Рассмотрим два примера и решим их наиболее удобным способами.

Пример. Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?

Решение. Если катер двигается по течению, то его фактическая скорость равна 15 + 2 = 17 км/ч. Если катер двигается против течения, то его фактическая скорость равна 15 – 2 = 13 км/ч.

Общий путь катера складывается из отрезка, пройденного по течению, и отрезка, пройденного против течения.

Окончательно имеем:

Пример. Расстояние между пристанями А и В по реке равно 72 км. От пристани А в сторону пристани В отправился плот. Спустя 12 ч от пристани В навстречу плоту вышел катер, собственная скорость которого равна 16 км/ч. Найдите скорость плота, если к пристаням А и В плот и катер прибыли одновременно?

Решение. Проанализируем условия задачи и определим направление течения. Так как плот, который не имеет собственной скорости, движется от пристани А к пристани В, то течение направлено именно от пристани А к пристани В. Отсюда следует, что катер двигается против течения. Скорость плота равна скорости течения, поэтому обозначим скорость течения за x.

Таблица имеет вид:

Направление	Скорость	Время	Расстояние
По течению (плот)	х		72
Против течения (катер)	16 – х		72

Согласно условиям задачи, катер находился в пути на 12 ч меньше, чем плот. Разница времени, которое потратили на путь плот и катер, и ляжет в основу уравнения.

Разделим обе части уравнения на 12:

Приведем к общему знаменателю:

Так как скорость течения, обозначенная за х, неотрицательна и меньше 16 км/ч по смыслу задачи, мы можем избавиться от знаменателя (домножив на него обе части уравнения) и сравнивать числители:

По теореме Виета имеем корни и

Первый корень не подходит по условию задачи (скорость течения не может превышать собственную скорость катера, иначе катер не сможет двигаться по воде против течения).

Таким образом, получаем, что плот двигался по реке со скоростью 4 км/ч.

Проверь себя

1. Катер прошел 4 ч по течению реки и 3 ч против течения. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Чему равна собственная скорость катера, если всего катер проплыл 44 км?

2. Моторная лодка прошла по течению реки 96 км и столько же против течения, затратив на весь путь 10 ч. Вычислите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.

3. Парусная яхта проходит по течению реки до пункта назначения 76 км и после непродолжительной стоянки возвращается обратно в пункт отправления. Найдите скорость парусной яхты в стоячей воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится час, а в пункт отправления парусная яхта возвращается через 20 часов после отплытия из него.

4. В 7 часов утра турист отправился на лодке против течения реки. Через некоторое время он бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в полдень того же дня. На какое расстояние от места отправления он отдалился, если скорость лодки в стоячей воде составляет 6 км/ч, а скорость течения реки – 2 км/ч?

5. От пристани А к пристани В против течения реки вышла моторная лодка. В пути у нее сломался мотор, и пока его 20 мин чинили, лодку снесло вниз по реке. Определить, на сколько часов позднее лодка прибыла в пункт В, если обычно путь из А в В лодка проходит в 1,5 раза дольше, чем путь из В в А.

Движение протяженных объектов

Ранее в некоторых задачах блока «Проверь себя» уже встречались несложные задачи на движение протяженных объектов. Такие задачи удобно визуализировать и решать именно с использованием схемы.

Рассмотрим комплексную задачу, составив схему.

Пример. Поезд проходит мимо столба в течение 10 сек, а мимо лесополосы длиной 400 м – в течение 30 сек. Определите длину и скорость поезда.

Решение. Визуализируем то, как поезд проходит мимо столба.

Начало движение поезда мимо столба:

Конец движения поезда мимо столба:

Таким образом, каждая точка поезда проходит одинаковое расстояние, равное длине поезда. Пусть скорость поезда равна v м/с. Тогда, согласно логике выше, длина поезда равна 10v м.

Теперь разберемся со случаем, когда поезд проезжает мимо лесополосы. Снова нарисуем схему.

Поезд полностью проехал лесополосу

Поезд подъезжает к лесополосе

Таким образом, в этом случае каждая точка поезда пройдет одинаковое расстояние равное сумме длины поезда и длины лесополосы. В этом легко убедиться, взяв воображаемую точку на голове поезда и проследив, на какое расстояние переместится эта точка.

Учитывая, что длина поезда уже выражена через переменную v, приравняем путь, который пройдет поезд за 30 сек, к сумме длин поезда и лесополосы:

10v + 400 = 30v.

Отсюда v = 20 м/с. Тогда длина поезда составляет 20 ∙ 10 = 200 м.

Проверь себя

1. Электропоезд, двигаясь со скоростью 38 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 2 км/ч туриста за 18 сек. Определите длину поезда (в метрах).

2. В течение скольких секунд пассажир, сидящий у окна электропоезда, идущего со скоростью 108 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный пассажирский поезд, длина которого составляет 350 м, а скорость – 72 км/ч?

3. Почтовый поезд проходит по мосту, длина которого 900 м, за 48 сек, а мимо идущего в том же направлении параллельно путям товарного поезда – за 1 мин 28 сек. Определите длину почтового поезда (в метрах) и его скорость (в км/ч), если скорость товарного поезда составила 54 км/ч, а его длина – 580 м?

4. Баржа, двигающаяся по течению с собственной скоростью 20 км/ч, проходит мимо пристани за 27 сек. Определите длину пристани, если длина баржи составляет 65 м, а скорость течения – 2 км/ч.

5. Теплоход, собственная скорость которого составляет 36 км/ч, двигается против течения, скорость которого – 3 км/ч, и проходит мимо наблюдателя, плывущего на плоту, за 6 сек. Определите длину теплохода (в метрах).

Движение тел по окружности

Задачи на движение тел по окружности решаются аналогично задачам на прямолинейное движение. Однако следует помнить о некоторых нюансах:

В задачах на движение по окружности желательно делать рисунок, чтобы расставить величины и увидеть взаимосвязь между транспортными средствами.

Если транспортные средства начали двигаться из одной точки в диаметрально противоположных направлениях, то между ними расстояние равное половине длины окружности.

Если в задаче сказано, что транспортные средства двигаются в одном направлении, то необходимо узнать их скорость опережения: для этого из большей скорости вычитается меньшая.

Любую задачу на круговое движение можно представить как задачу на прямолинейном отрезке, мысленно развернув круговую трассу в прямую.

Пример:

Задачи на производительность

Основными компонентами в задачах на работу являются: работа, производительность труда и время.

Производительность – это работа, выполненная за единицу времени (иначе, скорость работы). Если обозначить через

A – объем выполненной работы,

p – производительность труда,

t – время,

то можно записать равенство:

которое называется формулой работы.

Все задачи на работу можно условно разделить на две группы:

задачи, в которых выполняемый объем работы известен или его нужно определить (например, количество изготовленных деталей, количество га вспаханной земли, объем бассейна и т.д.);

задачи, в которых вообще не сказано, какая работа выполняется или эта работа задана неявно (в таких задачах зачастую задано только время).

При решении задач второй группы удобно ввести самим единицу работы, равную всей работе. Тогда производительность труда есть часть всей работы, выполненной за единицу времени. Но можно поступить и привычным способом: обозначить объем работы через A . Вы обнаружите, что при решении уравнения или системы уравнений эта переменная «исчезнет», т.е. обе части уравнения будут разделены на A .

При решении задач необходимо особое внимание обратить на то, чтобы единицы измерения каждой величины были одинаковыми. Как и другие текстовые задачи, задачи на работу можно решать как арифметическим способом (составлять числовые выражения с данными величинами и находить их значения), так и алгебраическим способом (введением неизвестных и составлением уравнения или системы уравнений). При решении задач алгебраическим способом не нужно бояться большого количества введенных неизвестных. Во время анализа задачи и решения системы значение некоторых переменных могут вообще не понадобиться.

Решим несколько задач арифметическим способом.