Площадь треугольника

Для нахождения площади треугольника существует большое количество формул. Поэтому необходимо правильно пользоваться этими формулами в зависимости от того, что дано в задаче и что требуется найти.

Для начала рассмотрим площадь прямоугольного треугольника.

B

D

А

Для этого, достроим его до прямоугольника.

C

B

А

D

Рассмотрим получившиеся треугольники – АВD и BCD. Они равны по трем сторонам (в прямоугольнике ВС = AD, АВ = CD, плюс общая сторона). А у равных фигур – равные площади. Отсюда вывод – диагональ BD делит прямоугольник на два равных по площади треугольника, среди которых – и наш исходный треугольник.

Площадь прямоугольника – это произведение длины (например, АD) и ширины (например, АВ). Если обозначить сторону АВ за а, а AD – за b, то получим общую формулу площади прямоугольного треугольника ABD:

Иными словами, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

А как быть с непрямоугольным треугольником? Ответ прост – любой треугольник можно разделить высотой на два прямоугольных. Этим мы и воспользуемся при выведении формулы площади непрямоугольного треугольника.

Пусть нам дан непрямоугольный треугольник АВС. Найдем его площадь. Для этого проведем высоту ВН.

В

Н

С

А

Обозначим основание, к которому была проведена высота (AC), за а, а саму высоту (BH) – за h.

Выразим площадь каждого из получившихся прямоугольных треугольников.

Запишем площадь искомого треугольника как сумму площадей этих прямоугольных треугольников и вынесем общий множитель за скобки. Получим:

Но НС + АН = АС. Тогда получим:

Иными словами, площадь любого треугольника равна произведению основания на высоту, проведенную к этому основанию (для прямоугольного треугольника высотой и основанием являются катеты).

Из данной формулы легко выводится еще одна популярная формула для площади треугольника, использующая синус одного из углов треугольника. Используем тот же чертеж.

В

А

Н

С

Рассмотрим треугольник АВН. В частности, заметим, что катет ВН можно выразить по определению через синус противолежащего угла (в данном случае, угла А):

Воспользуемся ранее полученной формулой для площади треугольника и подставим в нее вместо ВН полученное выражение.

Если обозначить сторону АС за а, а сторону АВ – за b, то получим общую формулу:

Таким образом, площадь любого треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Еще одной часто используемой формулой нахождения площади треугольника является формула Герона.

О Героне известно довольно мало. Однако до нас дошли некоторые его труды и копии его трудов. Он изобрел автоматические двери, которые производили огромное впечатление на людей, приходивших в храмы, первый торговый автомат, наливавший за монетку определенное количество святой воды, механических певчих птиц, автоматический театр, самострельный арбалет, паровую турбину и многое другое. К сожалению, в средние века многие его изобретения оказались никому не нужными.

Формула Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника по длинам его сторон, в действительности была открыта Архимедом. Однако это не умаляет того, что сделал этот человек. Воспроизведем наиболее простое доказательство, в основе которого лежит теорема Пифагора.

Теорема. Площадь треугольника, длины сторон которого равны а, b и с, находится по формуле:

где

Доказательство. Для доказательства нам потребуется все тот же чертеж, что мы использовали при двух прошлых доказательствах.

Для удобства обозначим стороны и отрезки так: АВ = b, ВС = а, АС = c, AH = х, CH = у, BH = h.

В

А

Н

С

Рассмотрим треугольники АВН и BHC. В частности, выразим общий катет этих треугольников через теорему Пифагора. Получим:

Отсюда имеем:

Используем формулу сокращенного умножения:

Вспомним, что х + у = с, и получим:

Если сложить последнее равенство с уже упомянутым нами равенством х + у = с, то получим следующее:

Подставим найденное выражение для у в формулу для нахождения квадрата высоты треугольника и произведем необходимые упрощения:

Последовательно применим формулы квадратов разности и суммы:

Упрощаем далее, применяя формулу разности квадратов:

Из формулы следует:

Поэтому выражение для квадрата высоты можно представить так:

Извлечем корень из левой и правой частей получившегося равенства:

Так как получим:

ч.т.д.

Нередко в задачах требуется найти радиус вписанной в треугольник окружности или описанной около треугольника окружности. Это можно сделать через формулы площади треугольника.

Докажем, например, что площадь любого треугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности.

Теорема. Доказать, что площадь треугольника можно найти по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, р – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.

Доказательство. Впишем окружность в произвольный треугольник АВС, проведем радиусы в точки касания, после чего соединим центр окружности с вершинами треугольника.

Обозначим стороны треугольника так: ВС = а, АС = b, AB = c.

Вспомним, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Рассмотрим три получившихся треугольника (АОС, АОВ, ВОС). В силу того, что проведенные в них радиусы являются и высотами, запишем классическую формулу площади для каждого треугольника и сложим их:

Что и требовалось доказать.

Для того, чтобы вывести формулу площади треугольника, в которой используется радиус описанной окружности, вспомним основное следствие из теоремы синусов и используем его в связке с формулой площади треугольника, в которой упоминается синус угла.

Теорема. Доказать, что площадь треугольника можно найти по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

Доказательство. Запишем теорему синусов для произвольного треугольника вместе с основным следствием:

Вспомним формулу площади треугольника и подставим в нее значение для sin C, полученное выше:

ч.т.д.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ