба можно найти по формуле: где а – сторона ромба, r – радиус вписанной в ромб окружности.

3. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 12 см, высота – 6 см и острый угол равен 45°.

4. Высоты параллелограмма, проведенные из вершины острого угла, образуют угол 150°. Вычислите площадь параллелограмма, если его стороны равны 20 см и 30 см.

5. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 14 см, ВС = 8 см и боковой стороной АВ = 5 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание AD в точке K. Найдите площадь треугольника BDK.