1. Простейшая линейная функция (прямая пропорциональность)

Как мы устанавливали ранее, если какая-либо величина изменяется пропорционально (прямо или обратно), то на графике такая зависимость представляет собой прямую линию. Прямая пропорциональная зависимость выражается формулой у = kх, где k – постоянное число (константа), которое называют коэффициентом пропорциональности.

Пусть k = 2. Для того чтобы изобразить график функции у = 2х, составим таблицу. Подставим несколько целых значений х в уравнение функции и заполним таблицу значениями.

			0
			0	2	4

Еще раз отметим, что мы не можем поместить в таблице все возможные значения х и у. Однако можно легко сообразить, что если х будет изменяться, например, от 1 до 2 непрерывно (т.е. переходя через все возможные числа, которые заключены между 1 и 2), то у будет также изменяться непрерывно (т.е. переходя через все возможные числа, заключенные между 2 и 4).

Таким образом, хотя наша таблица содержит лишь некоторые значения х и у, мы из нее видим, что когда х получит какое-нибудь значение, которое находится между уже указанными в таблице значениями х в таблице, то и у получит значение, которое находится между уже указанными в таблице значениями х в таблице.

Можно проверить справедливость данного рассуждения, подставив 1,1 или 1,9 вместо х и проверив то, где относительно 2 и 4 будут находиться значения у.

Нанесем полученные точки на график и соединим их линией.

у = 2х

Рассмотрим подробнее участок полученного выше графика.

O A B

у

	E
C	D
				x

Докажем наше предположение, что график будет иметь вид прямой линии. Для этого возьмем три соседние точки (например, О, С и Е), последовательно соединим их и докажем, что СЕ – продолжение ОС.

Рассмотрим треугольники АОС и СDE. Они являются прямоугольными, поэтому для доказательства их равенства достаточно доказать равенство любых двух измерений треугольников. Т.к. ОА = СD (по условию построения графика, ОА = СD = 1) и АС = DE (по условию построения графика, AC = DE = 2), поэтому данные треугольники равны.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов – а именно, углов AOC и DCE.

Поэтому можно сделать вывод, что прямая СЕ составляет продолжение прямой ОС. Значит, три точки О, С и Е лежат на одной прямой. Все сказанное об этих трех точках может быть применено к любым другим трем точкам, последовательно выбранным на графике. Значит, все точки должны лежать на одной прямой. Именно поэтому данная функция называется линейной.

Таким образом, для построения графика функции, обозначающей прямую пропорциональность, достаточно двух точек (т.к. для построения любой прямой на плоскости достаточно двух точек).

Рассмотрим подробнее, что будет происходить с графиком функции y = kx, если изменять значение коэффициента k. Для этого построим на одном чертеже графики функций y = 2x, y = 4x и y = x. Дополнительно нанесем еще график функции y = –2x, этот график понадобится нам в дальнейших выкладках.

у = –2х

у = х

у = 2х

у = 4х

Наглядно видно, что по мере возрастания коэффициента k (от k = 1 до k = 4) прямая отклоняется все больше и больше от оси x, приближаясь к оси у. Таким образом, можно сделать вывод, что коэффициент k в функции у = kх характеризует собой угол, составленный прямой с полуосью Ох, поэтому число k называют угловым коэффициентом прямой, выражающей графически функцию у = kх.

Если выразить коэффициент k из уравнения функции y = kx, то можно заметить, что угловой коэффициент равен отношению какого-нибудь значения функции (ординаты) к соответствующему значению независимой переменной (абсциссе). Иными словами:

Как известно из геометрии, в прямоугольном треугольнике отношение одного катета к другому катету равняется тангенсу угла α, противолежащего первому катету. Поэтому можно сделать вывод, что угловой коэффициент также равен тангенсу угла, который образуется между положительным (от 0 до бесконечности) направлением оси x и графиком функции.

Рассмотрим теперь график функции y = –2x. Заметим, что в этом случае положительным значениям х будут соответствовать отрицательные значения у, и наоборот. В этом случае угол, образованный прямой с положительным направлением оси х, будет тупой – и его тангенс (а значит, и угловой коэффициент) равен –2.

Получается, что если коэффициент k положительный (например, в случае с графиком функции y = 2x), тогда прямая поднимается вверх (от точки О вверх и вправо). Если же коэффициент k отрицательный (как в случае с графиком функции y = –2x), прямая опускается вниз.

Проверь себя

1. Задана функция:

а) Найдите область определения и область значений этой функции.

б) Определите угловой коэффициент.

в) Начертите график этой функции.

г) Определите (графически) координаты точки пересечения графика этой функции и графика функции y = 3.

2. Определите по графикам функций y = kx, положительным или отрицательным является коэффициент k.