Площадь правильного многоугольника. Площадь круга и сектора

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Например, правильный пятиугольник и правильный шестиугольник будут выглядеть так:

В L M

С

А

K N

D P O

E

Здесь и далее мы будем говорить о правильных n-угольниках – т.е. о правильных многоугольниках, число сторон в которых равно n.

Как мы уже отметили ранее, в правильном многоугольнике все внутренние углы равны. Сумму всех углов в выпуклом n-угольнике можно найти по формуле: откуда получаем, что в правильном n-угольнике все углы равны

Теорема. Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают.

Доказательство. Сначала рассмотрим ситуацию с описанной окружностью. Сделаем схематичный рисунок, изобразив лишь часть окружности и часть многоугольника.

Проведем из углов В и С биссектрисы до их пересечения (в т. О). Соединим точку О и соседнюю вершину многоугольника (т. D).

Треугольник ВОС – равнобедренный с основанием ВС и углами при основании, равными где α – градусная мера угла правильного многоугольника.

Треугольники ВОС и COD равны по первому признаку равенства треугольников (ВС = CD как стороны правильного многоугольника, ОС – общая сторона, а углы ВСО и ОСD равны, т.к. СО является биссектрисой по нашему изначальному построению). Таким образом, углы при основании CD в треугольнике COD также равны С учетом этого, а также с учетом того, что угол D равен α (т.к. многоугольник является правильным), можно сделать вывод, что DO также является биссектрисой.

Аналогично, рассматривая последовательно вершины, соседние с ранее рассмотренными, получаем, что каждый треугольник, у которого одна сторона является стороной правильного многоугольника, а противолежащая вершина – точка O, является равнобедренным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны. Более того, все эти треугольники имеют равные высоты, опущенные на основания.

Отсюда следует, что все вершины треугольника равноудалены от точки O на расстояние длины боковой стороны и лежат на одной окружности, а все стороны многоугольника касаются окружности с центром в точке O и радиусом, равным высотам треугольников, опущенным из вершины O. Теорема доказана.

Отметим, что любой правильный n-угольник можно разделить на n равных равнобедренных треугольников. Как мы уже установили выше, высота, проведенная из точки О к основанию такого треугольника, равна радиусу вписанной окружности.

Таким образом, площадь одного такого треугольника будет равна:

где а – сторона многоугольника, r – радиус вписанной в многоугольник окружности.

Так как таких треугольников в n-угольнике ровно n, то окончательная формула для площади правильного n-угольника будет иметь вид:

где p – полупериметр многоугольника.

Отдельно заметим следующий интересный факт. При возрастании числа сторон n периметр (равно как и полупериметр) правильного многоугольника будет стремиться к длине окружности C (углы правильного многоугольника с ростом числа сторон будут все больше и больше «сглаживаться» – и правильный многоугольник будет все больше и больше похож на окружность).

Размышляя аналогично, можно сделать вывод о том, что при возрастании числа сторон n радиус вписанной в правильный многоугольник окружности будет стремиться к радиусу окружности, длина которой равна С.

Таким образом, при возрастании числа сторон n площадь правильного многоугольника будет стремиться к площади круга.

Вспомним, что для правильного многоугольника и выведем формулу для площади круга. В качестве периметра будет выступать длина окружности С – она равна Получим:

Иногда в задачах требуется найти площадь части круга – сектора.

Круговой сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги.

Площадь сектора составляет определенную долю от площади круга. Эта доля зависит от угла сектора α. Так как весь круг составляет 360^о, имеем следующую формулу площади кругового сектора:

Проверь себя

1. Сторона правильного многоугольника равна 6 см, а внутренний угол равен 144°. Найдите периметр многоугольника.

2. Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

3. Вычислите площадь круга, если длина окружности равна

4. Вычислите площадь кругового сектора, радиус которого равен а угол составляет 40^о.

5. Применив классическое определение синуса и косинуса угла, выведите из полученной в теоретическом блоке формулы для площади правильного n-угольника формулу:

где R – радиус описанной окружности.