Контрольная проверка Вариант 1

8. Найдите двадцать первый член последовательности 443

9. Числовая последовательность представляет собой множество отрицательных чисел, кратных 13. Каким по счету членом последовательности является число –208? 16

10. Определите первый целый член числовой последовательности: 1

11. Задайте аналитически последовательность:

12. Найдите четвертый член последовательности, заданной соотношением:

Контрольная проверка Вариант 2

8. Найдите двенадцатый член последовательности 1683

9. Числовая последовательность представляет собой множество отрицательных чисел, кратных 17. Каким по счету членом последовательности является число –357? 21

10. Определите первый целый член числовой последовательности: -2

11. Задайте аналитически последовательность:

12. Найдите четвертый член последовательности, заданной соотношением:

Прогрессии Теория Понятие арифметической прогрессии

Числовая последовательность (a_n) (где nN) называется арифметической прогрессией, если каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему плюс одно и то же число d (разность прогрессии).

Пример. В первом ряду кинозала 8 мест, а в каждом следующем ряду – на 2 места больше. Сколько мест: а) во втором ряду; б) в третьем ряду; в) в n-ном ряду?

Решение. Числовая последовательность задает количество кресел в каждом ряду кинозала, а номером каждого члена последовательности будет служить номер соответствующего ряда. Проверим, является ли последовательность, представленная в задаче, арифметической прогрессией.

Каждый член последовательности, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число, равное 2 (в каждом новом ряду появляется два дополнительных кресла).

Ряд 1 = 8 кресел

Ряд 2 = 8 + 2 кресел = 10 кресел

Ряд 3 = 8 + 2 + 2 кресел = 12 кресел

Ряд 4 = 8 + 2 + 2 + 2 кресел = 14 кресел

Поэтому приведенная в задаче последовательность является арифметической прогрессией, у которой

Определить, сколько кресел будет во втором, третьем и четвертом рядах не составляет большого труда.

А для того, чтобы определить, сколько кресел будет в n-ном ряду, еще раз внимательно посмотрим на зависимость числа кресел от номера ряда и попробуем увидеть закономерность.

Как мы видим, для того, чтобы получить число кресел в каком-то ряду, мы прибавляем к числу кресел в первом ряду (к первому члену прогрессии) одно и то же число кресел (разность прогрессии d), умноженное на число, которое на единицу меньше номера искомого ряда (для 2 ряда – умножаем на 1; для 3 ряда – умножаем на 2; для 4 ряда – умножаем на 3 и т.п.).

Если записать общую формулу нахождения n-ного члена арифметической прогрессии, то она, с учетом вышесказанного, будет иметь следующий вид:

Проверь себя

6. Определите, является ли приведенная числовая последовательность арифметической прогрессией (аргументируйте свой ответ): a) б) 4, 8, 12, 16, …, 4k, …; в)

7. Вычислите разность следующих арифметических прогрессий: а) б) в)

8. Готовясь к экзамену, Катя планирует каждый день решать на три задачи больше, чем в предыдущий день. В первый день подготовки Катя решила семь задач. Сколько задач она должна решить в четырнадцатый день подготовки?

9. Найдите и в арифметической прогрессии

10. Определите первый член арифметической прогрессии, семнадцатый член которой равен 38, а одиннадцатый член равен 47.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Сумма членов арифметической прогрессии

Еще одним важным свойством арифметической прогрессии является ее характеристическое свойство. Оно гласит: n-ый член арифметической прогрессии является средним арифметическим равноудаленных от него членов прогрессии:

Схематически данное свойство можно изобразить следующим образом:

Возможно, именно из-за характеристического свойства такая прогрессия и называется арифметической.

Из характеристического свойства следуют необходимые и достаточные условия:

a) когда числа a, b, c (в указанной очередности) образуют арифметическую прогрессию: 2b = a + с.

б) когда числа a, b, c (независимо от очередности) образуют арифметическую прогрессию:

в) если арифметическая прогрессия и k + n = m + p (k, n, m, p  N), то

Следует также отметить, что арифметическая прогрессия называется возрастающей (убывающей), если ее разность – положительное (отрицательное) число. Если же разность арифметической прогрессии равна нулю, то перед нами постоянная последовательность.