В большинстве случаев для того, чтобы понять, убывает или возрастает функция на каком-либо интервале, достаточно просто посмотреть на график функции.
y
= f
(x)
На рисунке выше стрелка вверх показывает промежуток возрастания функции (где с ростом х растет и функция), стрелка вниз показывает промежуток убывания функции (где с ростом х функция значение функции уменьшается).
Важно заметить, что если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b) (иначе говоря, функция существует при x = a и x = b), то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.
Пример.
Ранее мы убедились, что функция
определена
и непрерывна для всех действительных
значений аргумента. Из графика следует,
что на промежутке
функция
убывает, а на промежутке
данная функция возрастает.
Однако,
будет более правильным сказать, что
данная функция убывает на
промежутке
,
а возрастает на промежутке
Точки, подобные точке х = 0 для функции имеют особое название – экстремумы функции. Иными словами, экстремумы функции – это точки ее минимума и максимума – то есть те точки области определения, в которых функция принимает наименьшее и наибольшее значение соответственно. Как мы установили выше, экстремумы (если они существуют) могут также включаться в промежутки возрастания и убывания функции.
Если
функция только возрастает или только
убывает на данном числовом промежутке,
то она называется монотонной
на этом промежутке. Например, линейная
функция
является
монотонно возрастающей на всей области
определения.
При анализе различных функций полезно помнить и о нулях функции – то есть тех значениях х, при которых значение функции равно нулю. Отсюда вывод – чтобы найти нули функции y = f (x), необходимо решить уравнение f (x) = 0.
При этом те числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства.
Заметим, что для нахождения промежутков знакопостоянства не обязательно иметь график функции – достаточно решить два неравенства: f (x) > 0 и f (x) < 0.
Отдельно рассмотрим классификацию функций на четные и нечетные.
Функция
называется
четной,
если для каждого значения x
из ее области определения значение –
x
также принадлежит области определения
и выполняется равенство
График четной функции симметричен относительно оси y.
Например,
четными является графики функций
и
Функция
называется
нечетной,
если для каждого значения x
из области определения значение – x
также принадлежит области определения
и выполняется равенство
График четной функции симметричен относительно начала координат.
Например,
нечетными является графики функций
и
Если функция не является ни четной, ни нечетной, то говорят, что задана функция общего вида.
Таким образом, для того, чтобы подробно исследовать функцию (или как говорят математики, прочитать функцию), необходимо оценить следующие параметры функции:
1.
Область определения функции
(т.е. множество допустимых значений
переменной x);
2.
Область значений функции
определяется
по оси y;
3. Четность, нечетность функции;
4. Наибольшее и наименьшее значение функции;
5. Нули функции (определяются в точках пересечения графика с осью x);
6. Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства.
Проверь себя
Проверьте, являются ли данные функции непрерывными на множестве всех действительных чисел:
а)
б)
в)
г)
Укажите все промежутки, на которых данная функция возрастает и/или убывает:
а)
в)
д)
ж)
б)
г)
е)
з)
Исследуйте данные функции на наличие нулей и найдите их, если они есть:
а)
в)
б)
г)
д)
е)
Определите, являются ли данные функции четными или нечетными или относятся к функциям общего вида?
а)
в)
б)
г)
д)
е)
Проведите полное исследование функции
Кусочные функции и их построение
Иногда функции задаются не одной формулой, а сразу несколькими – в зависимости от числового промежутка. Такие функции в математике называются кусочными, так как такая функция как бы состоит из «кусочков» других функций.
При задании кусочных функций формулы объединяются под знаком системы. Также под знаком системы указывается, для какого числового промежутка справедлива та или иная формула.
Пример. Задана кусочная функция:
Эта
запись означает, что значение функции
вычисляется по формуле
когда x
больше или равен нулю.
Когда
же x
меньше нуля, то значение функции
определяется по формуле
В частности, если х = 1, то f (x) = 1 – т.е. будет применяться первая формула. Если же х = –1, то f (x) = –1 – т.е. будет применяться уже вторая формула.
Чтобы построить график кусочной функции, сначала следует построить графики входящих в нее функций вне зависимости от значения x (т. е. на всей области определения). После этого от полученных графиков необходимо взять только те части, которые принадлежат соответствующим промежуткам x, после чего объединить эти части в один график.
В некоторых случаях можно пропустить часть прорисовки подробных графиков входящих функций на всей области определения – в частности, можно пропустить этот шаг при прорисовке кусочно-линейной функции (то есть функции, которая состоит из «кусочков» линейных функций).
Изобразим
график функции
Областью определения данной функции будет являться промежуток [0; +∞). Таким образом, этот график полностью попадет в кусочную функцию (т.к. здесь x находится под знаком корня и в принципе не может принимать отрицательных значений).
Построим график функции f(x) = –x2. Получим перевернутую параболу:
В данном случае в кусочную функции мы возьмем только ту часть параболы, для которой x принадлежит промежутку (–∞; 0). В результате получится такой график кусочной функции:
