1. Невозможное событие

Это такое событие, которое просто не может наступить в результате эксперимента. Например, к невозможным событиям можно отнести то, что во время утренней пробежки удастся встретить настоящего динозавра.

Обозначим наше невозможное событие буквой А. Вероятность здесь и далее будем обозначать буквой Р (англ. «probability» – возможность, вероятность. Вероятность невозможного события принимается равной нулю. Тогда P(A) = 0.

2. Достоверное событие

Это такое событие, которое точно произойдет. К достоверным событиям можно отнести, скажем, то, что если закрыть глаза, то станет темно. Обозначим это событие буквой В.

Вероятность достоверного события принимается равной единице. Тогда P(B) = 1.

3. Все остальные события (случайные события)

Это те события, которые могут наступить, а могут и не наступить. Например, событие, заключающееся в том, что завтра будет дождь.

Вероятности таких событий – это числа, которые больше нуля и меньше единицы, т.е. 0 < P(C) < 1.

Нужно запомнить, что вероятность измеряется не в процентах, а числом от нуля до единицы (например: 0,2; 0,75 и т.д.).

Проверь себя

1. Одновременно подбросили две монеты. Запишите все возможные элементарные исходы этого эксперимента.

2. В рамках эксперимента выбранного из класса ученика спросили, в каком месяце он родился. Пусть задано случайное событие А: «выбранный ученик родился в летнем месяце». Запишите все исходы, которые являются благоприятными для данного события.

3. Является ли достоверным событие «на очередном чемпионате мира по футболу будет забит хотя бы один гол»?

4. Каким является событие «через три дня в Москве будет стоять солнечная погода» – случайным, достоверным или невозможным?

5. Из набора для домино наудачу извлечена одна костяшка. Приведите пример любого невозможного события, связанного с данным экспериментом.

Классическая вероятность

Вероятность наступления события напрямую связана с благоприятными исходами. Ведь если элементарных исходов много, а благоприятных – мало, то и вероятность наступления события будет невелика.

В классическом понимании вероятность события представляет собой долю благоприятных исходов в общем числе элементарных исходов. При этом принимается, что все элементарные исходы равновозможны (т.е. наступление любого из них одинаково возможно) и образуют полную группу (т.е. включают в себя все возможные варианты завершения эксперимента).

Например, при подбрасывании монеты может выпасть орел или решка (в теории вероятностей чаще всего считается, что монета ребром упасть не может). Таким образом, исходы «монета упадет орлом вверх» и «монета упадет решкой вверх» образуют полную группу, так как иных исходов попросту нет.

Таким образом, вероятность случайного события А можно найти по формуле:

где m – количество элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n – общее число равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий.

Рассмотрим применение данной формулы на примере. Для лучшего понимания мы приведем подробные выкладки, которые не будут приводиться при решении следующих задач.

Пример. Из сокращенной колоды, состоящей из 36 карт, наудачу извлечена одна карта. Какова вероятность того, что была выбрана карта пиковой масти?

Решение. Сокращенная колода насчитывает 36 карт. Минимальная карта в этом случае – шестёрка. Джокеров в такой колоде нет.

Общее число исходов в таком случае будет равно 36 – каждый элементарный исход будет заключаться в извлечении конкретной карты из колоды (например, «извлечена дама червей», «извлечен пиковый туз» и т.п.). Так как выбор делается наудачу (не глядя), то считаем, что выбор любой карты равновозможен.

Определим число благоприятных исходов – для этого посчитаем все возможные карты пиковой масти (6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т). В итоге, получим 9 благоприятных исходов.

Таким образом, вероятность извлечения из колоды карты пиковой масти (событие А) равна:

Очень важно при решении любой задачи точно определять число благоприятных исходов и общее число исходов. Иногда все исходы можно просто перебрать, не прибегая к комбинаторике.

Пример. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – девятка, а другая – четная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Решение. Учтем, что 0 – также четное число (т.к. 0 делится на 2 без остатка). Переберем все возможные комбинации из двух цифр, удовлетворяющие условию задачи. Получим: 90, 92, 94, 96, 98, 09, 29, 49, 69, 89 – итого 10 исходов. Благоприятный исход существует ровно один – т.к. верный номер только один. Получим:

Иногда для решения задачи удобно составить таблицу элементарных исходов.

Пример. Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет от 5 до 7 очков.

Решение. Оценим общее число элементарных исходов в этом эксперименте. Первая кость может выпасть 6 способами, вторая кость также может выпасть 6 способами – итого по правилу произведения имеем 6 ∙ 6 = 36 вариантов. Составим таблицу:

		Второй кубик
		1	2	3	4	5	6
Первый кубик	1	1+1	1+2	1+3	1+4	1+5	1+6
	2	2+1	2+2	2+3	2+4	2+5	2+6
	3	3+1	3+2	3+3	3+4	3+5	3+6
	4	4+1	4+2	4+3	4+4	4+5	4+6
	5	5+1	5+2	5+3	5+4	5+5	5+6
	6	6+1	6+2	6+3	6+4	6+5	6+6

В таблице представлено 36 исходов эксперимента с подбрасыванием двух игральных костей. В такой таблице удобно следить за изменением суммы очков. Выделим в ней те исходы, которые являются благоприятными.

		Второй кубик
		1	2	3	4	5	6
Первый кубик	1	1+1	1+2	1+3	1+4	1+5	1+6
	2	2+1	2+2	2+3	2+4	2+5	2+6
	3	3+1	3+2	3+3	3+4	3+5	3+6
	4	4+1	4+2	4+3	4+4	4+5	4+6
	5	5+1	5+2	5+3	5+4	5+5	5+6
	6	6+1	6+2	6+3	6+4	6+5	6+6

Таким образом, имеем:

При кажущейся простоте в задачах с монетками и кубиками есть «подводные камни». В условии задачи часто не заданы явно ни число элементарных событий, ни число благоприятных событий (событий, которые нас устраивают). Рассмотрим в этом блоке именно эти задачи.

При подбрасывании монеты элементарными исходами являются выпадение орла либо решки, т.е. всего 2 исхода. Обозначим буквой О выпадение орла, а буквой Р – выпадение решки. Если монету бросают два раза (либо подбрасывают две монеты), то элементарными исходами являются всевозможные пары, составленные из букв О и Р, и их будет 4=2²: ОО, РР, ОР, РО. При тройном подбрасывании монеты общее число исходов будет равно 8=2³. Т.о., если монету подбросить n раз, то будет всего 2ⁿ элементарных исходов.

При подбрасывании игрального кубика один раз получим всего 6 элементарных исходов (по числу граней кубика). А при n-кратном подбрасывании будет всего 6ⁿ исходов.

Пример. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение. Число возможных вариантов

По условию задачи благоприятный исход (орел не выпадет ни разу) возможен только при комбинации «РРРР», т.е. один раз.

Искомая вероятность:

В задачах с монетами помимо метода перебора комбинаций можно использовать специальную формулу вероятности.

Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:

,

где – число сочетаний из n элементов по k, которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.

Пример. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

Решение. По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу:

С тем же успехом можно считать число решек: k = 4 − 3 = 1. Ответ будет таким же.

Сложение и умножение вероятностей

В решениях задач этого блока используются следующие утверждения из теории вероятности.

Объединение событий – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий A, B.

Пересечение событий – событие, состоящие из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям A и B.

Противоположное событие.

Событие , состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в A, называется противоположным событию A.

Несовместные события – события, которые не наступают в одном опыте. Например, противоположные события несовместны.

Вероятности противоположных событий:

; .

Формула сложения вероятностей для совместных событий: Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного наступления.

.

Формула сложения вероятностей для несовместных событий: Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий А и В равна сумме их вероятностей.

Формула умножения вероятностей для независимых событий: Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей событий А и В.

Формула умножения вероятностей для зависимых событий: Вероятность совместного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Приведём схему, облегчающую применение формул при решении задач:

Пример. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение. В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность каждого промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что последовательность A = {попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} имеет следующую вероятность:

.

Пример. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение. В этой задаче также предполагается независимость работы автоматов. Найдем вероятность противоположного события = {оба автомата неисправны}. Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий:

.

Значит, вероятность события A= {хотя бы один автомат исправен} равна .

Во многих случаях без применения комбинаторных формул решить задачу не удастся. Рассмотрим нетривиальную задачу, в которой, кроме комбинаторики, применяется интересный логический прием.

Пример. На расставленные в ряд 6 стульев случайным образом рассаживаются 6 человек, среди которых – Маша и Таня. Какова вероятность того, что Маша и Таня будут сидеть рядом?

Решение. Число элементарных исходов можно найти по формуле перестановок без повторений – 6 человек можно разместить на 6 стульях ровно 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 способами.

Однако задача по подсчету благоприятных исходов не является столь же простой и очевидной.

Сначала рассмотрим ситуацию, когда Маша и Таня оказались рядом на первом и на втором стульях:

•

•

Очевидно, что порядок имеет значение: слева может сидеть Маша, справа Таня – и наоборот (всего таких случаев 2! = 2). Однако для каждого из этих двух случаев все остальные люди могут расположиться на свободных местах 4! = 24 способами. Таким образом, по правилу умножения Маша с Таней, а также еще 4 человека могут расположиться на стульях 2! ∙ 4! = 48 способами.

При этом все вышесказанное справедливо еще для нескольких вариантов рассадки Маши и Тани:

	•	•
		•	•
			•	•
				•	•

Всего способов рассадки по 48 вариантов в каждом ровно 5 – итого имеем 5 ∙ 48 = 240 способов.

Применим классическую формулу веростности и получим:

Пример. Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на два из трёх вопросов?

Решение: Всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 – 25 = 35 «плохих». Всего способов выбрать 3 вопроса из 60 (общее число исходов):

 

Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятные исходы для двух «хороших» вопросов и одного «плохого»:

 

Считаем благоприятные исходы для трех «хороших» вопросов:

По правилу сложения комбинаций: 10500 + 2300 = 12800. Именно столькими способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3 вопросов.

По классическому определению вероятности: