Как уже отмечалось ранее, расстояние поезда прошли одно и то же, поэтому выражения, полученные в столбце «Расстояние», можно приравнять. Получим уравнение:

Таким образом, скорый поезд догонит пассажирский на расстоянии 66 ∙ 10 = 660 км от Саратова. Следовательно, расстояние от Москвы до места встречи составит 855 – 660 = 195 км.

Нередко встречаются задачи, в которых объекты движения делают остановки. Решение таких задач сводится к уравнению разности времени того объекта, который не делал остановку, и объекта, который сделал остановку.

Пример. Из города в поселок, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 19 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встретились в 9 км от города. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из города, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 1 км/ч большей, чем пе­ше­ход, шед­ший из поселка, и сде­лал в пути 30-минутную остановку.

Решение. Обозначим скорость пешехода, следовавшего из города в поселок, за х. Тогда, согласно условию задачи, пешеход, следовавший ему навстречу, шел со скоростью х – 1. Так как встреча произошла в 9 км от города, пешеход, вышедший из города, прошел до встречи 9 км, а вышедший из поселка прошел 19 – 9 = 10 км. Отразим эти данные в таблице.

Пешеход	Скорость	Время	Расстояние
Из города	х		9
Из поселка	х – 1		10

Пешеход, вышедший из города, находился собственно в пути на полчаса меньше, чем пешеход, вышедший из поселка (для упрощения понимания этого факта можно представить, как первый пешеход, шедший с большей скоростью, прибыл к точке встречи и ждал более медленного пешехода полчаса).

Поэтому можно связать выражения из колонки «Время» следующим соотношением:

Приводим все алгебраические дроби к общему знаменателю:

Так как скорость, обозначенная за х, больше 1 км/ч (по условию задачи), мы можем избавиться от знаменателя (домножив на него обе части уравнения) и сравнивать числители:

По теореме Виета имеем корни и

Первый корень не подходит по условию задачи (скорость пешехода не может быть отрицательной). Таким образом, получаем, что пешеход, шедший из города, двигался со скоростью 6 км/ч.

Проверь себя

1. Скорость автомобиля – 60 км/ч, а автобуса – 40 км/ч. Чему равно расстояние между двумя городами, если известно, что автомобиль проходит это расстояние на 5 ч быстрее, чем автобус.

2. Для того чтобы добраться от лесополосы до города на велосипеде, туристу потребовалось 5 ч. На мотоцикле он смог бы проехать это расстояние за 2 ч. Известно, что на мотоцикле турист едет со скоростью на 27 км/ч большей, чем на велосипеде. Чему равно расстояние от лесополосы до города?

3. Из Москвы в Ярославль направился рейсовый автобус. Спустя 2 ч из-за неисправности двигателя он задержался на 24 мин и, чтобы попасть в Ярославль по расписанию, увеличил скорость на 5 км/ч. Определите скорость, с которой первоначально ехал автобус. Расстояние от Москвы до Ярославля принять равным 270 км.

4. В 14:00 велосипедист отправился из поселка в город со скоростью 18 км/ч. Пробыв в городе 2 ч, он отправился обратно со скоростью 15 км/ч. Найти расстояние от поселка до города, если известно, что велосипедист вернулся в поселок в 23:20 того же дня.

5. Мотоциклист каждую минуту проезжает на 800 м больше, чем велосипедист, поэтому на путь в 30 км он затрачивает времени на 2 ч меньше, чем велосипедист. Определите скорость мотоциклиста.

Задачи на движение по воде

При решении задач на движение по реке могут помочь знания из повседневной жизни.

1. Движение в стоячей воде

Вновь рассмотрим пример, чтобы вывести необходимую формулу.

Если в задаче речь идет об озере (или о стоячей воде в принципе), это значит, что вода не помогает, но и не препятствует движению судна (течения нет).

По озеру судно может двигаться только с той скоростью, которая обусловлена мощностью двигателя или гребцов. Такая скорость в задачах на движение по воде называется собственной скоростью судна.

2. Движение в подвижной воде (реке)

Если в задаче идет речь о реке или о другом водном объекте, у которого есть течение, то фактическая скорость движения судна будет отличаться от его собственной скорости.

• Если судно двигается по течению реки («вниз по реке»), то скорость судна увеличивается, так как течение реки дополнительно «подталкивает» судно.

• Если судно двигается против течению реки («вверх по реке»), то скорость судна уменьшается, так как течение реки сносит судно и мешает его движению.

Таким образом, для фактической скорости движения судна в реке справедливы следующие формулы:

Следует отдельно отметить, что если в задаче упоминается плот и он двигается по реке, то скорость плота равна скорости течения (т.к. принято считать, что собственной скорости у плота нет).

При решении задач на движение в подвижной воде удобно составлять таблицу. В качестве ситуаций рассматривается движение судна по течению и против течения.