Решение вероятностных задач с помощью дерева

Суть метода заключается в построении так называемого дерева. Разберем на примере, что это за дерево, и как с ним работать.

Пример. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Рисуем схему действий Джона. Сперва он берет револьвер, и у него два варианта: взять пристрелянный или непристрелянный. Мы знаем, что 4 револьвера из 10 пристрелянные, то есть хорошие. Поэтому вероятность взять такой револьвер равна . Тогда вероятность взять плохой равна 0,6.

Джон попадает в муху из хорошего револьвера с вероятностью 0,9. Значит, промахивается с вероятностью 0,1.

Джон попадает в муху из плохого револьвера с вероятностью 0,2. Значит, промахивается с вероятностью 0,8.

Такая схема и называется деревом. Вспомним, что требуется найти вероятность того, что Джон промахнется. Для этого выделим ветки дерева, по которым можно добраться от вершины, до того, что нам нужно, то есть до промаха.

Теперь расставим союзы «и» и «или», чтобы понять, какую формулу применять. По двум веткам дерева одновременно Джон пойти не может, поэтому между ними поставим союз «или». А когда мы идем по одной ветке, то ставим союз «и», потому что Джон должен взять револьвер И промахнуться из него.

А теперь составляем формулу с вероятностями, заменяя «и» на умножение, «или» - на сложение:

Ответ: 0,52.

Проверь себя

1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

2. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз.

4. Из колоды в 36 карт берут наудачу 6 карт. Найти вероятность того, что среди взятых карт будут пять пиковых карт, включая туза.

5. Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Первая фабрика выпускает 30% всех телефонов этой марки, а вторая – остальные телефоны. Известно, что из всех телефонов, выпускаемых первой фабрикой, 1% имеют скрытые дефекты, а у выпускаемых второй фабрикой – 1,5%. Найдите вероятность того, что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

Начальные понятия геометрии (точка, луч, прямая, угол)

Любая геометрическая фигура имеет четкое определение — описание характеристического свойства фигуры.

Не имеют определения основные фигуры геометрии:

• точка;

• прямая;

• плоскость.

Точки принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, C, D, E и т. д.

Прямые обозначают строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, m и т. д., а плоскости — строчными буквами греческого алфавита: α; β;γ и т. д. Прямая бесконечна. Плоскость бесконечна. Точки могут принадлежать прямой, а могут ей не принадлежать. На рис. точки C и D принадлежат прямой а, пишут: C ∈ a, D ∈ а (читают: «Точка C принадлежит прямой а»). Точки A, B и E не принадлежат прямой а, пишут: A ∉ а (∉ — не принадлежит).

Прямая может принадлежать плоскости или ей не принадлежать. Прямая m на рис. выше принадлежит плоскости α (пишут: m ⊂ α, ⊂ — знак принадлежности для множества точек). Прямая b не принадлежит плоскости γ: b ⊄ γ.

Если точка принадлежит двум прямым одновременно, т. е. если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются.

Точка M — точка пересечения прямых а и b.

Через две точки можно провести прямую, и только одну.

Поэтому иногда прямые обозначают двумя прописными буквами, например AB, прямая MN и т. д.

Взаимное расположение прямых на плоскости:

1. Если прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются в этой точке и называются пересекающимися.

2. Если прямые не имеют общих точек, они называются параллельными. Пишут: а || b.

3. Если прямые имеют две (и более) общие точки, они совпадают.

Отрезок. Полупрямая (луч). Полуплоскость

Отрезок — это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя ее точками. Эти точки называют концами отрезка.

Отрезок обозначается указанием его концов, например отрезок AB.

Очевидно, что отрезок является частью некоторой прямой.

Расположение точек на прямой:

1. Точка C лежит между точками A и B.

2. Точки A и C лежат по одну сторону от точки B, аналогично точки C и B лежат по одну сторону от точки A.

3. Точки A, B и C лежат на прямой l и задают отрезки AC, BC и AB.

Для измерения отрезков служат различные инструменты. Простейший из них — линейка с делениями.

Длина отрезка — это расстояние между его конечными точками.

Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые его разбивает каждая его точка.

Например, MN = MP + PN.

Длина отрезка — величина положительная.

Полупрямая (луч) — это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной точки. Эта точка называется началом полупрямой (или луча), или начальной точкой.

Полупрямые обозначают двумя прописными буквами, например PA, где первая буква — это начало полупрямой (луча).

Иногда полупрямые (лучи) обозначают так же, как и прямые, т. е. строчными буквами: a, b, k и т. д.

Полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными, например лучи KA и KB.

Аналогично тому, что точка разбивает прямую на две дополнительные полупрямые, прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Разбиение плоскости обладает следующим свойством: если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую, а если в разных — отрезок пересекает прямую. На рис. отрезок AB пересекает прямую m, отрезок PK не пересекает.

Угол

Угол — фигура, состоящая из точки — вершины угла, и двух различных лучей, выходящих из этой точки, — сторон угла.

Способы обозначения угла:

1. ∠P (обозначается только вершина).

2. ∠ABC (обозначаются стороны и вершина. Название точки, обозначающей вершину, ставят посередине).

3. ∠(mn) (обозначают лучи, выходящие из одной точки).

Углы измеряют в градусах. Для измерения углов используют транспортир.

Угол, стороны которого являются дополнительными друг к другу лучами, называют развернутым. Его градусная мера составляет 180°.

Задание

1. Про­ве­ди­те пря­мую, обо­значь­те ее бук­вой a и от­меть­те точки A и B, ле­жа­щие на этой пря­мой, и точки P, Q, R, не ле­жа­щие на ней. Опи­ши­те вза­им­ное рас­по­ло­же­ние точек A, B, P, Q, R и пря­мой a, ис­поль­зуя сим­во­лы ∈ и ∉.

2. Про­ве­ди­те три раз­лич­ные пря­мые так, чтобы каж­дые две из них пе­ре­се­ка­лись. Сколь­ко по­лу­чи­лось точек пе­ре­се­че­ния? Рас­смот­ри­те все воз­мож­ные слу­чаи.

3. От­меть­те раз­лич­ные точки A, B, C, D так, чтобы точки A, B, C ле­жа­ли на одной пря­мой, а точка D не ле­жа­ла на ней. Через каж­дые две точки про­ве­ди­те пря­мую. Сколь­ко по­лу­чи­лось пря­мых?

4. Есть пря­мая, на ней от­ме­че­ны точки A, B, C, D . На­зо­ви­те все от­рез­ки которые получились.

5. Сколь­ко углов на ри­сун­ке?

6. Две пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке А. Сколь­ко углов с вер­ши­на­ми в дан­ных пяти точ­ках можно на­звать? 

7. На пря­мой АВ от­меть­те точку С, ко­то­рая лежит в двух сан­ти­мет­рах от точки А.

8. Точка В делит от­ре­зок АС на 2 части, длины ко­то­рых равны 7,8 см, 25 мм. Най­ди­те длину от­рез­ка АС.

9. На пря­мой лежат точки В, D, M. Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми В и D равно 7 см, а рас­сто­я­ние между D и М равно 16 см. Ука­жи­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми В и М.

10. На от­рез­ке АВ дли­ной 64 см от­ме­че­на се­ре­ди­на С. На луче СА от­ме­че­на точка D, рас­сто­я­ние от ко­то­рой до се­ре­ди­ны равно 15 см. Най­ди­те длину от­рез­ков DВ и DА.

Длина отрезка, длина ломаной

Отрезок — часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежа­щих между двумя ее точками — концами отрезка.

Для измерения отрезков служат различные инструменты, простейший из ко­торых — линейка с делениями.

Аксиомы измерения отрезков

1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.

.

2. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Например, в каком случае точки M, K и C лежат на одной прямой?

а) MK =3 см; KC =10 см; MC =8 см;

б) MK = 12 см; KC = 1 см; MC = 12 см;

в) MK = 15; KC = 5 см; MC = 10 см.

Ответ: в), поскольку MK = KC + MC, т. е. 15 = 5 + 10.

Ломаная — геометрическая фигура, состоящая из точек, не лежащих на одной прямой и соединен­ных отрезками.

Вершины ломаной — это точки, которые соединя­ются отрезками. Например, А, В, C, D и т.д.

Звенья ломаной — это отрезки, из которых со­стоит ломаная.

Например, АВ, BC, CD и т.д.

Чтобы найти длину ломаной, необходимо сло­жить длины всех ее звеньев.

Например, дана ломаная ABCDEF, причем АВ = 3 см; BC = 2,3 см; CD = 5,1 см; DE = 6,2 см; EF = 3,7 см. Найти длину ломаной.

(см).

Ответ: 20,3 см.

Ломаная может иметь самопересечения.

Если первая и последняя точки ло­маной совпадают, то ломаная называется замкнутой.

Замкнутую ломаную также называют многоугольником.

Задания.

1. Определите длину отрезка неизвестного отрезка, если:

а) AM=5см; MB=3см;

б) AM=1,5см; MB=4,5см;

в) AM=5см; AB=12см;

г) AM=5см; MA=4MB.

2. Определите лежат ли точки A,B и С на одной прямой:

а) AB=1см, BC=2см, AC=3см;

б) AB=4см, BC=7см, AC=14см;

в) AB=1,5см, BC=4,5см, AC=6см;

г) AB=1,5см, BC=2AB, AC=4,5см.

3. Найдите ломаные линии.

4. Ломаная состоит из 3 звеньев. Длина этой ломаной 18 см. Длина первого звена 6 см, а длина второго звена на 2 см короче, чем первого. Найдите длину третьего звена.

5. Ломаная состоит из двух звеньев. Одно звено в 3 раза длиннее другого. Начертите ломаную и вычислите её длину.

Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы

Угол — геометрическая фигура, состоящая из точки (вершины) и двух лучей (сторон), выходящих из этой точки.

За единицу измерения угла принимают градус — угол, равный части развернутого угла.

градуса называется минутой, обозначается «'».

минуты называется секундой, обозначается «''».

Например, 3°27'15" — 3 градуса, 27 минут, 15 секунд.

Виды углов:

Развернутый	Прямой
Острый	Тупой

Смежные углы

Два угла называются смежными, если у них од­на сторона общая, а другие стороны являются до­полнительными лучами.

Так, — смежные, луч b — общий. Лу­чи а и c — дополнительные полупрямые.

Сумма смежных углов равна 180°.

Следствия:

1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

2. Если угол не развернутый, то его градусная мера меньше 180°.

3. Угол, смежный с прямым, также прямой.

Например, найдем смежные углы, если один из них на 20° больше другого.

.

.

Ответ: 80^o и 100^о.

Вертикальные углы

Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла. а и а₁; b и b₁ — дополнительные полупрямые.

Вертикальные углы равны.

То есть ∠1 = ∠3; ∠2 = ∠4.

Следствие. Если один из углов, полученных при пересечении двух прямых, равен 90°, то прямые перпендикулярны:

∠1 = ∠2 = ∠3 = 90°.

Например, один из углов, которые получились при пересечении двух прямых, в 5 раз больше другого. Найти углы, получившиеся при пересечении прямых.

Два угла, которые получились при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные.

Искомые углы не равны, значит, они не вертикальные, а смежные. Например, ∠1 и ∠2.

Пусть ∠1 = x, тогда ∠2 = 5x. По теореме о смежных углах:

∠1 + ∠2 = 180°;

x + 5x = 180°;

x = 30°;

5x = 150°.

∠1 = 30°; ∠2 = 150°.

По теореме о вертикальных углах: ∠3 = ∠1 = 30°; ∠4 = ∠2 = 150°.

Ответ: 30°, 150°, 30°, 150°.

Задания

1. Каким является угол если его градусная мера равна:

а)15^о;

б)95^о;

в)120^о;

г)90^о;

д)180^о.

2. Может ли пара смежных углов состоять из двух:

а)острых углов;

б)тупых углов;

в) прямых углов.

3. Найдите углы, смежные с углами:

а)30^о;

б)45^о;

в)60^о;

г)90^о.

4. Один из смежных углов на 56 градусов меньше другого. Найти величины этих углов.

5. Углы АОВ и ВОС смежные. Известно, что угол АОВ на 20º больше угла ВОС. Найти углы АОВ и ВОС.

6. Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 4:11.

7. Луч ОС делит развёрнутый угол АОВ в отношении 1:5, а луч ОМ - биссектриса угла СОВ. Найти угол АОМ.

8. Один из смежных углов на 33 градуса больше половины второго смежного угла. Найти эти углы.

9. Найдите смежные углы, угол α и угол β , если α в три раза больше β .

10. Найдите смежные углы, угол γ и угол φ , если .

11. Найдите смежные углы, угол α и угол β , если α в четыре раза больше β .

12. Найдите смежные углы, угол γ и угол φ , если γ=0,8φ.

13. Три прямые пересекаются в точке О . Найдите угол γ ,

если α = 45° , а β = 30° .

14. Три прямые пересекаются в точке О. Найдите γ ,

если , а .

15. При пересечении двух прямых образовались 4 угла. Сумма двух из них равна 270º. Чему равен каждый из этих четырёх углов?

16. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма трёх из них равна 220º. Чему равен каждый из этих четырёх углов?

17. При пересечении двух прямых образовались четыре угла меньше 180º. Найти эти углы, если один из них на 75 градусов больше половины второго.

18. Доказать, что сумма каждых трёх углов, не прилежащих один к другому. которые образуются тремя прямыми, проходящими. через одну точку, равна 180º.

Биссектриса угла и ее свойства

Биссектриса угла — луч, который выходит из вершины угла и делит его пополам: ∠(ab) = ∠(bc).

Например, найти угол между биссектрисами смежных углов.

;

;

;

;

Угол – развернутый, следовательно его градусная мера равна 180^о.

.

Ответ: 90^о.

Свойства биссектрис:

1. Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).

2. Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.

Задания

1. На какие углы делятся угол 60^о биссектрисой?

2. Из вершины угла провели биссектрису. Один из получившихся углов равен 22,5^о. Чему равен изначальный угол?

3. В треугольнике ABC из вершины C проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Первая биссектриса образует со стороной AB угол, равный 40°. Какой угол образует с продолжением стороны AB вторая биссектриса?

4. Постройте биссектрису угла в 45^о.

5. Постройте биссектрису угла в 130^о без использования транспортира.

Параллельность и перпендикулярность прямых. Расстояние от точки до прямой.

Прямая — одно из основных понятий геометрии, ее понятие лишь косвенно определяется аксиомами геометрии, например, в том, что через две точки можно провести лишь одну прямую.

Перпендикулярные прямые

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под углом 90°: a ⊥ b; ∠(ab) = 90°.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Параллельные прямые

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Аксиома параллельных прямых: через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.

K ∈ m; K ∉ a; m || а, m — единственная.

Чтобы сформулировать признаки параллельности прямых, рассмотрим, как называются углы, образованные при пересечении секущей двух прямых.

Пусть a и b — прямые, c — секущая (пересекает a и b).

Тогда пары углов имеют названия:

• внутренние односторонние: ∠2 и ∠5 или ∠3 и ∠8;

• внутренние накрест лежащие: ∠2 и ∠8 или ∠3

и ∠5;

• соответственные: ∠1 и ∠5; ∠2 и ∠6; ∠4 и ∠8 или ∠3 и ∠7.

Признаки параллельности прямых

1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Если а || c и b || c, то a || b.

2. Две прямые, пересекаемые третьей прямой, параллельны, если:

а) внутренние накрест лежащие углы равны: если ∠2 = ∠8 или ∠3 = ∠5, то а || b;

б) сумма внутренних односторонних углов равна 180°, т. е. если ∠3 + ∠8 = = 180° или ∠2 + ∠5 = 180°, то а || b;

в) соответственные углы равны: если ∠4 = ∠8; ∠3 = ∠7; ∠1 = ∠5 или ∠2 = ∠6, то а || b.

3. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны (рис. 7.39). Если а ± т и b ± т, то а || b.

Свойства параллельных прямых:

1. а || b.

Если две параллельные прямые пересечены третьей, то:

а) внутренние накрест лежащие углы равны: ∠3 = ∠5; ∠4 = ∠6;

б) сумма внутренних односторонних углов равна 180°, ∠4 + ∠5 = 180° и ∠3 + + ∠6 = 180°;

в) соответственные углы равны: ∠1 = ∠5; ∠2 = ∠6; ∠3 = ∠7 и ∠4 = ∠8.

2. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Если а || b и а ⊥ m, то b ⊥ m.

3. Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпен­дикулярным прямым, то они перпендикулярны. Если а ⊥ b и а || n, b || m, то т ⊥n.

Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами

1. Для углов с соответственно параллельными сторонами справедливо:

а) a || m; b || n; ∠1=∠2

б) a || m; b || n; ∠1=∠2

в) a || m; b || n; ∠2= 180 - ∠1

Если стороны а и b одного угла соответственно параллельны сторонам m и n другого угла, то углы равны или дополняют друг друга до развернутого (их сумма 180°).

2. Аналогично углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны или дополняют друг друга до развернутого (их сумма равна 180°):

а) a ⊥m; b⊥n;∠1=∠2.

б) a ⊥m; b⊥n;∠1+∠2=180^о.

Задания

1. Пря­мая KP пе­ре­се­ка­ет пря­мую АВ в точке К, а пря­мую CD в точке P. Па­рал­лель­ны ли пря­мые АВ и CD, если ∠AKP=90^o и ∠KPC=90^o ?

2. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые AC и BD параллельны.

3. Прямые a и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую a и параллельна прямой b.

4. Прямые a,b и с пересечены прямой d, ∠1=42^о, ∠2=140^о, ∠3=138^о. Какие из прямых a, b и с параллельны?

5. Точка D не при­над­ле­жит плос­ко­сти тре­уголь­ни­ка АВС. Точка D рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка ВС, точка А также равноудалена от кон­цов от­рез­ка ВС.

6. По­стро­ить общий пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мым ВС и АD.

7. Плос­ко­сти α и β пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой а. Из точки М про­ве­де­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры МА и МВ со­от­вет­ствен­но к плос­ко­стям α и β. Пря­мая а пе­ре­се­ка­ет плос­кость АМВ в точке С. До­ка­жи­те, что МС ⊥ а.

Отрезок. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой.

Отрезок — это часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя ее точками. Это точки — концы отрезка.

Перпендикуляр к прямой — это отрезок, перпендикулярный данной прямой, один из концов которого лежит на этой прямой. Этот конец называют основанием перпендикуляра.

AB ⊥ m, AB — перпендикуляр, точка B — основание перпендикуляра.

Из любой точки, не лежащей на прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую, и притом только один.

Иногда в задачах необходимо найти расстояние от точки до прямой.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Расстояние между параллельными прямыми — это расстояние от любой точки одной прямой до другой прямой, т. е. длина общего перпендикуляра к двум параллельным прямым.

а || b; MN ⊥ a и MN ⊥ b. MN — расстояние между а и b.

Отрезок AB, где точка A не лежит на прямой а, а точка B лежит на прямой а, называется наклонной, которая проведена из точки A на прямую а, если отрезок AB не перпендикулярен прямой а. Точка B — основание наклонной AB, BH — проекция наклонной AB на прямую а. Очевидно, что AABH — прямоугольный (AH ⊥ а).

Свойства перпендикуляра и наклонной

1. Наклонная, проведенная из точки к прямой, всегда больше перпендикуляра, проведенного из этой же точки, и больше своей проекции. AC > AB и AC > BC.

2. Если равны наклонные, проведенные из одной точки, то равны и их проекции и наоборот. То есть если AC = AK, то BC = BK, и если BC = BK, то AC = AK.

3. Если из одной точки проведены две наклонные, то большая наклонная имеет большую проекцию, меньшая наклонная — меньшую проекцию. Если AC > AD, то BC > BD и обратно: если BC > BD, то AC > AD.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная к нему.

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Если a — серединный перпендикуляр к AB, то AX = XB (X ∈ а) или AY = YB (Y ∈ а). Обратно: если AX = XB, то X ∈ а.

Задания

1. В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает сторону AC в точке N. Найти AN, если BN=6 см, а AC=9 см.

2. В треугольнике ABC из точки K стороны AC провели серединный перпендикуляр, который пересек сторону AB в точке P. На отрезке PK взяли точку O так, что OK=3 см. Найти периметр треугольника AOC, если AC=8 см.

Понятие о геометрическом месте точек

Геометрическим местом точек (ГМТ) плоскости называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, обладающих определенными свойствами, причем:

• если точка принадлежит фигуре, она обязательно обладает этим свойством;

• если точка обладает этим свойством, то она обязательно принадлежит фигуре.

ГМТ в планиметрии:

1. Окружность — геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра). Каждая точка окружности находится на расстоянии от центра, равном радиусу. Никакая другая точка плоскости этим свойством не обладает (рис. 7.62).

2. Серединный перпендикуляр к отрезку — геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Если AO = OB и l ⊥ AB, то AD = DB; AC = CB, AM = MB и т. д.

3. Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. 

BO — биссектриса ∠ABC.

Тогда DO ⊥ AB и OE ⊥ BC; DO = OE; O₁P ⊥ AB, OK ⊥ BC; PO₁ = O₁K.

4. Две прямые, параллельные данной, — геометрическое место точек, удаленных от данной прямой а на расстояние d, — это прямые m и n.

Метод геометрических мест

Сущность метода заключается в следующем:

• пусть требуется найти точку х, удовлетворяющую двум заданным условиям;

• фигура F₁ — геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, а фигура F₂ — геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию;

• искомая точка х — точка их пересечения, поскольку они одновременно принадлежат фигурам F₁ и F₂.

Например, даны точки A, B и C. Построить точку х, которая одинаково удалена от точек A и B и находится на заданном расстоянии от точки C.

Решение:

Искомая точка х удовлетворяет двум условиям:

1) она одинаково удалена от точек A и B. Геометрическим местом точек, удовлетворяющим этому условию, является прямая, перпендикулярная отрезку AB и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр к AB);

2) точка х должна находиться на данном расстоянии от точки C. Геометрическим местом точек, удовлетворяющим второму условию, является окружность радиуса R = xC с центром в точке C. Искомая точка х (а точнее, х₁ и х₂) лежит на пересечении этих геометрических мест.

Примечание. В зависимости от положения точек A, B и C данная задача может не иметь решения (если окружность с центром в точке C и серединный перпендикуляр не имеют общих точек) или иметь одно решение (если окружность и серединный перпендикуляр имеют одну общую точку, т. е. касаются).

Задания

1. Найдите ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых.

2. Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

3. Постройте ГМТ для двух произвольных точек.

4. Постройте ГМТ для двух пересекающихся прямых.

5. Постройте ГМТ для точки.

6. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

7. Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Преобразование плоскости. Движение. Симметрия.

Существуют следующие преобразования плоскости:

• Движение

• Подобие.

Движение.

Движение — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между плоскостями.

Свойства движения:

1. Два движения, выполненные последовательно, снова дают движением.

2. Преобразование, обратное движению, тоже является движением.

3. Точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

4. При движении прямые переходят в прямые, лучи — в лучи, отрезки — в отрезки.

5. Сохраняются углы между полупрямыми.

Виды движения:

• симметрия относительно точки;

• симметрия относительно прямой;

• поворот;

• параллельный перенос.

Симметрия относительно точки.

Пусть O — фиксированная точка, точка M — произвольная точка.

Отложим на продолжении отрезка MO за точку O отрезок OM₁=OM. Получим точку M₁. Эта точка симметрична относительно точки O.

Преобразование плоскости, при котором каждая ее точка M переходит в симметричную ей точку M₁ относительно точки O, называется преобразованием симметрии относительно точки O, или центральной симметрией.

Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру в себя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка O — центром симметрии.

Примеры центрально-симметричных фигур

Окружность	Параллелограмм
O — центр симметрии	Центр симметрии — точка пресечения диагоналей

Например, найдем точку, симметричную точке M(2; -1) относительно:

а) начала координат;

б) точки Q(1; 1).

Решение:

а) отложим на продолжении отрезка MO отрезок M₁O такой, что MO = M₁O. Получим точку M₁(-2; 1);

б) продолжим отрезок MQ, отложим MQ = QM₂; получим точку M₂(0; 3).

Ответ: M₁(-2; 1); M₂(0; 3).

Симметрия относительно прямой

Пусть l — фиксированная прямая. Точка A — произвольная точка плоскости. Проведем AA₁ ⊥ l и AB = BA₁. Точка А₁ симметрична точке A относительно прямой l.

Преобразование плоскости, при котором каждая ее точка A переходит в точку A₁, симметричную относительно прямой l, называется преобразованием симметрии относительно прямой l, или осевой симметрией.

Если преобразование симметрии относительно прямой l переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно прямой l, а прямая l — осью симметрии.

Примеры фигур, имеющих ось симметрии

Окружность		Имеет бесконечное множество осей симметрии (любой диаметр является осью симметрии)
Квадрат		Имеет четыре оси симметрии
Прямоугольник		Имеет две оси симметрии
Ромб		Имеет две оси симметрии
Треугольник		Имеет три оси симметрии

Поворот.

Пусть O — фиксированная точка плоскости, А — произвольная точка.

Задан угол α и направление поворота – по часовой стрелке или против нее. Отложим от луча ОА в заданном направлении ∠AOA₁=α и AO=OA₁. Точка А₁ — образ точки А при повороте точки O на угол α в заданном направлении.

Поворотом плоскости вокруг точки O на угол α в заданном направлении (по часовой стрелке или против нее) называется преобразование плоскости, при котором точка А отображается в такую точку А₁, что OA=OA₁, ∠AOA₁=α и угол отложен в заданном направлении.

Например, построить фигуру, в которую переходит прямоугольный ΔABC при повороте против часовой стрелки на 90°.

Решение.

При повороте на 90° против часовой стрелки прямоугольный ΔABC перейдет в прямоугольный ΔA₁B₁C₁.

Параллельный перенос

В прямоугольной системе координат параллельный перенос, который переводит точку А(х; у) в точку А₁(х₁; у₁), задается формулами: х₁=x + А; y₁=y + B.

Преобразование плоскости, при котором каждая точка А(х; у) переходит в точку А₁(х + А; у + B), где А и B — одни и те же числа для всех точек плоскости, называется параллельным переносом.

Например, дана фигура ABCDE. Построить фигуру A₁B₁C₁D₁E₁, в которую она переходит с помощью параллельного переноса, заданного формулами:

х₁ = х + 3; у₁ = у - 10.

Решение:

А(1; 3) - А₁(4; -7)

B(3; 8) - B₁(6; -2)

C(6; 6) - C₁(9; -4)

D(4; 5) - D₁(7; -5)

E(6; 1) - E₁(9; -9)

Получим фигуру A₁B₁C₁D₁E₁.

Задания

1. Доказать, что если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный.

2. Доказать, что сумма расстояний от любой токи, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до его боковых сторон равна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону.

3. Доказать, что из всех треугольников с данным основанием и данной высотой равнобедренный треугольник имеет наименьший периметр.

4. Доказать, что во всяком треугольнике сумма медиан, проведенных к двум сторонам, больше 3/2 третьей стороны.

5. Две точки A и B лежат по одну сторону от прямой l. Доказать, что на прямой существует единственная точка M₀, такая, что AM₀+BM₀<AM+BM, где M - произвольная точка прямой l, отличная от M₀.

6. На сторонах параллелограмма ABCD вне его построены правильные треугольники ABM, BCK, CDP, DAH. Доказать, что точки M,K,P и H являются вершинами параллелограмма.

7. Через центр правильного треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60^o. Доказать, что пересечение этих прямых с данным треугольником представляет собой два равных отрезка.

Треугольник, виды треугольников.

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения площади).

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому глубокое исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Сумма углов треугольника равна 180^о.

Виды треугольников

По величине углов
Остроугольный		Если все углы треугольника острые
Тупоугольный		Если один из углов треугольника тупой (больше 90°)
Прямоугольный		Если один из углов треугольника прямой (равен 90°)
По числу равных сторон
Разносторонний		Если все три стороны не равны
Равнобедренный		Если две стороны равны
Равносторонний (правильный)		Если  все три стороны равны

Задания

1. Какой треугольник будет если один из углов равен 90^о?

2. Какой треугольник будет если один из углов равен 120^о?

3. Какой треугольник будет если два угла равны 30^о и 70^о?

4. Какой треугольник будет если два угла равны 30^о и 60^о?

5. Можно ли утверждать, что треугольник остроугольный если один из углов 45^о?

6. Какой треугольник будет если стороны равны 3, 4 и 5?

7. Какой треугольник будет если стороны равны 6, 6 и 8?

8. Какой треугольник будет если стороны равны 6, 6 и 6?

Высота треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

В любом треугольнике можно провести три высоты.

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Рассмотрим положение ортоцентра в зависимости от вида треугольника. В остроугольном треугольнике точка пересечения высот находится внутри области треугольника.

В тупоугольном треугольнике точка пересечения прямых, содержащих высоты, находится вне области треугольника.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами.

AC — высота к стороне AB, BC — высота к стороне AC, AC — высота к стороне BC, точка C — точка пересечения высот.

Задания

1. Постройте все высоты в треугольнике с углами 50^о, 60^о и 70^о.

2. Постройте все высоты в треугольнике с углами 30^о и 60^о.

3. Постройте все высоты в треугольнике с углами 50^о, 50^о и 80^о.

4. Постройте все высоты в треугольнике с углами 45^о и 45^о.

5. Постройте все высоты в треугольнике с углами 30^о и 40^о.

Медиана треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В треугольнике можно провести три медианы: AK, BM и CN.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Обычно эту точку обозначают буквой G (от англ. gravity — сила тяжести). Точку G называют центром треугольника, или центром масс.

Свойство медианы треугольника

Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника:

BG : GM = 2 : 1; CG : GN= 2 : 1; AG : GK = 2 : 1.

Задания

1. Постройте все медианы в треугольнике с углами 50^о, 60^о и 70^о.

2. Постройте все медианы в треугольнике с углами 30^о и 60^о.

3. Постройте все медианы в треугольнике с углами 50^о, 50^о и 80^о.

4. Постройте все медианы в треугольнике с углами 45^о и 45^о.

5. Постройте все медианы в треугольнике с углами 30^о и 40^о.

6. Чему равна медиана в треугольнике если меньшая часть медианы, полученная в результате пересечения всех медиан равна 2 см.

7. На какие части делится медиана точкой пересечения медиан, если медиана равна 9 см.

Биссектриса треугольника

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

AM, BN, CK — биссектриса ΔABC. Точка O — центр вписанной в треугольник окружности.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам:

Задания

1. Постройте все биссектрисы в треугольнике с углами 50^о, 60^о и 70^о.

2. Постройте все биссектрисы в треугольнике с углами 30^о и 60^о.

3. Постройте все биссектрисы в треугольнике с углами 50^о, 50^о и 80^о.

4. Постройте все биссектрисы в треугольнике с углами 45^о и 45^о.

5. Постройте все биссектрисы в треугольнике с углами 30^о и 40^о.

6. Как относятся отрезки, полученные пересечением биссектрисы и стороны треугольника BC, если AB=4, а AC=2?

7. Найдите BD, если AC=3см, AB=6см, а BC=1,5см.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

Свойства

• средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

• при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

• средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.

• Три средние линии треугольника разбивает его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником.

Признаки

если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Задания

1. В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC. Найти периметр треугольника ABC, если MN=12, MK=10, KN=8.

2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС через середину боковой стороны проведена прямая MN, параллельная АС. Зная, что АМ=7 см, Р_ΔАВС=38 см; Р_ΔMBN=19 см. Найти: AC, MN.

3. В треугольнике ABC проведена средняя линия MN параллельно AB. Доказать, что AB=2MN.

4. Периметр треугольника равен 28, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.

5. Докажите, что три средние линии разбивают треугольник на четыре равных треугольника.

6. Дан треугольник с периметром, равным 24. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон данного.

7. Средняя линия, параллельная стороне AC треугольника ABC, равна половине стороны AB. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

8. Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем BM = 3AM и CN = 3AN. Докажите, что MN || BC и найдите MN, если BC = 12.

9. Три средних линии треугольника разбивают его на четыре части. Площадь одной из них равна S. Найдите площадь данного треугольника.

10. На стороне BC треугольника ABC взята точка A₁ так, что BA₁ : A₁C = 2 : 1. В каком отношении медиана CC₁ делит отрезок AA₁?

11. В треугольнике АВС, через точку К — середину стороны АВ проведена прямая КМ параллельная стороне АС. Зная, что АК = 4 см, ВМ = 6 см, см и см. Найти: КМ, АС.

Замечательные точки треугольника

Первая замечательная точка треугольника — точка пересечения биссектрис.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка есть центр вписанной в треугольник окружности, всегда находится в треугольнике.

Вторая замечательная точка треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка есть центр описанной около треугольника окружности, находится в треугольниках с острыми углами, вне треугольника с тупым углом и на гипотенузе прямоугольного треугольника.

Третья замечательная точка треугольника — точка пересечения медиан.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Точка пересечения медиан является центром тяжести треугольника.

Четвёртая замечательная точка треугольника — точка пересечения высот треугольника.

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

В 1765 году немецкий математик Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр тяжести и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названой позже прямой Эйлера.

Задания

1. В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса AK и высота AH (H лежит между K и B) так, что MK=KH=HB. Найти отношение сторон треугольника ABC.

2. Серединный перпендикуляр к стороне AC треугольника ABC пересекает сторону BC в точке D. Найти BD и DC, если AD=5 см, BC=9 см.

3. По данным рисунка найдите площадь треугольника BOQ, если QM = 9, ВТ = 12.

4. По данным рисунка найдите угол FNO, если угол MKN равен 66 градусам.

5. По данным рисунка найдите ОК, если RO равно 20.

6. По данным рисунка найдите угол МСВ1.

Равнобедренный и равносторонний треугольники. Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник.

В ΔABC стороны AB и BC равны, т. е. он равнобедренный. Эти равные стороны (AB и BC) называются боковыми, а третья сторона (AC) — основанием треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника	Признаки равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны	Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник - равнобедренный
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой	Если в треугольнике совпадают: а) высота и медиана; б) высота и биссектриса; в) медиана и биссектриса, то треугольник – равнобедренный

Примечание. Теоремы, записанные в левой и правой частях таблицы, являются наглядным примером прямых и обратных теорем (т. е. теорем, в которых условие и заключение меняются местами).

Дополнительные свойства равнобедренного треугольника:

1. Биссектрисы углов при основании равны.

Если AB=BC, то AK=CM, где AK и CK — биссектрисы, т. е. ∠1=∠2=∠3=∠4.

2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Если AM = MB = BN = NC, то AN = CM.

3. Высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Если AB=BC и AN ⊥ BC и CM ⊥ AB, то CM=AN.

Равносторонний (правильный) треугольник

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним:

AB = BC = AC.

Свойства равностороннего треугольника	Признаки равностороннего треугольника
В равностороннем треугольнике все углы равны (по 60о)	Если углы треугольника равны между собой (по 60о), то треугольник – равносторонний. Если ∠A=∠B=∠C=60о, то AB=BC=AC
Высота, медиана и биссектриса, проведенные к любой стороне равностороннего треугольника, совпадают. Если AB=BC, то BD – высота, медиана и биссектриса	Если в треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к любой стороне, равны, то этот треугольник — равносторонний. Если BD — высота, медиана и биссектриса, то AB=BC=AC
В равностороннем треугольнике медианы (биссектрисы, высоты) равны между собой. Если AB=BC=AC, то AN=BD=CM	Если три медианы (биссектрисы, высоты) треугольника равны между собой, то этот треугольник — равносторонний. Если BD=AN=CM, то AB=BC=AC

Задания

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 8, а основание относится к боковой стороне как 6 : 5. Найти, на каком расстоянии от вершины треугольника находится точка пересечения его биссектрис.

2. В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Площади треугольников ABD и ADC равны 10 и 12. Найти увеличенную в три раза площадь квадрата, построенного на высоте этого треугольника, проведенной к основанию АС.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно 4, а боковая сторона равна 8. Найти квадрат высоты, опущенной на боковую сторону.

4. В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота, равны 16. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности.

5. Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равна 36, а радиус вписанной окружности равен 10. Найти площадь треугольника.

6. Точка Е лежит на стороне АС равностороннего треугольника ABC; точка К — середина отрезка АЕ. Прямая, проходящая через точку Е перпендикулярно прямой АВ, и прямая, проходящая через точку С перпендикулярно прямой ВС, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD.

Указание. Точки В, С, D, К и точка пересечения прямых АВ и DE лежат на окружности с диаметром BD.

7. В равнобедренном треугольнике две стороны равны 5 и 20. Найти биссектрису угла при основании треугольника.

8. В правильном треугольнике ABC провели медиану BK=3 см. Найти сторону треугольника.

9. В равностороннем треугольнике ABC провели высоту BK=6 см. Найти сторону этого треугольника.

10. Определить, чему равны углы в равностороннем треугольнике.

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора

Треугольник называется прямоугольным, если у него один угол прямой.

Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. Свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов равна 90°: ∠A + ∠B = 90°.

2. Гипотенуза больше катета: c > a, c > b.

3. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: .

4. Если один из острых углов 45°, то треугольник — равнобедренный прямоугольный.

5. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и равна радиусу окружности, описанной около этого треугольника: .

Например, найти расстояние от точки M до прямой а, если длина наклонной, проведенной к прямой из этой точки, равна 10 см и наклонена она к прямой под углом 30°.

Решение.

Расстояние от точки до прямой — перпендикуляр, проведенный из этой точки к прямой. BM ⊥ а. BM — искомое расстояние.

ΔAMB — прямоугольный, AM — гипотенуза, MB — катет, лежащий против угла 30°,

Ответ: 5 см.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = а² + b².

Обратная теорема: если в треугольнике со сторонами a, b и c выполняется соотношение c² = а² + b², то угол, лежащий против стороны с, — прямой. 

Треугольник со сторонами 3, 4, и 5 называется египетским, угол между сторонами 3 и 4 — прямой, т. к. 5² = 3² + 4².

Из теоремы Пифагора можно получить часто встречающиеся соотношения:

1. Диагональ квадрата со стороной a: .

2. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника: .

3. Высота равностороннего треугольника: .

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Пусть высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника h_c, делит гипотенузу на отрезки m и n (m + n = c). m — проекция катета a на гипотенузу c; n — проекция катета b на гипотенузу c.

Величины a, b, c, h_c, m и n связаны следующими соотношениями:

1. Квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на нее:

2. Квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

3. Произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к ней:

Например, медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 15 см, а катеты относятся как 3 : 4. Найти катеты треугольника.

Решение.

Медиана m_c=15см, когда гипотенуза

Катеты . Пусть a=3x, b=4x, тогда гипотенуза c=5x.

5x=30

x=6

.

.

Ответ: 18 см; 24 см.

Задания

1. Может ли прямоугольный треугольник иметь стороны: 3, 4, 5?

2. Дано прямоугольный треугольник ABC, ∠C=90^о, и AC=3, BC=4. Найдите длину AB.

3. Есть прямоугольный треугольник ABC, где ∠C=90^о, и AC=7, BC=24. Найдите длину AB.

4. В прямоугольном треугольнике ABC, ∠C=90^о, и AC=8, BC=15. Найдите длину AB.

5. В треугольнике ABC: ∠C=90^о, AB=8 и BC=5. Найдите квадрат AC.

6. Угол С=90^о, а угол B=30^о. Гипотенуза АВ = 6. Найдите сторону BC.

7. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найди гипотенузу.

8. Основание равнобедренного треугольника равно 30 см, а боковая сторона равна 25 см. Вычисли высоту, проведённую к основанию.

9. Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза равна 15 см. Вычисли длину второго катета.

10. Стороны треугольника равны 10 м, 24 м и 25 м. Является ли этот треугольник прямоугольным?

11. К вертикальной стенке прислонили лестницу. Длина лестницы равна 15 м. Конец лестницы, опирающийся на землю, находится на расстоянии 9 м от стены. Вычисли, на каком расстоянии от земли находится второй конец лестницы.

12. Один катет прямоугольного треугольника равен 60 м, сумма гипотенузы и второго катета равна 180 м. Найди гипотенузу.

13. Мальчик Ваня строит ворота. В высоту они должны достигать двух метров, в ширину – трёх. Если допустить, что углы, образованные косяками, окажутся прямыми, то какова будет длина троса, протянутой по диагонали от одного угла к другому?

14. Мальчику Вите требуется измерить ширину пруда. Он нашёл расстояния от пункта R до пунктов P и Q, расположенных по разным сторонам пруда, как показано на рисунке ниже, и уверился в том, что угол P – прямой. Если допустить, что расчёты верны, какова протяжённость пруда с запада на восток?

15. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

Признаки равенства треугольников

Две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

ΔABC = ΔPQR  ∠A = ∠P; ∠B = ∠Q; ∠C = ∠R; AB = PQ; AC = PR и BC = QR.

Свойства равных треугольников:

1. В равных треугольниках равны все соответствующие элементы (углы, стороны, медианы, высоты и т. д.).

2. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, а против равных сторон лежат равные углы.

Признаки равенства треугольников позволяют установить равенство треугольников без наложения их друг на друга, а сравнивая только некоторые элементы.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если AB=A₁B₁; AC=A₁C₁ и ∠A=∠A₁, то ΔABC= ΔA₁B₁C₁.

Второй признак равенства треугольников — по сторонам и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если AC = A₁C₁; ∠A = ∠A₁ и ∠C = ∠C₁, то ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Третий признак равенства треугольника — по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Например, дано: AB = AC; ∠1=∠2; AB=17 см; CD=6 см. Доказать: ΔABC=ΔADC. Найти AD, BC.

Доказательство. По условию AB=AC, ∠1 = ∠2, сторона AC — общая => ΔABC=ΔADC по первому признаку равенства треугольников.

В равных треугольниках соответственные стороны равны: AD=AB=17 см; BC=CD=6 см.

Ответ: 17 см; 6 см.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Чтобы доказать равенство прямоугольных треугольников, достаточно найти два отличных от угла в 90° соответственных элемента, один из которых — сторона:

1.По двум катетам.

Если AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то ΔABC=ΔA₁B₁C₁.

2.По гипотенузе и катету.

Если AB=A₁B₁ и BC=B₁C₁, то ΔABC=ΔA₁B₁C₁.

3.По гипотенузе и острому углу.

Если AB=A₁B₁ и ∠A=∠A₁ (или ∠B=∠B₁), то ΔABC=ΔA₁B₁C₁.

4.По катету и острому углу (прилежащему или противолежащему).

Если BC=B₁C₁ и ∠B=∠B₁ или BC=B₁C₁ и ∠A=∠A₁, то ΔABC=ΔA₁B₁C₁.

Например, в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ ∠A=∠A₁ = 90°. BD и B₁D₁ — биссектрисы, причем BD=B₁D₁, ∠B=∠B₁. Доказать, что ΔABC=ΔA₁B₁C₁.

Решение.

Рассмотрим ΔABD и ΔA₁B₁D₁: ∠A=∠A₁=90°, треугольники прямоугольные. ∠B=∠B₁, но BD и B₁D₁ — биссектрисы, тогда ∠1=∠2=∠3=∠4. То есть ∠1=∠3 и BD=B₁D₁.

ΔABD=ΔA₁B₁D₁ по гипотенузе и острому углу.

В равных треугольниках соответственные стороны равны. Получим AB=A₁B₁ (из равенства ΔABD=ΔA₁B₁D₁), ∠B=∠B₁. ΔABС=ΔA₁B₁С₁ по катету и острому углу.

Задания

1. Треугольник ABC - равнобедренный, СD- биссектриса к основанию АВ. Докажите, что ACD равен BCD

2. Докажите, что высота, биссектриса и медиана, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.

3. Докажите, что углы в основании любого равнобедренного треугольника равны.

4. Вычислите периметр равнобедренного треугольника АВС, если периметр треугольника ADC равен 18 cм, и CD = 6 cм и AD = BD.

5. Докажите, что прямая линия, которая вырезает равные отрезки на сторонах угла, является перпендикулярной к биссектрисе этого угла.

6. Докажите, что если треугольник ABC равен A₁B₁C₁ и для всех точек M и M₁ на сторонах AB и A₁B₁ верно, что AM = A₁M₁ CM = C₁M₁ и угол BMC = B₁M₁C₁.

7. Есть треугольники ABC (AC < BC). Внешне построены: квадраты BMNC и CPQA. Докажите, что AN = BP.

8. Докажите, что биссектрисы, проведенные на боковые стороны равнобедренного треугольника, равны.

9. Докажите, что если в треугольнике высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, равны, то треугольник равнобедренный.

10. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников ACO и DBO, если известно, что ∠ACO = ∠DBO и BO = OC.

11. Отрезки AB и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки AC, CB, BD и AD равны, то луч AB является биссектрисой угла CAD, луч CD – биссектрисой угла ACB, а CD перпендикулярно AB.

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника

Любая сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон:

Следствия:

1. Равенство достигается только в том случае, когда треугольник вырожден т.е. все 3 точки лежат на одной прямой.

2. Обратно неравенство треугольника:

Пример 1.

У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Чему равна длина основания треугольника?

Решение:

Пусть основание равно 7, а боковые стороны 3. Тогда т.е. не выполняется неравенство треугольника. Значит основание равно 3, а боковые стороны 7.

Ответ: 3.

Пример 2.

Существует ли треугольник со сторонами 1, 2 и 3 см?

Решение:

Надо проверить, выполняется ли неравенство треугольника для всех возможных комбинаций:

1. – верно

2. – верно

3. – верно, однако получается, что треугольник вырождается в прямую, т.е. фактически это не треугольник

Ответ: нет.

Проверь себя.

1. – стороны треугольника, - целое число. Найти если:

а)

б)

2. Существует ли треугольник со сторонами

3. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 10 м, другая – 25 м. Чему равна боковая сторона?

4. Доказать, что в четырехугольнике любая сторона меньше суммы остальных.

5. Существует ли треугольник со сторонами 2, 3, 5?

Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника

В любом треугольнике сумма углов равна

Следствия:

1. Если 2 угла одного треугольника равны 2 углам другого треугольника, то и третьи углы равны.

2. У любого треугольника хотя бы 2 угла острые.

3. Все углы равностороннего треугольника равны 60

4. Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60 градусам, то этот треугольник равносторонний.

Пример 1.

Углы треугольника относятся как Найти эти углы.

Решение:

Обозначим эти углы как Тогда можно составить уравнение

Тогда углы равны соответственно 36, 54 и 90 градусам.

Пример 2.

Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M. Найти

Решение:

– биссектриса , поэтому

– биссектриса , поэтому

Из треугольника

Ответ:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Следствие.

Внешний угол треугольника больше любого из внутренних углов, не смежных с ним.

Пример 3.

Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 112 Найти все углы треугольника.

Решение:

Рассмотрим 2 случая:

1. Пусть тогда т.к. треугольник равнобедренный, и

2. Пусть Тогда

Тогда

Проверь себя

1. Углы треугольника относятся как Найти эти углы.

2. Один из углов треугольника вдвое больше второго и на 12 меньше третьего. Найти все углы.

3. Сумма 2 углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 40 Найти все углы в треугольнике.

4. Внешний угол треугольника равен 118 Один из несмежных углов в 3 раза больше другого. Найти углы треугольника.

5. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 71 , угол BAD равен 49 . Найдите угол ADB.

Зависимость между величинами сторон и углов треугольника

Неравенство треугольника, разобранное в предыдущем пункте, выражает зависимость между сторонами треугольника. Однако есть еще некоторые свойства треугольника, выражающие зависимость между величинами сторон и углов.

1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против меньшей стороны – меньший угол.

Обратно утверждение:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против меньшего угла – меньшая сторона.

2. Аналогично, против равных сторон лежат равные углы и, наоборот, против равных углов лежат равные стороны.

Возвращаясь к неравенству треугольника, запишем его для удобства в таком виде:

Пример 1.

Стороны треугольника Против каких сторон лежат углы 30 и 40 ?

Решение:

Для начала найдем третий угол: Он самый большой, значит против него лежит большая сторона Аналогично, против стороны лежит меньший угол а против

Пример 2.

Углы треугольника относятся как Против какого угла (в градусах) лежит меньшая сторона?

Решение:

Нужно найти градусную меру меньшего из углов. Пусть углы равны тогда

Тогда меньший из углов равен

Ответ:

Проверь себя:

1. Существует ли треугольник со сторонами:

а) 2, 4, 7

б) 5,6,11

2. Углы треугольника относятся как Против какого угла (в градусах) лежит большая сторона?

3. Стороны треугольника Против каких сторон лежат углы 34 и 93 ?

4. Если в треугольнике все углы равны, следует ли из этого, что треугольник равносторонний?

5. Чему должен быть равен угол треугольнике, чтобы против него однозначно лежала большая сторона?

Теорема Фалеса

Если стороны угла пересекают параллельные прямые, отсекающие на одной его стороне равные отрезки, то на другой стороне они отсекают также равные между собой отрезки.

Если и то

Т.к. 2 любые непересекающиеся прямые являются сторонами некоторого угла, это теорема верна и для любых двух непараллельных прямых.

Пропорциональные отрезки

В более общем случае, параллельные прямые от сторон угла пропорциональные отрезки, т.е.

(обобщенная теорема Фалеса).

Пример 1.

На стороне треугольника отмечена точка . Отрезок пересекает медиану треугольника в точке , причем . Найти отношение

Решение:

Проведем через точку прямую, параллельную которая пересечет в точке .

По теореме Фалеса

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

значит

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойства средней линии:

1. Средняя линия треугольника параллельна его третей стороне.

2. Средняя линия равна половине третей стороны.

3. Средняя линия треугольника отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна площади исходного треугольника.

На рисунке средняя линия. и

Пример 2.

Периметр треугольника равен 28, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.

Решение:

По свойству средней линии каждая из сторон полученного треугольника равна половине той, которую она не пересекает. Значит периметр этого треугольника будет также равен половине периметра исходного треугольника, т.к.

Пример 3.

В треугольнике провели среднюю линию параллельную Найти площадь треугольника если известно, что а высота опущенная на на равна 5.

Решение:

Т.к. – средняя линия, то

Найдем площадь треугольника

Теперь по свойству средней линии можем найти площадь треугольника

Проверь себя:

1. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3КС. Отрезки ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите

2. В треугольнике ABC провели средние линии KN=4 см, NL=5 см и KL=8 см. Найти периметр треугольника ABC.

3. Средняя линия, параллельная стороне AC треугольника ABC, равна половине стороны AB. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

4. Имеется отрезок разделенный на 4 равные части. Как разделить на 4 равные части отрезок, пересекающийся с данным под углом

5. Площадь треугольника, ограниченного средней линией другого треугольника, равна 15. Чему равна площадь другой части большого треугольника (трапеции)?

Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников

Коэффициент подобия – это такое число на которое изменится расстояние между любыми 2 точками при преобразовании подобия.

Если 2 треугольника переводятся друг в друга таким преобразованием, они называются подобными.

Свойства подобных треугольников :

1. Все углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника.

2. Стороны пропорциональны:

При этом если то треугольники равны.

3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

А отношение периметров равно самому коэффициенту

Пример 1.

Найти стороны треугольника

Решение:

Стороны искомого треугольника могут быть как больше, так и меньше сторон треугольника Поэтому либо

, либо

Пример 2.

Найти углы треугольника

Решение:

У подобных треугольников углы соответственно равны, поэтому достаточно найти третий угол в треугольнике

Ответ:

Признаки подобия треугольников

1. По 2 углам

Если 2 угла одного треугольника равны 2 углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Следствия:

1) Все равносторонние, как и равнобедренные, треугольники подобны.

2) Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая 2 другие, отсекает треугольник, подобный данному (в том числе средняя линия).

2. По 2 сторонам и углу между ними

Если 2 стороны одного треугольника пропорциональны 2 сторонам другого, а углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3. По 3 сторонам

Если 3 стороны одного треугольника пропорциональны 3 сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Пример 3.

Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает сторону в точке , а сторону — в точке . Найти длину отрезка , если , .

Решение:

Треугольники подобны по 2 углам.

Пример 4.

Диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении Найти основания трапеции, если средняя линия равна 40.

Решение:

по 2 углам. Тогда, если то и

Пусть Учитывая, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, составим уравнение:

Отсюда находим

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. По острому углу

2. По 2 катетам

3. По катету и гипотенузе

Пример 5.

Две окружности радиусами 4 и 6 внешне касаются. Их общая касательная, которая не проходит через точку пересечения окружностей, пересекает линию центров в точке А. Найти расстояние от точки А до центров окружностей.

Решение:

Касательная перпендикулярна радиусу каждой из окружностей, поэтому Отсюда следует, что прямоугольные, и они подобны по острому

Пусть (см. рисунок),

Решая это уравнение, находим , значит

Проверь себя

1. Два равнобедренных треугольника имеют равные углы при основаниях. Основание одного треугольника равно 8, а боковая сторона - 5. Найти площадь второго треугольника, если его основание равно 4.

2. В треугольник AFK вписан ромб ABCD так, что угол A у них общий, в вершина C принадлежит стороне FK. Найти сторону ромба, если AF=21 см, AK=24 см.

3. Через точки и принадлежащие сторонам , проведена прямая Найти если и

4. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.

5. Наблюдатель, который находится в точке А, видит конец шеста B и верхнюю точку башни D, причем A, B и D лежат на одной прямой. Найти высоту башни, если

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0 до 180

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетами

Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом углы называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Значения этих тригонометрических функций зависят только от градусной меры угла и не зависят от линейных размеров треугольника.

Поскольку то для любого острого угла имеем

В некоторых задачах известен, например, синус угла, а требуется найти одну из сторон. Для этого пользуются определением синуса.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Основные тригонометрические тождества

Допустим, мы знаем значение тригонометрических функций некоторого угла . Выразим через их значения тригонометрические функции угла

Также можно, используя эти формулы, получить значения функций для угла

Рассмотрим также основные формулы (тождества), связанные с тригонометрическими функциями:

Пример 1.(ЕГЭ)

Найти

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

Теперь посмотри на то, какие значения принимает наш угол: он лежит во второй четверти, значит косинус у него отрицательный. Поэтому

Пример 2.

Острый угол прямоугольного треугольника равен а гипотенуза равна Найти периметр треугольника.

Решение:

Выразим каждую из сторон. Отсюда

Пример 3.

Существует ли прямоугольный треугольник, в котором:

а)

б)

Решение:

Нужно проверить, выполняется ли основное тригонометрическое тождество: а)

б)

Пример 4.

В треугольнике угол равен 90°, , . — высота. Найдите .

Решение:

Обозначим Тогда

Рассмотрим треугольник Для него

При этом

Тогда

Отсюда

Проверь себя:

1. Найти если

2. В треугольнике Найдите высоту .

3. Существует ли прямоугольный треугольник, в котором

а)

б)

4. Острый угол прямоугольного треугольника , один из катетов Найти периметр треугольника.

5. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите

Решение прямоугольных треугольников

Решить прямоугольный треугольник означает найти все его стороны и углы.

Общая суть рассуждений здесь следующая:

1. Если известны 2 стороны, например, катет и гипотенуза, можно найти синус одного из углов . Если известны 2 катета, можно найти тангенс. После их вычисления, для нахождения угла используется таблица Брадиса.

Третья сторона находится из теоремы Пифагора.

2. Если известны сторона и острый угол, например, гипотенуза и острый угол тогда стороны можно выразить через них, используя определения тригонометрических функций:

Пример 1.

В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза и острый угол Найти катеты, их проекции на гипотенузу, высоту, опущенную на гипотенузу.

Решение:

Теперь вычисляем проекции катетов на гипотенузу:

И затем высоту:

Пример 2.

В прямоугольном треугольнике , , . Найдите синус угла .

Решение:

Найдем косинус угла

Для острых углов косинус и синус, так же как и тангенс и котангенс, всегда положительны. Поэтому из основного тригонометрического тождества находим:

Заметим, что углы и – смежные. Тогда

Проверь себя

1. В прямоугольном треугольнике известны катеты и Найти гипотенузу, проекции катетов на гипотенузу, и высоту, опущенную на гипотенузу.

2. В треугольнике , , — высота. Найдите .

3. В треугольнике , , . Найдите высоту .

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 20 см и 60 см, если угол при большем основании равен 60°.

5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна , а один из острых углов равен .

а) Выразите второй острый угол и катеты

б) Найдите их значения, если

Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Это отношение равно удвоенному радиусу описанной окружности.

Пример 1.

В некотором произвольном треугольнике Найти

Решение:

Сначала по теореме синусов найдем угол

Теперь найдем

Треугольник прямоугольный и можно найти по теореме Пифагора

Т.к. треугольник прямоугольный, гипотенуза совпадает с диаметром описанной окружности, а значит

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторона на косинус угла между ними.

При это равенство переходит в теорему Пифагора.

Из теоремы косинусов вытекает важное следствие, позволяющее вычислить медиану, проведенную к стороне через стороны треугольника:

Пример 2.

Определить вид треугольника, если его стороны равны

Решение:

Из теоремы косинусов выразим косинус угла

Т.к. косинус отрицателен значит, сам угол больше т.е. треугольник тупоугольный.

Пример 3.

Стороны треугольника равны Найти угол, лежащий против стороны 10.

Решение:

Воспользуемся теоремой косинусов:

Пример 4.

Дан треугольник с Найти сторону

Решение:

По теореме косинусов

Проверь себя:

1. Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен , а противолежащий основанию угол равен . Найдите сторону, противолежащую углу в и диаметр описанной вокруг треугольника окружности.

2. Стороны треугольника равны Найти

3. Стороны треугольника равны 14 см и 17 см, косинус угла против большей стороны равен Найти периметр треугольника.

4. Сторона треугольника равна 21, а две другие стороны образуют угол в и относятся как . Найдите эти стороны.

5. Угол при вершине D трапеции ABCD с основаниями AD и BC равен . Найдите диагонали трапеции, если

Выпуклые многоугольники. Периметр многоугольника

Многоугольник – это замкнутая плоская фигура, образованная некоторым количеством отрезков. В зависимости от количества углов это может быть треугольник, четырехугольник, восьмиугольник и т.д. На рисунке изображен шестиугольник ABCDEF.

Точки вершины шестиугольника.

– диагонали шестиугольника.

сторона шестиугольника.

Мы будем рассматривать многоугольники без самопересечений, т.е. такие, как на рисунке ниже мы рассматривать не будем.

Если все диагонали лежат внутри многоугольника, он называется выпуклым. Например, рассмотренный на первом рисунке шестиугольник – выпуклый, а изображенный ниже пятиугольник – не выпуклый, т.к. диагональ лежит вне пятиугольника.

Сумма длин всех сторон любого многоугольника называется периметром и обозначается буквой Иногда вводят понятие полупериметра, равного

Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника равна

Пример 1.

Известно, что сумма углов некоторого многоугольника равна Найти число его сторон.

Решение:

Проверь себя:

1. Какие из следующих многоугольников являются выпуклыми?

2. Дан пятиугольник со сторонами Найти его периметр и полупериметр.

3. Найди количество сторон в выпуклом многоугольнике, сумма углов которого равна

2340

4. Дан правильный (все стороны равны) семиугольник. Найти градусные меры его углов.

5. Как меняется градусная мера каждого из углов правильного многоугольника с увеличением числа сторон?

Параллелограмм, его свойства и признаки

Рассмотрим теперь один из многоугольников – четырехугольник, и его частные случаи.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и попарно параллельны.

На рисунке ABCD – параллелограмм, AC и BD – его диагонали.

Признаки параллелограмма

1. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник является параллелограммом.

параллелограмм

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то данный четырехугольник является параллелограммом.

параллелограмм

3. Если в четырехугольнике 2 противоположные стороны равны и параллельны, то данный четырехугольник является параллелограммом.

параллелограмм

4. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то данный четырехугольник является параллелограммом.

параллелограмм

5. Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, то данный четырехугольник является параллелограммом.

параллелограмм

Свойства параллелограмма

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Если – параллелограмм, то

2. Если – параллелограмм, то

3. Сумма квадратов параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

4. Если – параллелограмм, то а также

Пример 1. (ЕГЭ)

Один из углов параллелограмма больше другого на 70 Найти больший угол.

Решение:

Противоположные углы равны, поэтому речь идет о соседних углах.

Пусть Соседние углы в параллелограмме в сумме дают поэтому

Таким образом, больший угол

Пример 2. (ЕГЭ)

В параллелограмме высота, опущенная на сторону из точки равна 3, Найти

Решение:

Из треугольника Т.к. параллелограмм, то

Пример 3.

Сторона параллелограмма равны 7 и 11, а диагонали относятся как Найти диагонали параллелограмма.

Решение:

Пусть Тогда По свойству параллелограмма

Пример 4.

Найти углы параллелограмма, если сумма двух его углов равна

Решение:

Соседние углы дают в сумме значит речь идет о противоположных углах, которые между собой равны. Обозначим их и . Тогда

Оставшиеся 2 угла равны

Проверь себя

1. Один из углов параллелограмма на 35 меньше другого. Найти все углы параллелограмма.

2. Найти угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

3. В параллелограмме Найти высоту, опущенную на сторону

4. В параллелограмме Найти

5. Найти углы параллелограмма, если сумма двух его углов равна

Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы равны

Признаки прямоугольника:

1. Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм - прямоугольник.

2. Если у параллелограмма хотя бы один угол прямой, то такой параллелограмм – прямоугольник.

Свойства прямоугольника:

1. Диагонали равны.

2. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольника, лежит на точке пересечния диагоналей и равен половине диагонали.

Пример 1.

Диагональ прямоугольника равна 16 и составляет со стороной угол 30°. Найти площадь прямоугольника.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник В нем – гипотенуза, значит а

Тогда площадь прямоугольника равна

Пример 2.

Диагональ прямоугольника составляет с его стороной, равной 10 см, угол 60°. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение:

По свойству прямоугольника его диагональ равна диаметру описанной окружности. Эта диагональ равна Отсюда

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Признаки ромба:

1. Если диагонали ромба перпендикулярны, то данный параллелограмм – ромб.

2. Если диагонали ромба являются биссектрисами углов, то данный параллелограмм – ромб.

Свойства ромба:

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

2. Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

3. Центр окружности, вписанной в ромб, - точка пересечения диагоналей, ее радиус равен половине высоты ромба.

Пример 3.

Сторона ромба равна 6, а угол между стороной и диагональю равен 30 Найти площадь ромба.

Решение:

Пусть Тогда а вся диагональ Аналогично найдем и

Площадь ромба вычисляется далее по формуле

Пример 4.

Найти углы ромба, если его высота вдвое меньше стороны.

Решение:

По условию Тогда

Квадрат

Квадрат – это, с одной стороны, ромб, у которого все углы прямые, а с другой – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром вписанной и описанной окружностей.

Радиус описанной окружности равен радиус вписанной окружности где – сторона квадрата.

Пример 5.

Дан квадрат , радиус описанной окружности вокруг которого равен Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

Используем формулу

Отсюда находим

Пример 6.

Отрезок, соединяющий вершину квадрата с серединой противоположной стороны, равен 5 см. Найти площадь и периметр квадрата.

Решение:

Пусть Тогда прямоугольный, по теореме Пифагора

Тогда

Проверь себя

1. Сторона прямоугольника равна 7, а радиус описанной окружности равен 10. Найти угол между диагональю прямоугольника и его стороной.

2. Найти углы ромба, если высота, проведенная от вершины тупого угла, отсекает от него равнобедренный треугольник.

3. Сторона ромба равна 8, а тупой угол равен Найти площадь ромба.

4. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 11. Найти радиус описанной окружности.

5. Отрезок, соединяющий вершину квадрата с серединой противоположной стороны, равен 10. Найти радиус вписанной в квадрат окружности.

Трапеция. Средняя линия трапеции

Трапеция – это четырехугольник, у которого 2 стороны параллельны, а 2 другие – нет. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, 2 другие стороны – боковыми сторонами.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, параллельный ее основаниям и соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

Площадь трапеции можно выразить через среднюю линию m:

Пример 1.

Средняя линия трапеции равна 30, при этом одно основание на 8 больше другого. Найти основания трапеции.

Решение:

Обозначим меньшее основание за тогда большее будет равно По формуле средней линии трапеции m имеем

Ответ:

Прямоугольная трапеция

Трапеция называется прямоугольной, если одна из ее боковых сторон перпендикулярна основаниям. Таким образом меньшая сторона такой трапеции равна ее высоте.

Пример 2.

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

Решение:

Опустим высоту

прямоугольник, поэтому и , при этом по условию .

По теореме Пифагора:

Но площадь искомого прямоугольника и есть

Пример 3.

Найти периметр прямоугольной трапеции , если , ,

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник

Высота этой трапеции равна боковой стороне Теперь найдем периметр трапеции:

Равнобедренная трапеция

Если боковые стороны трапеции равны, то ее называют равнобедренной (равнобокой).

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Диагонали равны

2. Углы при основаниях равны

3. Если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то высота трапеции равна ее средней линии.

Пример 4. (ЕГЭ)

Основания равнобедренной трапеции равны 28 и 15. Тангенс острого угла равен Найти высоту трапеции.

Решение:

Проведем высоты .

Тогда

Так как в треугольнике то

Пример 5.

Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если разность противолежащих углов равна 70

Решение:

Т.к. в равнобедренной трапеции углы при основании равны, условие можно записать как

Учтем, что прямые параллельны, поэтому

Трапеция и окружность

1. Если около трапеции описана окружность, то эта трапеция – равнобедренная.

2. Если в трапецию вписана окружность, то сумма боковых сторон трапеции равна сумме ее оснований. Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции.

Пример 6.

Найти периметр описанной трапеции, если ее основания равны 5 см и 11 см.

Решение:

Если трапеция описана вокруг окружности, значит Значит периметр

Пример 7.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Равнобедренная трапеция с углом при основании в и представляет собой три равносторонних треугольника.

Таким образом, точка равноудалена от вершин, т.к. в силу того, что треугольники равносторонние. Тогда – центр описанной окружности, т.е. – ее диаметр, а значит радиус равен

Проверь себя

1. Найти среднюю линию трапеции, если ее основания равны 24 и 9.

2. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию на отрезки 3 см и 13 см. Найти высоту трапеции.

3. В равнобедренной трапеции основания равны 29 и 50, а острый угол равен Найти ее периметр.

4. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 74 и 41. Найти среднюю линию трапеции.

5. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Окружность и круг, основные понятия (диаметр, хорда, дуга)

Окружность – это замкнутая кривая, каждая точка которой удалена от некоторой точки, называемой центром окружности.

Круг – это фигура на плоскости, ограниченная окружностью.

Хордой называется отрезок соединяющий 2 любые точки окружности.

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности. Он является самой большой из хорд любой окружности.

Радиус окружности – это прямая, соединяющая ее центр с любой из точек окружности.

Диаметр окружности равен двум ее радиусам

Любая секущая (прямая) делит окружность на 2 дуги. Они могут быть как равны между собой, если секущая совпадает с диаметром, так и нет.

Центральный, вписанный угол, величина вписанного угла. Соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

Центральный угол в окружности – это угол с вершиной в ее центре. Под градусной мерой дуги окружности подразумевается градусная мера ее центрального угла.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают саму окружность, называется вписанным углом.

Теорема.

Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Следствия:

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

2. Если вписанный угол опирается на диаметр, значит он равен

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, совпадает с радиусом и равна половине гипотенузы.

Рассмотрим еще одну важную теорему, связанную с коружностью.

Теорема.

Угол, образованный хордой и касательной, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Пример 2.

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную от дуги всей окружности.

Решение:

Эта дуга составляет Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который в свою очередь в 2 раза больше вписанного. Значит, вписанный угол равен

Пример 3.

Из некоторой точки окружности проведены 2 хорды, угол между которыми Первая хорда стягивает дугу в Какую дугу стягивает вторая хорда?

Решение:

Пусть Так как то он опирается на диаметр. Это означает, что Таким образом, оставшаяся часть дуги, которую и требуется найти, равна

Пример 4.

Найти хорду, на которую опирается вписанный угол величиной в 30 Радиус окружности равен 43.

Решение:

Центральный угол равен Т.к. полученный треугольник равнобедренный, заключаем, что он также является равносторонним.

Это означает, что хорда равна радиусу, т.е.

Проверь себя

1. Чему равен радиус окружности, диаметр которой равен 10 см?

2. Хорда делит окружность на 2 части, градусные меры которых относятся как Под каким углом видна эта хорда из точки принадлежащей меньшей дуге окружности?

3. Через концы дуги окружности в проведены касательные Найти угол

4. Найти длину

5. Угол треугольника вписанного в окружность радиуса 47, равен 30 . Найти сторону этого треугольника.