Арифметические действия над натуральными числами

Теория

Для натуральных чисел определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня.

Первые четыре действия являются арифметическими действиями.

– сложение, а и b называются слагаемыми, с – суммой.

– вычитание, а называется уменьшаемое, b – вычитаемое, с – разность.

– умножение, а и b называются множители, с – произведение.

– деление, а называется делимое, b – делитель, с – частное.

При сложении и умножении двух натуральных чисел, получается натуральное число.

Например, 2+7=9, 2∈N, 7∈N, 9∈N.

, 2∈N, 7∈N, 14∈N.

При вычитании или делении натуральных чисел не всегда получается натуральное число.

Например, , 16∈N, 10∈N, 6∈N.

, 16∈N, 10∈N, –6∉N.

, 15∈N, 3∈N, 5∈N.

, 3∈N, 15∈N, 0,2∉N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел

Сложение		Умножение
Переместительное		Переместительное
Сочетательное		Сочетательное
Распределительное свойство умножения относительно сложения

Действия с нулями и единицами

Также стоит отметить, что деление на нуль невозможно.

Пример. Вычислить:

а)

б)

в)

Решение.

а)

б)

в)

Проверь себя

1. Вычислите:

а)

б)

в) 6

г)

д)

е)

Порядок выполнения арифметических действий.

Теория

Обязательно нужно соблюдать порядок выполнения арифметических действий, иначе вы получите неверный ответ.

Сначала выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняется умножение и деление, в потом сложение и вычитание. Если стоят только равнозначные выражения, например, умножение и деление, они выполняются слева направо.

Пример. Найти значение выражения

.

Решение.

В первую очередь нужно найти значение в скобке. Но в скобке есть ещё одна скобка, с нее и начнем.

1. .

Выражение примет вид:

Выполняем умножение и деление внутри скобки.

2. 

3. 

Выражение примет вид:

Найдем значение скобки:

4. 

Выражение примет вид:

Выполняется умножение:

5. 

Выражение примет вид:

Проведя вычисления получим ответ:

6. 

Ответ: 689.

Проверь себя

1. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

Задания

1. Вычислите:

а) 10+7-9

б) 3 • (6-4)

в) (16-8) : 2

г) 7 • 4 – 3 • 9

д) 84 : 42+5

е) 100 : 2 – 25

2. Вычислите

(5992 + 106 • 97) : (6812 - 6709)

3. В Судебнике 1589 года установлены были волости, ответственные за содержание “царской дороги” от Москвы до Холмогор. Эту дорогу надлежало ремонтировать, зимой очищать. За сколько верст дороги отвечала Важская земля, если ее протяженность на 52 меньше разности чисел 1589 и года основания первого поселения на реке Вели (1137)?

4. 8012 – (16169 : 23 + 999)

5. В земских училищах Вельского уезда 1891 года обучалось 1056 мальчиков и 206 девочек, что на 227 учащихся больше, чем в церковно–приходских школах и министерских училищах вместе. Сколько всего детей обучалось во всех учебных заведениях?

6. (2071 : 19 + 16) • (17009 - 16994)

7. В 1905 году в городской библиотеке имелось 2089 экземпляров периодических изданий, а экземпляров книг на 252 наименования дольше. Сколько человек посещало библиотеку, если количество всех литературных изданий дольше количества читателей на число 4319?

8. Два столетия культивируется картофель на Севере, но к концу XIX века было посажено только 1300 десятин. Весь урожай составлял 340 пудов с десятины. Каково население было в 1899 году, если на одну душу населения приходилось 4 пуда картофеля? Сколько килограммов картофеля приходилось на одного человека, если 1 пуд примерно равен 16 килограммам? В каком году завезли картофель на Север?

9. В 1858 году в городе Вельске женщин проживало в 9 раз больше, чем число 52, а общее количество мужчин и женщин больше этого же числа в 20 раз. Сколько мужчин проживало в городе Вельске в 1858 году?

10. Ковер-самолет пролетит 2 часа со скоростью 132 км/ч и 3 часа со скоростью 143 км/ч. Найдите расстояние, которое мы преодолеем на ковре-самолете.

11. Дорога состоит из четырех участков. Первый участок имеет длину 14 км, второй – в 2 раза длиннее первого, третий длиннее второго на 4 км, четвертый – в 4 раза короче третьего. Найдите длину дороги.

12. Лодка плыла 3 часа с некоторой скоростью. Если она проплывёт ещё 12 км, то её путь станет равным 132 км. С какой скоростью плыла лодка?

13. Для приготовления фруктового напитка берут 2 части сиропа и 5 частей воды. Сколько надо взять сиропа, чтобы получить 1400г напитка?

Степень с натуральным показателем

Теория

Степень числа a с натуральным показателем n – это выражение вида aⁿ, значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a, то есть, .

В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a, то есть, a¹=a.

Число а будем называть основание степени, а n – показателем степени.

Например, число 2⁴ представить в виде произведения.

.

Вычисление значения степени называют действием возведение в степень.

Свойства степени с натуральным показателем

Пусть m и n – натуральные числа (m∈N, n ∈N).

1. 

Например, .

2. 

Например,

3. 

Например,

4. 

Например, ;

.

5. 

Например, .

Проверь себя

1. Представьте в виде произведения и вычислите:

а) 3³

б) 5²

в) 4¹

2. Вычислите: .

3. Найдите значение выражения: .

Задания

1. Вычислите

а) 1³

б) 9²

в) 7³

г) 5⁴

д) 3⁵

е) 2¹⁰.

2. Вычислите

а) 2³∙2²

б) 3⁵:3³

в) 5⁶:25.

3. Вычислите

а)

б)

в) .

Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа

Теория

Разложение натурального числа на простые множители

Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка.

Например, число 24 имеет делители: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

Число, имеющее более двух делителей, называется составным.

Например, число 15 имеет делители 1;3;5;15. Следовательно, число 15 является составным. Число 3 имеет делители только: 1; 3. Следовательно, число 3 – простое.

Признак делимости произведения нескольких чисел.

Если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Например, , делится на 11, т.к. 33 делится на 11.

Признак делимости суммы (разности) чисел.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

Здесь a, b и c – натуральные числа.

Например, число , поскольку 33:3 и 51:3.

Если a: b, а c не делится на b, то (a + c) не делится на число b.

Например, число на 9 не делится, т.к. 81:9, а 49 не делится на 9.

Если a: c и c: b, то a: b.

Например, 125:25 и 25:5, значит 125:5.

Представление числа в виде произведения степеней простых чисел называют разложением числа на простые множители.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители только одним способом.

При разложении числа на простые множители используют признаки делимости и применяют запись «столбиком», при которой делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывают под делимым.

Например, разложим на множители числа 75 и 396.

75	5
15	5
3	3
1
396	3
132	3
44	2
22	2
11	1
1

Проверь себя

1. Какие делители имеют числа:

а) 3

б) 28

в) 84

г) 120

2. Каким (простым или составным) является число:

а) 2

б) 3

в) 4

г) 7

д) 27

е) 89

3. Разложите на простые множители:

а) 14

б) 30

в) 55

г) 264

д) 1040

е) 3289

Задания

1. Простыми или составными являются числа:

а)2

б)5

в)7

г)11

д)13

е)15

ж)17

з)21.

2. Какие множители имеет числа:

а) 2

б) 15

в) 17

г) 25

д) 88

е) 125

ж) 625

з) 1263.

3. Разложите на простые множители:

а) 5

б) 50

в) 210

г) 720

д) 2268

е) 9973.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10

Теория

Признак делимости – алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному.

Делитель	Признак делимости	Примеры
2	Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2	3 218:2 3 217 на 2 не делится
3	Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3	5 271:3, т.к. 5+2+7+1=15, 15:3=5
5	Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5	10 275:5 977 460:5 381на 5 не делится
9	Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9	1 973 457:9, т.к. 1+9+7+3+4+5+7=36 36:9=4
10	Число делится на 10, если его последняя цифра 0	390:10 391 на 10 не делится

Отдельно можно выделить еще признаки делимости на 4, 11, 25.

Делитель	Признак делимости	Примеры
4	Число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на 4	1 357 512:4, т.к. 12:4
11	Число делится на 11, если алгебраическая сумма его цифр делится на 11.	5 784 922:11, т.к. 5–7+8–4+9–2+2=11 11:11=1
25	Число делится на 25, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на 25	1 275; 2 325; 9 750; 10 300 делятся на 25

Можно вывести признаки делимости на 6; 15; 45 и т.д., т.е. на те числа, которые можно представить в виде произведения 2; 3; 5; 9 и 10.

Так же существуют признаки деления на 7; 11; 13; 17 и т.д.

Проверь себя

1. На что (2;3;5;9;10) делится число:

а) 1 357 912

б) 3 875

в) 254 874

г) 7 125 310

д) 745 623

е) 1 394 550

2. На что (2; 3; 4; 5; 9; 10; 11; 25) делится число:

а) 41 349

б) 21 800

в) 8 316

г) 9 900

3. Сформулируйте признак делимости на 15.

4. Укажите наибольшее натуральное число, делящиеся на 9 и удовлетворяющее неравенству:

а)

б)

5. В одной коробке лежит 42 листа, во второй на 4 больше, чем в первой, а в третьей половина от листов во второй коробке. Можно ли все листы поровну разложить по трем коробкам?

Задания

1. Пользуясь признаками делимости на 3, определите, делятся ли числа 3213; 78213; 43552; 17 на 3?

2. Запишите все числа, которые делятся на 2 и при этом больше 61 и меньше 73:

3. Пользуясь признаками делимости на 11, определите, делятся ли числа 5731; 78309; 43552; 351278 на 3?

4. Верно ли утверждение?

а) 9 - делитель 135;

б) 3 - делитель 64;

в) 3 - делитель 2376;

г) 9 - делитель 117.

6. Укажите наибольшее натуральное число, делящиеся на 25 и удовлетворяющее неравенству:

А)

Б)

5. Верно ли утверждение?

а)621 - кратно 9;

б) 432 - кратно 3;

в) 7218 - кратно 3;

г) 58960 - кратно 9.

6. Мама принесла домой несколько мешочков с конфетами в которых было по 5 конфет. Может ли быть что мама принесла 15, 22, 31 или 45 конфет?

7. Запишите все двузначные числа, которые делятся на 2 и 5.

8. Какую цифру следует поставить вместо звёздочки в записи 3*16, чтобы получившиеся число делились на 3?

9. В первом мешочке 65 кусочков сахара, во втором на 25 меньше, а в третьем в 2 раза больше чем в первом. Можно ли все кусочки поровну разложить по пяти мешочкам?

10. Верно ли, что если число делится на 8 и на 6, то оно делится на 48?

11. Какие из приведенных чисел делятся на 2; 3; 5; 9; 10;11:

а) 12

б) 15

в) 18

г) 25

д) 110.

12. Приведите пример наибольшего трёхзначного числа кратного 15, произведение цифр которого равно 30.

13. Можно ли в числе 1*21934 поставить вместо звёздочки цифру так, чтобы полученное число делилось на 11?

14. Среди четырех утверждений: "число а делится на 2", "число а делится на 4", "число а делится на 12", "число а делится на 24" – три верных, а одно неверное. Какое?

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Теория

Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело каждое из двух данных натуральных чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел (НОД).

Например, НОД(12;20)=4; НОД(125; 25)=25; НОД(49; 35)=7; НОД(13; 19)=1.

Если наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен 1, то эти числа называются взаимно простыми.

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД)

Действие	Пример, найти НОД (280;1260)
Разложить данные числа на простые множители
Выписать все простые числа, которые входят в каждое из полученных разложений	НОД(280;1260)=
Записать произведение полученных степеней	НОД(280;1260)=140

Кратным натурального числа а называется натуральное число, которое делится на а без остатка.

Например, число 5 имеет кратные: 5; 10; 15; 20; 25 и т.д.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Наименьшим общим кратным (НОК) чисел называется наименьшее натуральное число, которое кратно этим числам.

Например, НОК(20;30)=60; НОК(63; 25)=1575.

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК)

Действие	Пример, найти НОК(28;90)
Разложить числа на простые множители
Вычислить все простые числа, которые входят хотя бы в одно из разложений. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим показателем степени, с которым оно входит в разложения данных чисел	НОК(28; 90) =
Записать произведение полученных степеней	НОК(28;90)=1260

Проверь себя

1. Найдите НОД:

а) 12; 20

б) 121; 264

в) 455; 16380

г) 120; 140; 160

д) 42; 70; 182

е) 299; 323

2. Найдите НОК:

а) 5; 10

б) 21; 35

в) 66; 154

г) 4; 6; 10

д) 34; 85; 221

е) 21; 22; 95

3. Ребята во дворе разделили поровну 98 конфет и 28 яблок. Сколько ребят было во дворе?

4. Девочка в магазине купила апельсины. По дороге домой она заметила, что количество апельсинов делится на 2; 3; 5; 10 и 15. Сколько апельсинов купила девочка, если это количество меньше 55?

Задания

1. Найдите НОД чисел:

а) 4;20

б) 3;23

в) 50;75

г) 25;26

д) 50; 75 и 325

е) 192; 288 и 432.

2. Найдите НОК чисел:

а) 2; 12

б) 3;23

в) 50;75

г) 72, 99 и 117.

3. Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см., а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько?

4. Заместитель директора Вера Александровна организует проведение дня здоровья. 424 человека повезут на стадион “Спартак” для проведения эстафет, а 477 человек – в плавательный бассейн с морской водой. Для перевозки нужно заказать автобусы. Перевозчик имеет автобусы с одинаковым количеством мест, все места должны быть заняты. Сколько автобусов надо заказать и сколько пассажиров будет в каждом автобусе?

5. Бегун Коля знает, что через каждые 400 м от старта стоит наблюдатель, а через каждые 700 м от старта можно попить воды. На каком минимальном расстоянии от старта можно попить воды и задать вопрос наблюдателю?

6. Марина Николаевна, член родительского комитета, закупила для новогодних подарков 84 мандарина, 56 апельсинов, 112 вкуснейших шоколадных конфет, и передала все это для упаковки Светлане Алексеевне, сын которой совсем недавно учится в этом классе и не помнит точно, сколько в нем человек, но знает, что больше 25. Сможет ли Светлана Алексеевна определить, на сколько человек ей распаковывать подарки?

7. Длина шага Бори 50 см, а его отца – 70 см. Боря утверждает, что первый раз, сделав целое количество шагов, они с папой окажутся на одинаковом расстоянии от начала пути через 3 метра, а папа не соглашается. Кто прав в этом споре?

8. Заведующая хозяйством Раиса Максимовна дала поручение учителю труда Ильдару Олеговичу закупить доски, которые можно распилить на равные части и по 30 см, и по 40 см. Какой длины и сколько потребуется досок, если нужно 16 кусочков по 30 см и 12 кусочков по 40 см.

9. На празднике “Последнего звонка” выступающим первоклассникам принято дарить подарки. Ученики 11 “а” класса купили 58 конфет, ученики 11 “б” класс – 116 “чупа-чупсов”, а ученики 11 “в” класса – по одной мягкой игрушке. Сколько куплено мягких игрушек?

10. Родители Артема – люди очень интересных профессий. Мама – стюардесса, а папа – машинист скорого поезда. Мама бывает дома один раз в четыре дня, а папа – один раз в семь дней. Так получилось, что оба они 1 января 2015 года уходят в рейс. Когда Артем увидит своих родителей дома вместе?

11. Продавец цветочного магазина к 8 марта получила с базы 45 тюльпанов, 30 нарциссов и 60 веточек мимозы. Из этих цветов ей надо составить максимально возможное количество одинаковых букетов. Зашедшая к ней в магазин дочка-шестиклассница быстро решила эту задачу, сообщив, сколько надо сделать букетов и какое количество каждого вида цветов в них войдет. Как рассуждала дочь Маша?

12. Друзья Алексей Николаевич и Борис Петрович решили заняться гостиничным бизнесом. Для своей гостиницы Алексей Николаевич завез 108 кроватей и 72 шкафа, а Борис Петрович – 128 кроватей и 64 шкафа. Кровати и шкафы распределяются по комнатам поровну. Сколько комнат в гостиницах каждого из друзей? У кого из них остановиться третьему другу Александру Ивановичу, если он отдыхает с семьей, состоящей вместе с ним из 8 человек?

13. Конфеты "Сладкая математика" продаются по 12 штук в коробке, а конфеты "Геометрия с орехами" – по 15 штук в коробке. Какое наименьшее число коробок конфет того и другого сорта необходимо купить, чтобы тех и других конфет было поровну?

14. С 1 сентября четыре школьника начали посещать кинотеатр. Первый бывал в нём каждый четвёртый день, второй – каждый пятый, третий – каждый шестой и четвёртый – каждый девятый. Когда второй раз все школьники встретятся в кинотеатре?

Деление с остатком

Теория

Деление c остатком – арифметическая операция, играющая большую роль в арифметике. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел следующим образом. Пусть a и b – целые числа, причём b ≠ 0. Деление с остатком a («делимого») на b («делитель») означает нахождение таких целых чисел n и r, что выполняется равенство:

Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: n называется неполным частным от деления, а r – остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: , то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя. Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел. Если остаток равен нулю, говорят, что a нацело делится на b.

Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка.

Например, произведем деление числа 389 на 9.

Ближайшее к числу 389 число делящееся на 9, с меньшей стороны 387.

Найдем остаток:

Получим: .

То есть a=389; b=9; n=43; r=2.

Числа, которые без остатка делятся на 2, называются четные.

Остальные числа называются нечетными.

Например, число 12 является четным, т.к.

Число 85 является нечетным, т.к.

Проверь себя

1. Произведите деление:

а) 542:3

б) 50:4

в) 153:13

г) 5 841:5

д) 1 797:7

е) 1519:7

2. Каким числом (четным или нечетным) является число?

а) 3

б) 5

в) 12

г) 2n

д)

е)

3. Представьте число в виде формулы четного или нечетного числа:

а) 10

б) 15

в) 327

г) 4 250

д) 8 423

е) 10 428

Задания

1. Пакет сока стоит 32 рубля. Какое наибольшее количество пакетов сока можно купить на 200 рублей?

2. В пачке бумаги 500 листов. За неделю в офисе расходуется 1200 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 8 недель?

3. В супермаркете проходит рекламная акция: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три шоколадки (одна шоколадка в подарок). Шоколадка стоит 35 рублей. Какое наибольшее число шоколадок можно получить на 200 рублей?

4. Булочка стоит 14 рублей. Какое наибольшее количество булочек можно купить на 100 рублей?

5. В лесу мы видели белок. Белки — труженицы. Одна белка заготовила 37 грибов и разместила их в дупла 8 деревьев. Сколько грибов в каждом дупле дерева?

6. Из леса для строительства дома нужно привезти 43 бревна. На машину можно положить не больше 4 брёвен. Сколько раз придётся съездить в лес, чтобы привезти все брёвна?

7. В школе есть трехместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 20 человек?

8. Больному прописан курс лекарства, которое нужно принимать по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. Упаковка содержит 10 таблеток по 0,5 г. Какое наименьшее количество упаковок требуется на весь курс лечения?

9. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пакетиков нужно купить хозяйке для приготовления 8 литров маринада?

10. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек . Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

11. Если треть числа разделить на его семнадцатую часть, в остатке будет 100. Найти это число.

12. При делении некоторого натурального числа на 15 получили остаток, который в 2 раза меньше частного. Найди делимое, если оно не превышает 100.

13. Люда отправила SMS-сообщения с новогодними поздравлениями своим 16 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 60 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Люды было 99 рублей. Сколько рублей останется у Люды после отправки всех сообщений?

14. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 1-3 курсов, по 360 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 9 полок, на каждой полке помещается 25 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

15. В общежитии института в каждой комнате можно поселить двух человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для поселения 79 иногородних студентов?

Обыкновенная дробь, основное свойство дроби

Теория

Дробь – число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы.

Обыкновенная дробь обозначается .

Например, апельсин состоит из 12 долей. Тогда одна доля будет , две доли и т.д..

Дробь можно рассматривать как результат деления натуральных чисел.

Результат деления a на b, если a и b – натуральные числа, будет , где, а называется числитель, а b – знаменатель.

Например, разделим 3 на 8.

, где, 3 – числитель, 8 – знаменатель.

Если числитель больше или равен знаменателю ( , то дробь называется неправильной.

Если числитель меньше чем знаменатель ( ), то дробь называется правильной.

Например, какими являются дроби и .

Рассмотрим первую дробь. 4 – числитель, 7 – знаменатель. 4<7. Значит числитель меньше чем знаменатель. Следовательно, дробь является правильной.

Рассмотрим вторую дробь. 8 – числитель, 3 – знаменатель. 8>3. Значит числитель больше чем знаменатель. Следовательно, дробь является неправильной.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления – это целая часть, остаток – это числитель, делитель – это знаменатель.

Например, .

Справедливо и обратное действие. Для того чтобы число, состоящее из целой и дробной части, перевести в неправильную дробь, нужно: умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма является числителем дроби, а знаменатель остается таким же, как у дробной части.

Например, .

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Например, .

Основное свойство дроби используют при сокращении дробей.

Сокращение дроби – деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы.

Например, .

Сокращение дробей можно проводить поэтапно с помощью признаков делимости.

Например, .

Проверь себя

1. Правильной или неправильной является дробь:

а)

б)

в)

г)

2. Замените неправильную дробь дробью с целой частью:

а)

б)

в)

г)

3. Замените неправильной дробью:

а)

б)

в)

г)

4. Сократите дроби:

а)

б)

в)

г)

Сравнение дробей 

Теория

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Например, сравним дроби .

Как мы видим, .

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Например, сравним дроби .

Сделаем преобразование второй дроби: .

Видим что , а Тогда это можно записать в виде двойного неравенства: . Следовательно, .

Сравнение дробей с различными числителями и знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

1. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю;

2. Сравнить полученные дроби.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей (оно будет их общим знаменателем);

2. Разделить общий знаменатель на знаменатель каждой из дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Пример. Сравним дроби .

1. Приведем к наименьшему общему знаменателю.

   1. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей

2. Найдем дополнительные множители.

3. Умножить числитель и знаменатель на дополнительный множитель. Получим

2. Сравним полученные дроби:

Следовательно:

Проверь себя

1. Сравните дроби:

а) и

б) и

в) и

г) и

2. Сравните дроби:

а) и

б) и

в) и

г) и

3. Сравните дроби:

а) и

б) и

в) и

г) и

4. Сравните дроби:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

1. Пя­ти­мет­ро­вое брев­но рас­пи­ли на 8 рав­ных ча­стей. Че­ты­рех­метро­вое брев­но рас­пи­ли­ли на 7 рав­ных ча­стей. Куски ка­ко­го брев­на длин­нее?

2. На уроке ма­те­ма­ти­ке Саша, Маша и Миша ре­ша­ли одно и то же урав­не­ние. Один из них решал его 1/5 урока, дру­гой –2/9 урока, а тре­тий – 4/15 урока. Какую часть урока по­тра­тил каж­дый из них, если из­вест­но, что Маша ре­ши­ла быст­рее Саши, но мед­лен­нее Миши?

3. Первый стрелок попадает в цель 19 раз из 25 попыток, а второй имеет 82 попадания при 100 выстрелах. Результативность какого стрелка выше?

Арифметические действия с обыкновенными дробями

Теория

С дробями можно выполнять те же арифметические действия, что и с натуральными числами. Подробно остановимся на четырех из них: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение и вычитание

Сложение (вычитание) дробей с одинаковыми знаменателями:

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть, т.е. .

Например,

а)

б) .

Сложение (вычитание) дробей с разными знаменателями:

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Например,

а) .

б) .

Если есть целая и дробная часть, то возможны два способа сложения (вычитания).

1. Перевести в неправильные дроби, а затем произвести сложение (вычитание).

Например, вычислить а) ; б)

а)

б)

2. Выполнить по отдельности сложение(вычитание) целых и дробных частей.

Например, вычислить а) ; б)

а)

б)

Умножение дробей

Для того чтобы произвести умножение двух дробей нужно: отдельно перемножить числители – это будет числитель новой дроби, отдельно перемножить знаменатели – это будет знаменатель новой дроби.

Например, вычислите .

При умножении чисел, состоящих из целой и дробной частей, их представляют в виде неправильных дробей, а затем умножают согласно правилу выше.

Например, вычислите .

Деление дробей

Два числа называются обратными, если их произведение равно 1.

Например, дроби являются обратными, т.к.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на обратную дробь делителя.

Например, вычислите

При делении чисел, содержащих целую и дробную части, нужно перевести их в неправильные дроби, а затем произвести деление согласно пункту выше.

Например, вычислите .

Проверь себя

1. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Задания

1. Произведите необходимые вычисления:

а)

б)

в)

г)

2. Произведите необходимые вычисления:

а)

б)

в)

г)

3. Произведите необходимые вычисления:

а)

б)

в)

г)

4. Произведите необходимые вычисления:

а)

б)

в)

г)

5. Произведите необходимые вычисления:

а)

б)

в)

г)

6. Произведите необходимые вычисления:

а)

б)

в)

г)

7. Произведите необходимые вычисления:

а)

б)

в)

г)

8. Произведите необходимые вычисления:

а)

б)

в)

г)

Нахождение части от целого и целого по его части

Теория

Нахождение части от целого

Для того чтобы найти часть от числа, необходимо найти сколько составляет одна часть, а затем умножить на количество частей.

Например, в корзине лежит 63 фрукта. Из них – яблоки. Сколько яблок в корзине?

1. – находим, сколько содержит фруктов седьмая часть.

2. – количество яблок ( всех фруктов) .

Два действия, приведенные выше можно объединить одним, умножением числа на дробь.

Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.

Например, предыдущую задачу можно переписать в виде:

Нахождение целого по его части

Для того чтобы найти целое по его части нужно провести обратные действия пункта выше, т.е. разделить на количество взятых частей и умножить на общее количество частей.

Например, 124 ученика пришли на концерт, что составляет от всех учеников школы. Сколько учащихся в этой школе?

1. – находим, сколько учащихся составляют одну семнадцатую от всех.

2. – всего учащихся.

Так же эти два действия могут быть заменены одним.

Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь.

Например, решим предыдущую задачу.

Проверь себя

1. Расстояние между двумя селами 24 км. За первую неделю бригада заасфальтировала этого расстояния. Сколько километров заасфальтировали?

2. Велосипедисты за день проехали 48км. Это составляет всего пути. Сколько составляет весь путь?

Задания

1. Расстояние между двумя селами 24км. За первую неделю бригада заасфальтировала 5/8 этого расстояния. Сколько километров осталось заасфальтировать?

2. На ветке сидело 12 птиц, 2/3 их числа улетело. Сколько птиц осталось сидеть на ветке?

3. В классе 32 учащихся, 3/4 всех учащихся каталось на лыжах. Сколько учащихся не каталось на лыжах?

4. Велосипедисты за два дня проехали 48км. В первый день они проехали 2/3 всего пути. Сколько километров они проехали во второй день?

5. Папа, имея 3500 руб., потратил 5/7 своих денег. Сколько денег у него осталось?

6. В тетради 24 страницы. Записи занимают 5/8 числа всех страниц тетради. Сколько в тетради чистых страниц?

7. Автотуристы за три дня проехали 360 км. В первый день они проехали 2/5 , а во второй день - 3/8 всего пути. Сколько километров проехали автотуристы в третий день?

8. В драмкружке занимается несколько мальчиков и 24 девочки. Число мальчиков составляет 3/8 числа девочек. Сколько всего учащихся занимается в драмкружке?

9. Какова сумма денег, если 12 руб., составляют 3/4 имеющейся суммы?

10. За первую неделю бригада заасфальтировала 15 км, что составило 5/8 расстояния между двумя селами. Каково расстояние между селами?

11. Определите длину отрезка, 3/5 которого имеют длину 15 см.

12. Сыну 10 лет. Его возраст составляет 2/7 возраста отца. Сколько лет отцу?

13. Дочери 12 лет. Её возраст составляет 2/5 возраста матери. Сколько лет матери?

14. За 1ч автобус проходит 1/6 всего расстояния. За сколько часов он пройдет все расстояние?

15. Мальчик за 10мин прочитал 1/5 всей книги. За какое время он может прочитать всю книгу?

16. В классе 18 мальчиков и 16 девочек. 2/9 мальчиков и 1/4 девочек занимаются в литературном кружке. Сколько учащихся занимается в литературном кружке?

17. У машинистки 120 листов бумаги. Она использовала сначала 1/3 всех листов, а потом 1/4 оставшихся. Сколько всего листов бумаги использовала машинистка?

18. Когда для компота нарезали 2/3 всех яблок, то осталось еще 4 яблока. Сколько всего было яблок?

19. У мальчика было 240 руб. Он потратил 1/4 этой суммы и 1/2 остатка. Сколько денег он потратил?

20. Было 1000 руб. На первую покупку потратили 1/5 этой суммы, а на вторую - 3/4 остатка. Сколько рублей осталось?

21. Когда прочитали 35 страниц, то осталось прочитать 2/7 книги. Сколько страниц в книге?

22. В первый день прочитали 2/5 , а во второй - 1/3 числа всех страниц книги. После этого осталось прочитать 80 страниц. Сколько всего страниц в книге?

23. Половину книг школьной библиотеки составляют учебники, шестую часть всех учебников – учебники математики. Какую часть всех книг составляют учебники математики?

24. Мама израсходовала половину денег и 1/3 остатка. У неё осталось 6000 руб. Сколько денег было первоначально?

25. На день рождения к Васе пришли 4 друга. Первый получил 1/5 пирога, второй - 1/4 остатка, третий - 1/3 нового остатка. Оставшуюся часть пирога Вася разделил поровну с четвёртым другом. Кому досталась большая часть?

26. Уменьшите 90 руб. на 1/10 этой суммы.

27. Увеличьте 80 рублей на 2/5 этой суммы.

28. Сыну 8 лет, его возраст составляет 2/9 возраста отца. Возраст отца составляет 3/5 возраста дедушки. Сколько лет дедушке?

Десятичная дробь, сравнение десятичных дробей

Теория

Десятичная дробь это способ представления дроби, знаменатель которой кратен 10.

Десятичная дробь представляется в виде:

где, a – целая часть, b – числитель дробной части, при условии, что знаменатель кратен 10.

При переводе правильной дроби, перед запятой ставится 0. При переводе неправильной дроби сначала выделяется целая часть, и она ставится перед запятой.

Например, переведем обыкновенные дроби в десятичные:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Десятичные дроби называются по разрядности знаменателя.

Знаменатель	10	100	1 000	10 000	…
Разрядность знаменателя	Десятки	Сотни	Тысячи	Десятки тысяч	…
Название дроби	Десятые	Сотые	Тысячные	Десятитысячные	…

Например, назовем дроби:

а) 0,21 – нуль целых, 21 сотая.

б) 3,5217 – 3 целых, 5 217 десятитысячных.

Сравнение десятичных дробей

1. Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть больше.

2. Если целые части дробей равны, то больше та дробь, у которой десятых больше. Если и десятые равны, то больше та дробь, у которой больше сотых, и т. д.:

Пример. Сравним дроби

а) 1,3 и 2,6

б) 0,257 и 0,256

в) 0,112 и 0,1125

Решение.

а) 1,3 и 2,6

Сравниваем целые части 1<2, следовательно, .

б) 0,257 и 0,256

Сравниваем целые части 0=0. Следовательно сравниваем десятые 2=2. Т.к. сравнение десятых ничего не дало, сравниваем сотые, 5=5. Снова ничего, значит сравниваем тысячные, 7>6. Значит, .

в) 0,112 и 0,1125

Для начала немного модифицируем первую дробь, чтобы была одна разрядность.

Далее произведем сравнение. Сравнение целых, десятых, сотых и тысячных ничего не дает. А при сравнении десятитысячных, видно что 0<5. Значит, 0,112<0,1125.

Проверь себя

1. Переведите в десятичные дроби:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Сравните дроби:

а) 12,1 и 9,5

б) 16,12 и 16,22

в)

г) 0,751 и 0,749

д) 0,9541 и 0,95411

е)

Арифметические действия с десятичными дробями

Теория

Для десятичных дробей характерны те же арифметические действия, что и для обыкновенных дробей.

Сложение и вычитание

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

1) уравнять в этих дробях разрядность, т.е. количество знаков после запятой;

2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Например, выполним

а) 1,24+ 6,48

б) 9,12–2,58

а)		1,24
	+
		6,48
		7,72

б)		9,12
	–
		2,58
		6,54

Умножение

При умножении десятичных дробей сначала нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.

Например, произведем умножение .

Значит, в произведении нужно будет отделить 2+3=5 цифр.

Выбросим запятые и произведем произведение.

В полученном числе отделяем 5 цифр( ). Получим 18,64772.

Умножение на 10, 100, 1000 и т.д.

При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000, нужно перенести запятую вправо на столько нулей, сколько стоит после 1 в множителе.

Например, вычислим .

. Запятая переносится на два знака вправо, т.к. в множителе после 1 стоит два нуля.

Умножение десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести запятую влево на сколько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

Например, вычислим .

. Запятая переносится на два знак влево, т.к. в множителе перед 1 стоит два нуля.

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно:

1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

2) поставить в частном запятую после того, как закончено деление целой части;

3) если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.

Например, вычислим

а)

б)

а)

	25,	5	2	4
	24			6,38
	1	5
	1	2
		3	2
		3	2
			0

б)

	1,	2	5	5
	0			0,25
	1	2
	1	0
		2	5
		2	5
			0

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000, ..., нужно перенести влево запятую в этой дроби на сколько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Например, вычислим .

. Запятая переносится влево на одну цифру, т.к. в делителе после 1 стоит один нуль.

Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, нужно перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько нулей стоит в делителе перед единицей.

Например, вычислим .

. Запятая переносится на 2 цифры вправо, т.к. в делителе перед 1 стоит два нуля.

Можно заметить, что умножение на 10 и деление на 0,1 очень похожи.

Например, .

Аналогично, умножение на 0,1 и деление на 10.

Деление числа на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно:

1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на сколько цифр, сколько их после запятой в делителе;

2) выполнить деление на натуральное число.

Например, вычислим .

.

Проверь себя

1. Вычислите:

а) 0,12+0,67

б) 3,17–1,59

в) 12,97+13,87

г) 125,1–102,87

2. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

3. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

Задания

1. Вычислите.

а)

б)

в)

г)

2. Вычислите.

а)

б)

в)

г)

3. Вычислите.

а)

б)

в)

г)

4. Вычислите.

а)

б)

в)

г)

5. Вычислите.

а)

б)

6. Вычислите.

а)

б)

7. Вычислите.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной в виде десятичной

Теория

Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой. Если можно, дробь сократить.

Например, , .

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Например, .

	17,	0	0	25
	0			0,68
	17	0
	15	0
	2	0	0
	2	0	0
			0

Не любую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной.

Обыкновенную дробь можно представить в десятичном виде, если знаменатель дроби не содержит простые множители кроме 2 и 5.

Учитывая это правило, можно переводить обыкновенную дробь в десятичную не с помощью деления, а приведением ее к знаменателю 10, 100, 1000 путем умножения числителя и знаменателя этой дроби на недостающие множители.

Например, представим в десятичной дроби если это возможно:

а)

б)

а)

	1,	0	0	20
	0			0,05
	1	0
		0
	1	0	0
	1	0	0
			0

б)

	3,	0	0	0	0	0	0	0	7
	0								0,428571...
	3	0
	2	8
		2	0
		1	4
			6	0
			5	6
				4	0
				3	5
					5	0
					4	9
						1	0
							7
							3	0
								…

Проверь себя

1. Переведите десятичные дроби в обыкновенные:

а) 0,7

б) 0,2

в) 1,3

г) 2,5

2. Переведите обыкновенные дроби в десятичные:

а)

б)

в)

г)

Модуль (абсолютная величина) числа

Теория

Модулем числа а называют расстояние от начала отсчета до точки, которая изображает это число на координатной прямой.

Модуль числа обозначается прямыми вертикальными чёрточками слева и справа от числа.

Модуль числа a – это либо само число a, если a – положительное число, либо число −a, противоположное числу a, если a – отрицательное число, либо 0, если a=0.

Модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному:

Модуль любого числа есть величина неотрицательная.

Модули противоположных чисел равны:

Например, решите уравнение:

Раскроем модуль

Ответ: 3 или 13.

Задания

Изобразите на координатной прямой целые значения х, при которых верно неравенство:

А) |x|<2

Б) |x|≤1

В) 2<|x|≤5

Решите уравнения:

А)|x|=3

Б) |x|=-5

В) |x|=0

Г) |x-8|=1

Записать выражение без знака модуля:

А) |a-2|

Б) 2|a+4|

Решите уравнения:

а) |x|=2

б) |x+2|=−4

в) |2x−3|=3x−2

г) |2x|=|2+x|

д) |x−4|=2x

е) |3x+1|+x=9

ж) |5−x|=2(2x−5)

з) ||x|+2|=2

и) |2x+1|x−3x−4=0

к) |2x|=|2+x|

Сравнение рациональных чисел

Теория

Число, которое можно записать в виде отношения , где a –целое число, а n – натуральное, называют рациональным числом.

Например, числа ; ; 5; –3,4 являются рациональными, т.к. ; ; ; .

Рациональные числа включают в себя:

1. целые: –5; 0; 7 и т.д.

2. дробные: –5,7; ; 3,7; и т.д.

Множество рациональных чисел обозначают Q.

На множестве Q можно производить действия сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на 0). Каждому рациональному числу можно поставить в соответствие единственную точку на координатной прямой.

Из двух рациональных чисел больше то число, которое на координатной прямой расположено правее. Следовательно:

1) всякое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного:

2) всякое отрицательное число меньше нуля:

3) из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше:

Проверь себя

1. Сравните числа:

а) 3; –5 и

б) –5; –6 и –7

в) 2; 3 и –1.

2. Запишите по три последовательных числа, большее из которых:

а) 5

б) –6

в) 1

3. Найдите наибольшее целое значение x, при котором будут выполняться условия:

а) и

б) и

в) и .

Арифметические действия с рациональными числами

Теория

С рациональными числами те же арифметические действия, что и с натуральными числами. А именно: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение и вычитание

1. При сложении рациональных чисел с одинаковыми знаками нужно сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак.

Например,

а) ;

б) .

2. При сложении двух рациональных чисел с разными знаками модуль суммы равен разности модулей слагаемых. Знак суммы совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль.

Например,

а)

Определимся со знаком: , значит результирующий знак будет такой же как при числе 7,24; следовательно, знак «–».

А число будет равно .

Получим ответ .

б) .

в) .

3. Сумма противоположных чисел равна нулю.

Например,

а) ;

б) .

4) Чтобы произвести вычитание из числа а число b, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Например,

а)

б)

в)

Свойства сложения

Для любых рациональных чисел a, b и c выполняются равенства:

1. переместительное свойство:

2. сочетательное свойство: .

Например,

а)

б) .

Умножение и деление рациональных чисел

1. Произведение (частное) чисел одного знака будет положительным числом.

Например,

а)

б) .

2. Произведение (частное) двух чисел с разными знаками будет отрицательным числом.

Например,

а)

б) .

Свойства умножения

Для любых рациональных чисел a, b и c справедливы равенства:

1. действия с нулем и единицей:

2. переместительное свойство:

3. сочетательное свойство:

4. распределительное свойство: .

Например,

а)

б)

в) .

Свойства деления

Действия с нулем и единицей:

Проверь себя

1. Вычислите наиболее удобным способом:

А)

Б)

В)

2. Вычислите:

3. Вычислите:

а)

б)

Повторение свойств степени. Стандартный вид числа

Теория

Множество целых чисел Z – это множество, состоящее из натуральных чисел, нуля и чисел, противоположных натуральным. Поэтому понятие степени aⁿ (n∈N) можно расширить, если рассмотреть случаи, когда n – целое отрицательное число и n=0.

Например,

а)

б) ;

в) .

Свойства степени

Свойство	Пример

Стандартный вид числа

Объекты окружающего мира различны: они бесконечно малы, как элементарные частицы, или бесконечно велики, как звезды. Указывать размеры этих объектов проще всего в виде чисел, записанных в стандартном виде.

Например, известное число Авогадро равно ; количество молекул в 1 г воды равно ; масса одной молекулы воды равна г.

Эти числа записаны в стандартном виде.

Стандартный вид числа – это запись в виде , где 1 < a < 10, n – целое число. Число n – порядок числа.

Например, объем Земли равен км³, ее масса – кг.

Например, представить в стандартном виде числа: а) 3 900 000 000; б) 0,00000000039.

Решение:

а) Число в стандартном виде имеет вид , где а должно быть в пределах от 1 до 10, поэтому запятую, которая условно находится в конце числа, перенесем на 9 знаков влево и, чтобы число осталось неизменным, умножить его на 10⁹: .

б) Аналогично .

Пример 2. Мировым океаном занято 361 100 000 км² поверхности Земли. Выразить это число в стандартном виде.

Решение:

.

Проверь себя

1. Вычислите:

а)

б)

в)

г) .

2. Представьте число в стандартном виде:

а) 12

б) 0,1

в) 1257

г) 0,0003

д) 95 864 777

е) 0,0000001247.

Понятие квадратного корня из числа

Теория

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

Например, квадратными корнями из числа 16 являются числа 4 и –4, поскольку 4² = 16 и (–4)² = 16.

Из отрицательного числа квадратного корня не существует. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Например, арифметическим квадратным корнем из числа 36 является число 6. Для обозначения квадратного корня используют знак

Запись читают так: «Арифметический квадратный корень из a» или просто: «Квадратный корень из a», а число a называют подкоренным выражением.

Процесс, с помощью которого находят квадратный корень, называется извлечение квадратного корня.

Формулу, квадратного корня можно записать:

Следовательно,

Например,

Свойства арифметического квадратного корня

1. из произведения двух неотрицательных действительных чисел a и b, задающееся равенством вида , его можно распространить на произведение k неотрицательных множителей .

Например,

2. корень из частного , которое часто записывают с помощью дробей как ;

Например, .

3. Степень числа a с четным показателем при любом действительном a, в частности, свойство квадратного корня из квадрата числа .

Например,

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

1. Простые преобразования:

   1. 

Например,

2. 

Например,

3. 

Например,

4. 

Например,

2. Вынесение множителя из–под знака корня.

Например,

3. Внесение множителя под знак корня.

Например,

4. Освобождение от иррациональности в числителе дроби.

Например,

5. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Например,

Проверь себя

1. Упростите выражение:

а)

б)

в)

г)

д)

е) .

2. Разложите на множители:

3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

а)

б)

в)

г) .

4. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

Корень третьей степени

Теория

Корень третьей степени из числа а – это число, третья степень которого равна а.

Корень третьей степени часто называют кубическим корнем из числа и обозначают .

Кубический корень определен из любого действительного числа, причем

Например,

Значит

Например,

Кубическим корнем из числа a называется число, куб которого равен a.

Процесс нахождения кубического корня, называется извлечением кубического корня.

Кубический корень обладает теми же свойствами, что и квадратный.

1. 

Например,

2. 

Например,

3. 

Например,

Преобразование выражений, содержащих кубические корни, аналогичны преобразованиям выражений с квадратными корнями.

1. Простейшие преобразования.

   1. 

Например,

2. 

Например,

3. 

Например,

4. 

Например,

5. 

1. Вынесение множителя из–под знака корня

Например,

3. Внесение множителя под знак корня

Например,

4. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби

Например,

Проверь себя

1. Вычислите:

2. Вычислите: .

3. Извлечь кубический корень:

а) 21952

б) 54852

в) 571787

г) 614125.

4. Избавьтесь от иррациональности:

Нахождение приближенного значения корня 

Теория

На практике часто приходится вычислять квадратные корни из различных чисел. Сейчас это можно сделать на калькуляторе или с помощью компьютера. Мы же рассмотрим способ, как вычислить квадратный корень из любого числа с необходимой точностью, не используя при этом компьютер или калькулятор.

Для нахождения корня мы воспользуемся методом перебора.

Например, вычислим с точностью до тысячных(0,001).

В первую очередь определим, целую часть результата. Для этого нужно определить промежуток целых чисел, между которыми лежит ответ.

Т.к. Аналогично . Получаем, .

Определим цифру десятых. Для этого будем дроби от единицы до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее трех. Шаг деления возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых. Другими словами будем возводить в квадрат числа: 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Получи число превышающее тройку, остальные числа уже не надо возводить в квадрат. Число 2,89 меньше 3, а 3,24 уже больше, то число должно принадлежать промежутку от 1,7 до 1,8 ( ). Следовательно, десятичная запись числа в разряде десятых должна содержать 7. .

Иначе говоря, это число большее 1,7, но не превышающее 1,8.

Далее ищем цифру сотых, точно таким же образом. Возводим в квадрат числа от 1,71 до 1,79, с шагом 0,01, пока не получим число большее трех.

1. 

2. 

3. 

4. 

Уже при 1,74 получаем, что его квадрат больше трех, далее возводить в квадрат числа не имеет смысла.

Из этого получаем, что число будет принадлежать промежутку от 1,73 до 1,74 ( ).

Аналогично определим тысячные.

1. .

2. .

3. .

Так как нам необходимо записать с точностью до трех знаков после запятой, то мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления. . Это и будет ответом. Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.

Как уже и говорилось выше, данный прием позволяет извлекать корень с любой заданной наперед точностью.

Проверь себя

1. Вычислите с точностью до целых:

а)

б)

в)

г)

д)

е) .

2. Вычислите с точностью до тысячных:

а)

б)

в)

г)

д)

е) .

Запись корней через степень с дробным показателем

Теория

Если а – положительное число, – дробное число, где m – целое число, n – натуральное число, то:

Частные случаи:

1. 

2. 

3. 

Например,

Свойства степени с рациональным показателем

Свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем.

Если a > 0, то для любых рациональных чисел m и n верны равенства:

1. 

Например,

2. 

Например,

3. 

Например,

4. 

Например,

Например,

Например,

Возведение в рациональную степень числового неравенства

Если левая и правая части числового неравенства положительны, то его можно возводить в рациональную степень.

Если r > 0 и a > b > 0, то a^r > b^r.

Если r < 0 и a > b > 0, то a^r < b^r.

Проверь себя

1. Вычислите:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Упростить выражение:

а)

б)

в)

г)

д)

Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби

Теория

Рациональное число – это число, которое можно представить в виде дроби вида , где m – целое число, n – натуральное.

Например, .

Любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной периодической дроби.

Например, .

Такие десятичные дроби называют периодическими, а повторяющиеся цифры – периодом.

– нуль целых, три в периоде;

– нуль целых, нуль девять в периоде.

Числа, которые не являются рациональными, т. е. не являются ни целыми, ни представленными в виде дроби вида , где m – целое число, а n – натуральное, называются иррациональными числами.

Примерами иррациональных чисел являются числа:

1) .

2) .

3) .

и т.д.

Вообще, если натуральное число n не является полным квадратом, то числа и являются иррациональными.

Иррациональным является также число π = 3,14159..., которое выражает отношение длины окружности к диаметру.

Все иррациональные и рациональные числа образуют множество действительных чисел. Его обозначают R.

Каждое натуральное число является целым, поэтому множество натуральных чисел – это часть множества целых чисел, т. е. множество N – подмножество целых чисел Z (пишется Z∈N).

Аналогично Z ∈ Q, Q ∈R (множество целых чисел – подмножество рациональных, множество рациональных – подмножество действительных).

Сравнение действительных чисел

Любые два действительных числа можно сравнить.

Два иррациональных числа можно сравнить, воспользовавшись правилом возведения в рациональную степень числового неравенства.

Если r > 0 и a > b > 0, то a^r > b^r; если r < 0 и a > b > 0, то a^r < b^r.

Например, сравним:

а) ;

б)

Решение.

а)

.

б) .

Сравнить два действительных числа, записанных в виде бесконечных десятичных дробей, можно так же, как и конечные десятичные дроби. Сначала сравниваем целые, потом десятые, затем сотые и т.д.

Например, сравним 3,1256… и 3,1245…

Числа имеют одинаковые целые части, одно число десятых и сотых, а вот тысячные отличаются:

5>4 => 3,1256… > 3,1245… .

Отрицательные действительные числа сравнивают по правилу сравнения отрицательных рациональных чисел:

–7,9193. > –7,9204.

Проверь себя

1. Приведите примеры иррациональных чисел.

2. Докажите, что

а) число √7;

в) число √2 + 3√3;

является иррациональным.

3. Докажите, что существуют положительные иррациональные числа a и b, для которых число a^b является натуральным.

4. Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

5. Докажите, что число:

является иррациональным.

6. Значение какого из выражений является числом иррациональным.

а)

б)

в)

г)

7. Какие из данных чисел ; ; являются рациональными?

а)

б)

в)

г) ни одно из этих чисел.

8. Сравните:

а) и

б)

в) и

г) .

9. Сравните:

а) 3,(125) и 4,(125)

б) 3,257(3) и 3,257(3)

в) 3,257(3) и 3,257(4)

г) -7,846… и -7,845…

Координатная прямая. Изображение чисел точками координатной прямой

Возьмем обычную прямую. Назовем ее прямая x.

Выберем на этой прямой точку отсчета O, а также стрелкой укажем положительное направление этой прямой.

Таким образом, справа от точки O у нас будут положительные числа, а слева – отрицательные. Выберем масштаб, то есть размер отрезка прямой, равный единице. У нас получилась координатная прямая.

Каждому числу соответствует определенная единственная точка на этой прямой. Причем это число называют координатой этой точки. Поэтому прямая и называется координатной. А точка отсчета O называется началом координат.

Например, точка A находится на расстоянии 2 правее начала координат. Точка B находится на расстоянии 4 левее начала координат. Соответственно точка A имеет координату 2, а точка B координату –4. Сама точка O, будучи точкой отсчета, имеет координату 0 (нуль). Записывается это обычно так: O(0), A(2), B(–4). А чтобы постоянно не говорить «точка А с координатой такой–то», говорят проще: «точка 0, точка 2, точка –4». А саму точку при этом достаточно обозначить ее координатой.

Зная координаты двух точек координатной прямой, мы всегда можем вычислить расстояние между ними. Допустим, у нас две точки A и B с координатами a и b соответственно. Тогда расстояние между ними будет |a – b|. Запись |a – b| читается как «a минус b по модулю» или «модуль разности чисел a и b».

Проверь себя

1. Изобразите на координатной прямой точки:

а) A(0)

б) B(3)

в) C(-4)

г) D(7).

2. Изобразите на координатной прямой заданные точки и найдите расстояние между ними:

а) A(5) и B(8), AB=?

б) C(4) и D(4), CD=?

в) E(3) и F(-3), EF=?

г)BF=?

Геометрический смысл модуля

Теория

Модуль числа – это расстояние от нуля до данного числа.

Например, |–5| = 5. То есть расстояние от точки –5 до нуля равно 5.

Например, рассмотрим уравнения и неравенства:

а) ;

б)

в)

г)

Решение.

а) ; мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и –3. Значит, у уравнения есть два решения: и .

б)

в)

Можно прочитать как: расстояние от точки x до точки –7 меньше четырёх. Ответ: (–11; –3).

г)

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи.

Ответ: .

График функции

Для имеем . Для имеем .

Проверь себя

Изобразите на координатной прямой:

а) ;

б)

в)

г)

Изобразите график функции:

а)

б)

в)

г) .

Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч.

Теория

Когда говорят про числовую прямую нельзя не назвать виды числовых промежутков.

Открытый луч

Допустим у нас два числа a и b. Причем b > a (b больше a). На координатной прямой это означает, что точка b находится правее точки a. Заменим в нашем неравенстве b на переменную x. То есть x > a. Тогда x – это все числа, которые больше числа a. На координатной прямой это соответственно все точки правее точки a. Эта часть линии заштрихована. Такое множество точек называют открытым лучом, а данный числовой промежуток обозначают (a; +∞), где знак +∞ читается как «плюс бесконечность». Обратите внимание, что сама точка a не входит в данный промежуток и обозначается светлым кружком.

Замкнутый луч

Рассмотрим также случай, когда x ≥ a. Тогда x – это все числа, которые больше или равны a. На координатной прямой это все точки правее а, а также сама точка a (на рис. точка a уже обозначается темным кружком). Такое множество точек называют замкнутым лучом (или просто лучом), а данный числовой промежуток обозначают [a; +∞). Обратите внимание, что мы использовали квадратную скобку, что означает, что a принадлежит данному промежутку.

Интервал

Теперь возьмем двойное строгое неравенство a < x < b. Здесь x – это все числа, которые больше a, а также меньше b. На координатной прямой это все точки между точками a и b. Такое множество точек называют интервалом, а данный числовой промежуток обозначают (a; b).

Полуинтервал

Немного видоизменим наше неравенство a ≤ x < b. Здесь x – это все числа, которые больше или равны a, а также меньше b. На координатной прямой это все точки между точками a и b а также еще точка a. Такое множество точек называют полуинтервалом, а данный числовой промежуток обозначают [a; b).

Отрезок

Наконец возьмем двойное нестрогое неравенство a ≤ x ≤ b. Здесь x – это все числа, которые больше или равны a, а также меньше или равны b. На координатной прямой это все точки между точками a и b, а также сами точки a и b. Такое множество точек называют отрезком, а данный числовой промежуток обозначают [a; b].

Проверь себя

1. Изобразите числовой промежуток и определите его вид:

а) x < 4

б) x > -2

в) x ≥ 5

г) x ≤ 1

д) 1 < x < 3

е) 1 ≤ x < 3

ж) 1 ≤ x ≤ 3.

Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости

Теория

Длина

Основная единица измерения длины – 1 м. Длина измеряется в сантиметрах (см), метрах (м), миллиметрах (мм), километрах (км), дециметрах (дм).

Например, представьте в дециметрах.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Площадь

Основная единица измерения площади – 1 м². Также площадь измеряют в миллиметрах квадратных (мм²), сантиметрах квадратных (см²), метрах квадратных (м²), километрах квадратных (км²). Земельные участки принято так же измерять гектарами (га) и арами (а).

Например, представим в сантиметрах квадратных:

а) ;

б)

в) ;

г) ;

д)

Объём

Основная единица измерения объема – метр кубический (м³). Кроме того, объем измеряют в миллиметрах кубических (мм³), сантиметрах кубических (см³), километрах кубических (км³), для измерения объема жидкостей применяют литр = 1 дм³, декалитр и гектолитр.

Например, переведем в кубические сантиметры:

а)

б)

в)

г)

Масса

Основной единицей измерения массы является грамм (г) , однако масса может измеряться и в килограммах (кг) , миллиграммах (мг) , центнерах (ц) и тоннах (т).

Например, представьте в граммах:

а)

б)

в)

г)

д)

Время

Основной единицей измерения времени является секунда (с). Также единицами измерения времени являются минута, час, сутки, неделя, месяц, год; век, тысячелетие.

Например, выразим в секундах:

а)

б)

Выразим в минутах:

а)

б)

Выразим в часах:

а)

б)

Скорость

Для измерения скорости используют метры в секунду (м/с), километры в час (км/ч), реже километры в секунду (км/с).

Для перевода км/ч в м/с и обратно следует помнить, что 1 км = 1000 м и 1 ч = 60 с.

Например, переведем: а) 144 км/ч в м/с; б) 15м/с в км/ч.

а)

б)

Задания:

1. Переведите:

а) 25кг в г

б) 3ц в кг

в) 5т в кг

г) 2кг в мг.

2. Переведите:

а)5 км в см

б)2 км в дм

в)30 м в мм

г) 8мм в км.

3. Переведите:

а) 30мм² в см²

б)1,5га в а

в) 3га в км²

г) 5км² в мм²

4. Перевести:

а)10 м³ в мм³

б)25 см³ в м³

в) 2,5л в см³

г) 25 мл в м³.

5. Перевести:

а) 20 мин в часы

б) 36 часов в сутки

в) 365 суток в секунды

г) 13суток 5часов 12,5минут 12секунды в секунды.

6. Перевести:

а)90км/ч в м/с

б)13м/с в км/ч

в)7,9км/с в км/ч

г)56миль/ч в м/с (1миля=1609м).

Представление зависимости между величинами в виде формул

Теория

Запись какого–либо правила с помощью букв, цифр и математических знаков называют формулой.

Например, запишем правило нахождения пути по скорости и времени движения в буквенном виде.

Пусть s – путь, пройденный телом, скорость обозначим v, время – t. Получим формулу: s = vt – это формула пути.

Примеры формул:

P = 4а – формула вычисления периметра квадрата P, если его сторона равна а; S = а² – формула нахождения площади квадрата S, если его сторона равна а;

C = pm – формула вычисления стоимости товара C, если приобретается m килограммов товара по p рублей за килограмм.

Вычисления по формулам

Самым простым вариантом является случай, когда данные просто можно подставить в формулу и получить ответ.

Например, сторона квадрата равна 25 см. Чему равен периметр и площадь квадрата?

;

;

;

;

.

Ответ: 100 см и 625см².

Но так бывает не всегда. Не редко из известной формулы нужно вывести какую–либо величину.

Например, найдите высоту треугольника, если площадь треугольника равна 15см², а основание, к которому проведена высота 5 см.

Решение.

– формула площади треугольника;

;

;

.

Ответ: 6см.

Так же нередко бывает, что нужно вывести величину из нескольких формул.

Например, найдите неизвестную сторону треугольника, если две стороны равны соответственно равны 4 и 5 см, площадь треугольника равна 6 см², а радиус вписанной окружности 1см.

– формула полупериметра;

– формула связи площади, полупериметра и радиуса вписанной окружности;

.

;

;

;

.

Ответ: 3см.

Проверь себя

1. Выведите q:

.

.

2. Периметр квадрата 16см. Чему равна площадь квадрата?

3. Выразите t₁:

Q=m₁c₁(t₁-t₂)

Q=m₂c₂(t₁-t₃).

4. Найдите основание треугольника если площадь треугольника 12см², а высота 6см.

5. Найдите неизвестный катет прямоугольного треугольника если две оставшееся стороны 15см и 12 см.

6. Выразите из формулы Q=mc(t₁-t₂) m, с, t₁ и t₂.

7. Выразите k, T и m₀ из формулы:

Проценты

Теория

Процент – это одна сотая часть числа.

Обозначается знаком «%».

Чтобы записать проценты в виде десятичной дроби или натурального числа, нужно число, которое стоит перед знаком %, поделить на 100.

Например, переведем проценты в части:

а)

б)

в)

г) .

Чтобы выразить число в процентах, его нужно умножить на 100 %.

Например, переведем части в проценты:

а) б) .

Связь между процентами и дробями

В процентах	В частях	Словами
100%	1	Целое
50%		Половина
75%		Три четверти
20%		Пятая часть
25%		Четверть
40%		Две пятых

Увеличить что–либо вдвое – то же самое, что увеличить на 100%.

Уменьшить что–либо вдвое – то же самое, что уменьшить на 50%.

Нахождение процента от величины

Чтобы найти проценты от величины, нужно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Пример. Сахарная свекла содержит 14 % сахара. Сколько сахара можно получить из 300 кг свеклы?

1 способ.

1) – одна сотая часть от 300 кг (1%);

2) – 14 сотых от 300 кг(14%).

2 способ.

– перевод процентов в части;

2) .

Ответ: 42 кг.

Нахождение величины по ее проценту

Чтобы найти величину по ее процентам, нужно представить проценты в виде дроби и разделить значение на эту дробь.

Пример. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 25% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?

Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 25% в виде дроби:

25%= 0,25.

Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого:

(задач).

Ответ: 152 задачи.

Более сложные задачи

Пример. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 9,5 % годовых. Вкладчик положил на счет 25 000 рублей. Сколько рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом производиться не будет?

Решение. Если банк начисляет на срочный вклад 9,5 % годовых, то в конце года вкладчик получит не 100 % своего вклада, а 100 + 9,5 = 109,5% своего вклада.

1. – перевод процентов в части;

2. 

Ответ: 27 375 рублей.

Проверь себя

1. Переведите проценты в части:

а)25%

б)30%

в)31%

г)120%.

2. Сырок стоил 50 рублей. Его стоимость увеличили на 100%. Какая у него теперь стоимость?

3. В крупной компании было 150 сотрудников. Прошло сокращение и штат уменьшился на 50%. Сколько сотрудников осталось?

4. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

5. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

6. Пачка сливочного масла стоит 60 рублей. Пенсионерам магазин делает скидку 5%. Сколько рублей заплатит пенсионер за пачку масла?

7. Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

8. Только 94% из 27500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу В1?

9. Тетрадь стоит 14 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за 80 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

10. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

11. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

12. В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

13. 27 выпускников школы собираются учиться в технических вузах. Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

14. Призерами городской олимпиады по математике стало 28 учеников, что составило 20% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

15. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

16. Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

17. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых жителей 45 % не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

18. В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

19. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

20. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

21. Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

22. Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?

23. Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

Отношения и пропорции

Теория

Отношение, выражение отношения в процентах

Частное двух чисел называют отношением.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

Например. У Пети было 1 500 рублей, за конфеты он отдал 245 рублей. Какую часть от всей суммы потратил Петя?

Найдем отношение:

Ответ: всей суммы.

Отношение, так же как и дробь, не изменится если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число не равное нулю.

Это правило называют основным свойством отношения.

Например, заменим отношение отношением натуральных чисел.

.

Процентное отношение двух чисел – это их отношение, выраженное в процентах.

Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Например, в одном классе учатся 15 девочек и 20 мальчиков.

Процентное отношение количества девочек к количеству мальчиков:

.

Это число показывает, что количество девочек составляет 75 % от количества мальчиков.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно их отношение умножить на 100 и к результату приписать знак процента.

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Записывают: или .

Читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, так же как c к d».

В пропорции или числа a и d – крайние члены, b и c – средние члены пропорции.

Например, в пропорции числа 36 и 3 крайние члены, а 9 и 12 средние члены.

В верной пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Верно и обратное утверждение, которое называется основным свойством пропорции:

Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то пропорция верна.

Пропорция верна, поскольку: .

Если в верной пропорции поменять местами средние или крайние члены, то получившиеся пропорции также будут верны.

Например, из уже нам известной пропорции, – верной пропорции, получим и , тоже верные пропорции.

Основные типы задач, которые решаются с помощью пропорций

1. Нахождение неизвестного члена пропорции.

Например, решите уравнение: .

Используем основное свойство пропорции и приравняем произведения средних и крайних членов пропорции:

Ответ: .

2. Составление пропорции и нахождение неизвестного элемента.

Например, за 7 ч в бассейн налилось 224 л воды. За какое время в него нальется 288 л воды?

Пусть x – время, за которое в бассейн нальется 288 л воды.

Объём воды, л		Время заполнения, ч
224	–	7
288	–	х

Отношения равны, поскольку показывают скорость поступления воды в бассейн.

Ответ: 9 часов.

3. Нахождение процентов от числа.

Например, в классе учатся 24 человека. Девочки составляют 25% от общего количества учащихся. Сколько девочек учится в классе?

x – обозначим количество девочек.

Ученики, чел.		Процент, %
24	–	100
х	–	25

Отношения равны, поскольку каждое составляет 100%.

Ответ: 6 человек.

4. Нахождение числа по его проценту.

Например, за первый час автомобиль проехал 70 км, что составило 14 % всего пути. Сколько километров составляет весь путь?

Пусть x – это весь путь.

Расстояние, км		Процент, %
70	–	14
х	–	100

Ответ:500 км.

5. Нахождение процентного отношения.

Например, в 85 кг железной руды содержится 51 кг железа. Сколько процентов железа содержится в железной руде?

Пусть x – процентное содержание железа в руде.

Масса, кг		Процент, %
85	–	100
51	–	x

Ответ: 60 %.

6. Задачи на нахождение расстояний с помощью масштаба.

Например, расстояние между двумя городами на карте составляет 17 см. Найти расстояние между этими городами на местности, если масштаб карты – 1 : 300 000.

Масштаб 1 : 300 000 означает, что одному сантиметру на карте соответствует 300 000 см на местности.

На карте, см		На местности, см
1	–	300 000
17	–	x

Ответ: 51 км.

Задания

1. Масса печенья 15 кг, а масса упаковки 600 г. Найдите отношение массы печенья к массе упаковки.

2. Первоначальная цена платья составляла 3200 руб. На распродаже на него выставили цену 2400 руб. Найдем скидку на платье, выраженную в процентах.

3. Площадь заповедника была увеличена с 250км² до 350км². На сколько процентов увеличилась площадь заповедника?

4. В течение года цены на штрудели два раза поднимали на 50%, а перед Новым Годом их стали продавать за полцены.

5. Сколько стоит сейчас один штрудель, если в начале года он стоил 80 рублей?

6. Перед началом Олимпиады хоккейные шайбы подорожали на 10%, а после окончания Олимпиады подешевели на 10%.

Когда шайбы стоили дороже – до подорожания или после удешевления?

7. Папа, мама и сын поехали навестить бабушку. Общее расстояние, которое им надо проехать 1300 километров. Через 325 км они остановились перекусить в придорожном кафе. Какую часть пути им осталось проехать?

8. В компьютерной игре Сталкер 3 карты. На каждой карте 70 заданий. Мальчик выполнил 147 заданий. Какую часть игры он прошел?

9. Общий объём флэшки составляет 2 гигабайта. (1 гигабайт = 1024 мегабайт) На неё уже записали 204,8 мегабайт информации. Какая часть флэшки еще остается свободной?

10. На дачном участке 12 яблонь. Средством от вредителей обработали 4 дерева. Какая часть деревьев обработана?

11. В книге 325 страниц. Прочитано 75 страниц. Какую часть книги осталось прочитать?

12. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

13. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

14. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

15. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

16. Пользуясь картой масштабом 1:12 250 000, найдите расстояние (по прямой) между Москвой и Санкт-Петербургом на местности, если расстояние на карте между ними 5,9 см.

17. Карта имеет масштаб 1\200000.Какую длину имеет прямое шоссе между двумя населенными пунктами, если его длина на карте равна 3,2 см?

18. Расстояние между городами 1300 км. Какой длины получится отрезок, соединяющий их на карте, если масштаб карты: а)1:20000000; б)1:50000000?

19. Определите масштаб карты, если расстояние между населенными пунктами А и Б равно 1308 км, а на карте 65,4 см.

20. Найдите неизвестный член пропорции:

а)

б)

в)

г)

д)

Прямая и обратно пропорциональная зависимость

Теория

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Например, чтобы выпечь 600 кг хлеба, необходимо 435 кг муки. Сколько необходимо муки, чтобы испечь 1600 кг хлеба того же сорта?

Пусть x – необходимое количество муки.

Мука, кг		Хлеб, кг
435	–	600
x	–	1600

Ответ: 1 160 кг.

Масса хлеба прямо пропорционально зависит от массы муку, т.е. чем больше возьмём муку, тем больше получим хлеба.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Например, для перевозки груза необходимо 20 самосвалов грузоподъемностью 3,6 т. Сколько потребуется самосвалов грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевести этот груз?

Пусть для перевозки груза потребуется x самосвалов грузоподъемностью 4,5 т. Количество самосвалов и грузоподъемность являются величинами обратно пропорциональными, поскольку при увеличении в несколько раз грузоподъемности самосвала количество машин для перевозки одного и того же груза уменьшится в то же самое количество раз.

Количество самосвалов, шт		Грузоподъёмность, т
20	–	3,6
x	–	4,5

Ответ:16 штук.

Проверь себя

1. За некоторое время велосипедист проехал 5 км со скоростью 10 км/ч. Какое расстояние он проедет за то же время, увеличив свою скорость в полтора раза?

2. На некотором участке газопровода трубы длинной 4 м заменили на трубы длинной 5 м. Сколько нужно новых труб для замены 100 старых?

3. За 3 часа машина проехала 321 километр. Сколько она проедет за 8 часов, если будет двигаться с той же скоростью?

4. В саду 276 яблонь. С первых 100 яблонь собрали 500 ящиков яблок. Сколько ящиков яблок будет собрано со всего сада, если допустить, что на каждой яблоне одинаковое количество яблок?

5. Папа с мамой выехали на дачу на машине средняя скорость, которой 75 км/ч. А их сын с друзьями выехали на велосипеде со скоростью 15 км/ч. Родители приехали через 1 ч. Сколько времени потребуется мальчишкам, чтобы добраться до дачи?

6. Средняя скорость самолета 500 км/ч, а машины 80. Сколько времени потребуется машине, чтобы проехать путь, на который самолет потратит 4 часа.

7. За два с половиной часа рабочий обрабатывает 20 деталей. Сколько деталей он обработает за смену 8 часов?

8. На стройке за 2 дня забили в землю 25 свай. Сколько свай будет забито за 6 дней, если рабочие будут работать с прежней производительностью?

9. За 5 дней 3 маляра окрашивают 60 окон. За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

10. Три компаньона вложили в организацию предприятия соответственно 280, 320 и 360 долларов. Прибыль, которую они получили, составила 2400 долларов. Сколько денег из прибыли получить каждый компаньон, если прибыль распределяется пропорционально вкладу каждого?

11. Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найти стороны треугольника, если АВ относится к ВС как 3 : 4, а ВС относится к АС как 2 : 3.

12. Легковой автомобиль, расходующий 5,5 л топлива на 100 км, проехал 255 км. Какое расстояние проедет грузовик , расходующий 7,5 л на 100 км, на том же количестве бензина?

13. 14 рабочих выполняют определенный объем работ за 6 часов. За сколько часов справится с этой же работой 21 работник, при той же производительности труда?

14. Три насоса откачивают воду из бассейна за 3 ч 20 мин. За какое время откачивают воду из бассейна 2 таких насоса?

Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений

Теория

Замена числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называется округлением этого числа до целых.

Например, если масса рыбы составляет 3,7 кг, то приближенно она равна 4 кг, т. е. мы заменили значение ближайшим натуральным числом.

Аналогично можно дать определение округления до десятых, сотых, десят­ков, сотен и т. д.

Например, 3,8≈4 – округление до целых,

284≈300 – округление до сотен,

0,124≈0,1 – округление до десятых.

Если число округляют до какого–либо разряда, то все последующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой – отбра­сывают.

Округление обозначается символом ≈.

Правила округления.

Правило 1. Если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.

Например, округлим до десятков число 155, т.к. последняя цифра 5, стоящая перед единицами увеличивается на единицу. 155≈160.

Правило 2. Если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменений.

Например, округлим до сотых число 3 512. Количество десятков равняется 1, следовательно, число сотен, при данном округлении, изменяться не будет. 3 512≈3500.

При выполнении вычислений с реальными данными результат часто получается неточный, округленный, поэтому важно выполнить оценку результатов вычислений, т. е. оценить погрешность вычисления, т. е. модуль разности между точным и приближенным значением.

Модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближения.

То есть если а – приближенное значение величины, а x – точное, то абсолютная погрешность равна |x–a|.

Абсолютная погрешность обозначается буквой Δ (дельта) .

Например, дробь заменили приближенным значением 0,71. Найти абсолютную погрешность данного приближения.

Не всегда можно найти точное значение измеряемой величины, но можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближение с избытком и с недостатком. То есть найти промежуток в котором будет лежать ответ.

Если а – приближенное значение числа x и |x – а| ≤ h, то говорят, что число x равно числу а с точностью до h:

x = а ± h.

Например, x=5,15±0,01. Значит х равен 5,15 с точностью до 0,01.

5,15–0,01≤ х ≤5,15+0,01

5,14≤ х ≤5,16.

Значит, число х лежит в промежутке большим, чем 5,14, но меньшим чем 5,16. Числа же 5,14 и 5,16 являются приближенными значениями числа с недостатком и с избытком соответственно.

Относительной погрешностью называют частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближенного значения величины, умноженное на 100 %.

Относительная погрешность обозначается буквой δ (дельта) .

Например, определенны массы Солнца и арбуза. Масса Солнца (1,99±0,01)·10³⁰ кг, а масса арбуза (5±0,01) кг. Какое измерение более точное?

1. Относительная погрешность массы Солнца

2. Относительная погрешность массы арбуза

Т.к. погрешность измерения массы арбуза меньше, следовательно масса арбуза измерена точнее.

Задачи на округления с избытком и недостатком

Есть задачи где точный ответ получить недостаточно, его обязательно нужно округлить в большую или меньшую сторону.

Например, грузовик массой 10 200 кг нужно переправить по средством плота. Каждое бревно может держать на плаву 2000 кг. Сколько потребуется бревен?

Количество бревен найдем делением массы грузовика на массу которую может перевозить одно бревно.

Понятно что 0,1 бревна быть не может. По правилам округления мы должны округлить в меньшую сторону. Но тогда получится что на каждое бревно будет приходится 2 040 кг, а максимально может приходится 2 000 кг. Следовательно переправа не удастся, а грузовик затонет. Поэтому здесь нужно округлять всегда в большую сторону.

Ответ: 6 бревен.

Это задачи на округление с избытком. Задачи, где нужно округлять всегда в меньшую сторону называются на округление с недостатком.

Например, сырок стоит 6 рублей 60 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 80 рублей?

Если 80 рублей разделим на 6 рублей 60 копеек – получим количество сырков, которое можно купить на 80 рублей.

Понятно, что часть сырка в магазине не продадут. Нам хватает на 12 целых сырков, значит, округляем в меньшую сторону.

Ответ: 12 сырков.

В некоторых задачах практического содержания нет необходимости находить относительную или абсолютную погрешность, а достаточно просто выполнить прикидку и оценку результатов.

Например, в таблице приведены результаты по бегу на дистанции 30 м для уча­щихся 9 класса. Оценить результат:

а) девочки, пробежавшей дистанцию за 5,23 с;

б) мальчика, пробежавшего дистанцию за 5,12 с;

в) девочки, пробежавшей дистанцию за 5,98 с.

	Мальчики			Девочки
Оценка	«5»	«4»	«3»	«5»	«4»	«3»
Время, с	4,6	4,9	5,3	5,0	5,5	5,9

Решение:

а) Девочка пробежала дистанцию за 5,23 с, что находится в интервале 5,0 < 5,23 < 5,5, т. е. медленнее, чем требуется на оценку «5», но быстрее, чем на оценку «4», значит оценка «4».

б) Аналогично мальчик, пробежавший дистанцию за 5,12 с, получит оценку «3», поскольку 4,9 < 5,12 < 5,3.

в) Девочка, пробежавшая дистанцию за 5,98 с, норматив не выполнила, по­скольку 5,98 > 5,9.

Ответ: а) оценка «4»; б) оценка «3»; в) норматив не выполнен.

Проверь себя

1. Округлите до:

а) целых: 1,2; 3,5; 5,8; 1,01; 6.

б) тысяч: 12 550; 3 001; 328.

в) сотых: 0,557; 0,345; 0,5.

2. Дана дробь . Перевести в десятичную дробь, округлить до сотых. Найти абсолютную и относительную погрешности.

3. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 60 рублей за штуку. У Вани есть 400 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

4. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 16 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

5. В таблице приведены результаты по бегу на дистанции 30 м для уча­щихся 9 класса. Какую оценку получит мальчик если он пробежал за 4,93 с.

	Мальчики			Девочки
Оценка	«5»	«4»	«3»		«5»	«4»	«3»
Время, с	4,6	4,9	5,3		5,0	5,5	5,9

6. Округлите:

а) 23,88 до десятков

б) 19,235 до сотых

в) 2345 до сотен

г) 7,3478 до тысячных

д) 920,27 до десятых

е) 3 781 544 до тысяч

ж) 39,6272 до сотых

з) 451,923 до целых.

7. Округлите:

а) 95,1 до десятков

б) 24,295 до сотых

в)7971 до сотен

г)1,9998 до тысячных

д) 379,97 до десятых

е) 1 229 911 до тысяч

ж) 73,1972 до сотых

з) 999,923 до целых.

8. Округлите:

а) 299,78 до десятков

б) 79,9973 до сотых

в) 29 969 до сотен

г) 75,6998 до тысячных

д) 290,97 до десятых

е) 5 899 529 до тысяч

ж) 99,9952 до сотых

з) 8999,513 до целых.

9. Округлите:

а) 528,19 до десятков

б) 44,444 до сотых

в) 5555 до сотен

г) 7,7777 до тысячных

д) 1038,888 до десятых

е) 5 769 769 до тысяч

ж) 238,6777 до сотых

з) 293,923 до целых.

10. Длина отрезка равна 6,47. Укажите приближенное значение с избытком для длины этого отрезка.

11. На рынке купили 4,13 кг яблок, 1,3 кг груш и 2,82 кг слив. Сколько килограмм фруктов купили на рынке? Ответ округлите до десятых.

12. Длина прямоугольника равна 4,3 см, а его ширина – 6,01 см. Укажите приближенное значение с недостатком для периметра этого прямоугольника.

13. Сторона квадрата равна х см. Укажите приближенное значение с недостатком и с избытком для площади S квадрата, если 2 < x < 3.

14. На предприятии 1284 рабочих и служащих. Определите абсолютную погрешность если число рабочих округлить до: а)тысяч; б)сотен; в)десятков.

15. В школе 197 учащихся. Определите абсолютную и относительную погрешность при округлении числа учащихся до десятков.

16. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?

17. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05%?

18. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 60 рублей за штуку. У Вани есть 400 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

19. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 1-3 курсов, по 410 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 8 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

20. Длина прямоугольника x см, а его ширина y см. Укажите приближенные значения с недостатком и с избытком для периметра и для площади этого прямоугольника, если: а)7<x<8, 3<y<4; б)20<x<25, 16<y<18.

21. Одна деталь имеет массу 13,25кг, вторая 14,43, третья 1,66 кг, а четвертая 15,875 кг. Найдите общую массу этих четырех деталей и округлите результат до десятых долей килограмма. Сравните ответ с результатом, полученным, если сначала округлить данные задачи до десятых долей, а потом ее решить.

22. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

23. Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. В каком из этих случаев относительная погрешность больше и во сколько раз?

Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения

Теория

Числовое выражение – это некоторая математическая запись, которая содержит в себе только числа, знаки действий и скобки.

Например, запись (8+9)^2 + 74 является числовым выражением.

Аналогичным образом вводят понятие буквенных выражений. По смыслу это то же самое, однако помимо чисел в выражение добавляются множители или слагаемые, содержащие переменные (одночлены).

Например, записи (x+2y)^3 + ab; xy + 74 являются буквенными выражениями.

Если в буквенное выражение подставить заданные значения, получим числовое выражение.

Пример 1.

Записать в виде буквенного выражения:

а) произведение чисел a и b

б) сумму 3xy и 2bc

в) разность квадратов a и 3mn

Ответ: а) ab б) 3xy + 2bc в) a^2 – (3mn)^2 = a^2 – 9m^2 n^2

Пример 2.

Маша бежит со скоростью x км/ч за Антоном, бегущим со скоростью y км/ч (x > y). Известно, что Маша догнала его через 2 часа после начала движения. Найти расстояние между ними в самом начале.

Решение.

Скорость приближения Маши к Антону вычисляется как x – y. Учитывая, что расстояние равно произведению скорости на время, ответом будет являться выражение 2*(x – y).

Пример 3. Найти площадь фигуры, представляющей собой квадрат стороной b, из которого вырезан прямоугольный треугольник с катетами x и y (x < b, y < b).

Решение.

Площадь вышеописанной фигуры представима как разница площадей квадрата и треугольника. Поэтому для решения задачи просто остается вспомнить формулы для этих площадей: S1 = b^2, S2= 1/2 x*y. Таким образом, S = S1 – S2 = b^2 - 1/2 x*y.

Задания:

1. Найти скорость катера против течения, если скорость течения 3 км/ч, а расстояние s километров в стоячей воде катер проходит за t часов.

2. Найти площадь фигуры, представляющей собой круг радиусом a, из которого вырезана трапеция с основаниями c и d и высотой h.

3. Сколько квадратных клеток стороной x поместится на четырех квадратных столах, если площадь каждого из них равна S?

Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения.

Допустимые значения переменных – это те значения переменных, при которых выражение имеет смысл.

Известно, что выражение, содержащее дробь, имеет смысл только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.

Если дано уравнение, содержащее дробь, необходимо сначала найти допустимые значения выражений, входящих в уравнения. Таким образом, сначала приравнивают знаменатели каждой дроби к нулю, находят корни, а затем убирают их из ответа, если они совпадают с решением исходного уравнения.

Пример 1.

Найти корни уравнения: . Для начала найдем допустимые значения переменной x, для чего приравняем знаменатель к нулю: . Отсюда находим значение которое необходимо выбросить из решения (т.е. . Затем решаем уравнение стандартным способом: домножаем все уравнение на и находим корень который не равен 3, поэтому можно его спокойно записать в ответ. Но так бывает не всегда.

Пример 2.

Найти корни уравнения Аналогично, приравнивая знаменатель к нулю, получаем После этого уже можно сократить дробь в левой части, получаем

что верно всегда. Однако, учитывая область допустимых значений, значение необходимо убрать из ответа. Таким образом, приходим к ответу: – любое число, кроме или .

Задания для самостоятельного решения:

1. Указать допустимые значения переменной в выражении:

а)

б)

в)

г)

2. Решить уравнения, предварительно найдя допустимые значения переменной:

а)

б)

в)

г)

Ранее мы познакомились с понятием буквенных выражений. Если в заданное буквенное выражение подставить определенные значения переменных, перейдем к числовому выражению.

Пример 1.

Найти значение выражения при .

Решение:

.

Однако не всегда значения переменных даны в явном виде. Возможна и такая ситуация:

Пример 2.

Известно, что . Найти .

Решение:

В исходном уравнении присутствуют 2 переменные – a и b. Поэтому для упрощения решения найдем значение выражения Для этого разделим числитель и знаменатель на b:

Далее

Теперь с выражением, которое требуется найти, поступаем аналогично и приходим к ответу:

Иногда перед подстановкой численных значений исходное выражение необходимо упростить.

Пример 3.

Упростить выражение и найти его числовое значение:

Решение:

Это выражение уже упростить нельзя, поэтому теперь следует подставить численные значения из условия.

Задания:

1. Известно, что . Найти:

а)

б)

2. Упростить выражения и найти их значения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Равенство буквенных выражений. Тождество. Преобразования выражений.

Тождество – это равенство, верное при любых допустимых значениях аргументов. Например,

. Правила раскрытия скобок, законы арифметических действий и другие правила математики относятся к тождествам.

Тождественное преобразование выражений – это замена данного выражения другим, тождественным ему.

Для того, чтобы доказать тождество, необходимо выполнить математические операции таким образом, чтобы в итоге слева и справа от знака равно стояли одинаковые выражения.

Пример 1.

Доказать тождество .

Доказательство:

Преобразуем левую часть выражения

Пример 2.

Упростить выражение

Решение:

Задания:

1. Упростить выражения:

а)

б)

в)

г)

2. Доказать тождества:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Одночлен. Многочлен. Сложение, вычитание, умножение многочленов и одночленов

Ранее мы ознакомились с правилами произведения арифметических операций с одночленами вида . Если одночлен представляет собой несколько более сложную конструкцию, произведение различных буквенных множителей и чисел, правила остаются теми же. В этом случае числа (коэффициенты) перемножаются между собой, а степени складываются по тем же правилам.

Пример 1.

Пример 2.

Перед тем как перейти к понятию многочлена, разберемся с тем, что такое степень одночлена.

Степенью одночлена называют число, равное сумме показателей степеней всех входящих в него букв. Если одночлен представляет собой число, его степень равна нулю.

Пример 3.

Степень одночлена равна

Степень одночлена 5 равна 0, т.к.

Для того, чтобы возвести одночлен в некоторую степень, необходимо возвести в эту степень числовой коэффициент и каждую из входящих в одночлен букв.

Пример 4.

Мы ознакомились с правилами действий с одночленами, поэтому теперь перейдем к понятию многочлена.

Многочлен – это сумма одночленов. В зависимости от количества слагаемых многочлен может называться двучленом, трехчленом и т.д.

Существует понятия стандартного вида многочлена. Если многочлен приведен к стандартному виду, это означает, что в нем нет подобных слагаемых.

Пример 5.

– многочлен стандартного вида

– многочлен, не приведенный к стандартному виду. Если привести его к стандартному виду, он будет выглядеть так:

Сложение и вычитание многочленов

Чтобы сложить или вычесть 2 или более многочлена, по сути надо просто поставить между ними знак «+» или «-», а затем привести подобные слагаемые, то есть привести новый получившийся многочлен к стандартному виду.

Пример 6.

Сложить многочлены и .

Для начала запишем многочлены вместе, разделив их знаком сложения, после чего приведем подобные слагаемые:

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Принято располагать степени в порядке убывания, как в предыдущем примере.

Умножение одночлена на многочлен

Для того, чтобы умножить одночлен на многочлен, многочлен нужно записать в скобках, а затем умножить на одночлен по правилу раскрытия скобок .

Пример 7.

Умножение многочлена на многочлен

Здесь все выполняется по правилу

Пример 8.

Задания:

1. Произвести действия с многочленами:

а) Сложить

и ;

и ;

б) Вычесть

и ;

и ;

2. Произвести умножение многочленов, а затем привести результат к стандартному виду и указать степень получившегося многочлена:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и ;

д) и ;

е) и ;

ж) и ;

з) и ;

Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности; формула разности квадратов суммы и разности кубов

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений

Эти выражения нужно помнить, но в крайнем случае их можно получить простым умножением одной скобки на точно такую же.

Пример 1.

а)

б)

Формула разности квадратов

Пример 2.

а)

б)

Формулы суммы и разности кубов

Задания.

1. Представить в виде многочлена

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Разложить на множители выражение

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения одночленов или многочленов. Существует несколько основных способов разложения многочлена не множители и с одним из них, на самом деле, мы уже познакомились. Этот способ заключается в простом применении формул сокращенного умножения и был рассмотрен в предыдущем разделе. Рассмотрим теперь другие.

Вынесение общего множителя за скобки

Чтобы вынести общий множитель, для начала нужно посмотреть на числовые коэффициенты. Надо просто найти их наибольший общий делитель и вынести его за скобку. Затем следует посмотреть на буквенную часть и из степеней с одинаковым основанием вынести наименьшую степень.

Пример 1.

Разложить на множители:

а)

б)

в)

г)

Разложение на множители нужно также для упрощения некоторых дробных выражений.

Пример 2.

Упростить выражение:

Решение:

Способ группировки

Способ группировки используется для большого количества слагаемых. Он заключается в том, что сначала надо выделить слагаемые в группы, которые обладают общим множителем в виде многочлена, а затем вынести этот многочлен за скобку.

Пример 3.

Если вернуться к пункту б) примера 1 и раскрыть первоначальные скобки, как раз получится, что мы использовали способ группировки:

Можно было сгруппировать слагаемые и другим способом:

Таким образом, мы видим, что можно выбирать разные группы, при этом в итоге получив один ответ. Однако в более сложных случаях бывает так, что после группировки многочлены в скобках отличаются и их нельзя вынести за скобку.

Способ группировки также применяется для упрощения дробных выражений.

Пример 4.

Также могут встречаться ситуации, где нужно последовательно применить несколько разных методов.

Задания.

1. Вынести общий множитель за скобку

а)

б)

в)

г)

2. Разложить на множители методом группировки

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

3. Упростить выражения

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Квадратный трехчлен. Неполный квадрат

Квадратным уравнением называют уравнение вида

– переменная, – некоторые числа. Если , то уравнение называется приведенным.

Пример 1.

– не приведенное квадратное уравнение. Если мы разделим правую и левую часть уравнения на 2, получим приведенное квадратное уравнение:

причем корни этих двух уравнений совпадают.

В частном случае квадратный трехчлен может представлять собой полный квадрат.

Пример 2.

Когда речь идет о квадратных уравнениях, очень важно помнить о следующей теореме.

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если – корни приведенного квадратного уравнения то

Пример 3.

а) Найти корни уравнения .

Это приведенное уравнение. По теореме Виета , . Из второго уравнения следует, что корни имеют разные знаки. Теорема Виета обычно применяется для уравнений с небольшими по модулю коэффициентами, где к ответу легко прийти методом подбора. В данном примере корнями являются

б) Найти корни уравнения

Аналогично, Из второго уравнения видно, что корни одного знака, причем в сумме они дают положительное число. Значит, оба корня положительные. Легко видеть, что корнями являются числа 2 и 3.

Существует также теорема, обратная предыдущей.

Обратная теорема Виета.

Если числа то – корни приведенного квадратного уравнения

Задания.

1. С помощью теоремы Виета найти корни уравнений:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Число 1 является корнем уравнения Найти коэффициент p и второй корень уравнения.

3. Уравнение имеет корни разных знаков, причем по модулю один в 4 раза меньше другого. Найти это корни и коэффициент q.

4. Не решая уравнения найти:

а) б) в) г)

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Многочлен вида называется квадратным трехчленом. Часто для упрощения уравнений его приходится раскладывать на множители. Ранее мы видели, что в частном случае, когда квадратный трехчлен представляет собой полный квадрат, это сделать просто, достаточно лишь применить одну из формул сокращенного умножения. Однако в более общем такое разложение тоже можно выполнить. Справедлива следующая теорема:

Если – корни квадратного уравнения , то квадратный трехчлен можно представить в виде:

Если такое уравнение не имеет корней, то квадратный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Пример 1.

Разложить на множители квадратный трехчлен

Решение:

Для начала необходимо решить квадратное уравнение

Найдем дискриминант

Далее находим корни по известной формуле

Теперь можем применить теорему и разложить многочлен на множители:

Пример 2.

Разложить на множители квадратный трехчлен

Легко видеть, что этот трехчлен представляет собой полный квадрат, однако для наглядности воспользуемся той же теоремой.

Найдем для начала корни уравнения

В этом случае первый и второй корень совпадают. Теперь применяем теорему:

то есть, действительно, мы пришли выражению, аналогичному формуле квадрата суммы.

Задания.

1. Разложить на множители

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей

Ранее мы познакомились с понятием многочлена, научились выполнять действия с многочленами, раскладывать их на множители, упрощать выражения. Теперь пришло время познакомиться с понятием алгебраической дроби.

Алгебраическая дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами.

Примеры таких дробей:

Также мы вводили понятия допустимых значений переменной. Это те ее значения, при которой выражение имеет смысл. Учитывая, что сейчас речь идет о дробях, а у любой дроби есть знаменатель, необходимо будет анализировать и не включать в ответ те значения переменной, при которой знаменатель обращается в ноль.

Пример 1.

Для дроби допустимыми являются все значения переменной , кроме

Для дроби это все значения переменной , кроме тех, когда знаменатель равен нулю, т.е.

Основное свойство алгебраической дроби

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, равная исходной.

Сократить алгебраическую дробь означает разделить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой многочлен.

Пример 2.

Сократить дробь

Решение:

Для начала разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения

Таким образом, числитель представим в виде

Вернемся к изначальной дроби

Пример 3.

Сократить дроби:

а)

б)

в)

г)

Пример 4.

Построить график функции Для начала найдем допустимые значения переменной: это все значения переменной кроме когда знаменатель обращается в ноль.

Теперь сократим эту дробь. Важно отметить, что при построении графика нужно будет учитывать, что точку, аргумент которой равен -1 надо сделать выколотой.

Таким образом, нужно построить график функции

Подставим в функцию «запрещенное» значение : . То есть на графике нужно выколоть точку (-1; -2).

(график)

Задания.

1. Сократить дроби

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Упростить выражение

а)

б)

3. Построить график функции

а)

б)

Действия с алгебраическими дробями.

Сложение и вычитание алгебраических дробей.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковым знаменателем, надо числители сложить (вычесть), а знаменатель оставить прежним.

Пример 1.

а)

б)

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо сначала привести дроби к одинаковому знаменателю, а затем сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями.

Пример 2.

а)

б)

Чтобы сложить (вычесть) и целое число, нужно целое число представить в виде дроби со знаменателем 1, а затем воспользоваться правилом сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями.

Пример 3.

Представить в виде дроби:

а)

б)

Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение дроби в степень.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить по отдельности числители и знаменатели, а затем первое произведение записать на место числителя, а второе – на место знаменателя.

Пример 4.

а)

б)

в)

г)

Из правила умножения дробей следует правило возведения дроби в степень n:

Пример 5.

Вычислить:

а)

б)

Возвести дробь в степень:

а)

б)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 6.

а)

б)

в)

г)

Задания.

1. Выполните действия

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Выполните действия

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Рациональные выражения и их простейшие преобразования

Рациональное выражение – это выражение, составленное из чисел, скобок, букв и их степеней, объединенных арифметическими знаками.

Например,

Рациональная дробь – дробь, у которой числитель и знаменатель являются многочленами (алгебраическая дробь).

Целое рациональное выражение – такое выражения, которое не содержит деления на выражение с переменной.

Например,

Ранее мы знакомились с понятием тожественных выражений и видели, что одни и те же выражения могут быть представлены в разном виде.

Пример 1.

Доказать тождества:

а)

По сути нужно лишь упростить правую часть и привести ее к виду левой части.

б)

Задания.

1. Доказать тождества:

а)

б)

в)

г)

Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях

Ранее мы знакомились с понятием квадратного корня, теперь же перейдем к изучению его свойств, удобных в применении в практических вычислениях.

Квадратный корень числа a – это такое число, квадрат которого равен a.

Пример 1.

а) Квадратный корень из 81 равен 9 и -9.

б) при имеет два решения и (при

Неотрицательное значение называется арифметическим квадратным корнем.

Основные свойства арифметического квадратного корня

1. 

2. \

3. 

Для арифметического корня для любых значений a верно:

Пример 2.

а)

б)

Пример 3.

Найти значение выражения

при а) ; б)

Решение:

а)

б)

Знак квадратного корня называется радикалом, а выражение вида – двойным радикалом.

Преобразование двойных радикалов

Метод выделения полного квадрата

Выделение полного квадрата позволяет избавиться от внешнего корня, тем самым упростив выражение.

Пример 4.

а)

б)

Формула двойного радикала

Если а также разность равна квадрату рационального числа, верна формула:

Пример 5.

Упрощение двойных радикалов с переменной

Аналогично для упрощения выражения необходимо выделить полный квадрат.

Пример 6.

Найти значение выражения

Решение:

При выражение под модулем отрицательно, раскроем его со знаком «-»:

Выражение переменных из физических и геометрических формул.

Пример 7.

Выразить из формулы объема конуса радиус его основания

Решение:

Сначала поменяем левую и правую часть местами и выразим квадрат радиуса, а затем извлечем корень.

Однако величина радиуса основания конуса не может быть отрицательной, поэтому итоговый ответ выглядит так:

Задания:

1. Преобразовать выражения:

а)

б)

в)

г)

2. Преобразовать выражения:

а)

б)

в)

г)

3. Упростить выражения и найти их значения:

а)

б)

4. Выразить:

а) Радиус цилиндра из формулы для его объема:

б) Длину математического маятника из формулы для периода полных колебаний:

в) Заряд конденсатора из формулы для энергии конденсатора:

г) Радиус сферы из формулы для ее полной поверхности

Уравнения с одной переменной. Корень уравнения

Рассмотрим уравнения, содержащие лишь одну неизвестную величину, называемую переменной. Корнем уравнения будем называть то значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство.

Уравнения могут иметь различное количество корней.

Пример 1.

а) уравнение имеет один корень

б) уравнение имеет 2 корня

в) уравнение не имеет корней, т.к. дискриминант отрицателен

г) уравнение имеет бесконечное количество корней. Его корни – это все действительные числа, кроме , т.к. в этом случае знаменатель обращается в ноль.

Максимальная степень переменной говорит о количестве корней уравнения, однако некоторые корни могут совпадать.

Некоторые уравнения могут иметь одинаковые корни. В этом случае уравнения называются равносильными.

Пример 2.

Уравнения и равносильны, т.к. имеют одинаковые корни: .

Основные правила, которые нужно помнить при работе с любыми уравнениями:

1. Левую и правую часть уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, при этом корни уравнения останутся прежними.

2. Любой член уравнения можно перенести из левой части в правую и наоборот, при это изменив его знак на противоположный.

Задания.

1. Сколько корней имеют уравнения:

а)

б)

в)

г) ?

2. Напишите по одному равносильному уравнению для следующих уравнений:

а)

б)

в)

г)

Линейное уравнение

Линейное уравнение – это уравнение вида где а переменная.

Если

1. то уравнение имеет единственный корень

2. – уравнение не имеет корней

3. – уравнение имеет бесконечное множество корней

Пример 1.

Решить уравнения:

а)

б)

Решение:

а) Для начала сведем уравнение к виду , а затем запишем ответ

б)

Линейные уравнения с модулем

Уравнение вида в зависимости от числа может иметь различное количество решений:

1. 

2. 

3. 

Пример 2.

Решить уравнения:

а)

б)

в)

Решение:

а) Раскрывая модуль, получаем 2 уравнения.

1.

2.

б) уравнение не имеет решений

в) т.к. в правой части стоит 0, приходим к одному уравнению

Линейное уравнение с одной переменной, содержащее параметр

Параметром называется величина, сохраняющая свое значение.

Пример 3.

Решить уравнения:

а)

б)

Решение:

а) Необходимо рассмотреть все возможные случаи:

1.

Тогда приходим к 2 уравнениям:

1. 

2. 

2.

,

3.

Решений нет.

б) т.к. получаем 2 уравнения:

1)

2)

Задания.

1. Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

3. Найти значения параметра m, при которых уравнение:

а) имеет 2 решения

б) не имеет решений

в) имеет бесконечное число решений

г) имеет единственное решение

Квадратное уравнение. Корни квадратного уравнения

Вспомним, что квадратное уравнение – это уравнение вида где – числа, .

– первый коэффициент квадратного уравнения, – второй, – свободный член.

Если , то квадратное уравнение называется приведенным, если , оно называется неполным.

Неполные квадратные уравнения

Для начала разберем неполные квадратные уравнения. Тут возможны 3 случая:

1. 

Получаем уравнение вида . Можем разделить левую и правую часть на тогда приходим к выражению для переменной:

а) , если

б) корней нет, если

2. 

Приходим к уравнению вида Вынесем общий множитель за скобку:

Тогда либо либо

3. 

Уравнение имеет вид откуда единственный корень есть

Пример 1.

Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

Решение:

а) В этом уравнении поэтому корней нет

б) есть 2 корня. Переносим вправо и находим корни: .

в) Вынесем за скобку: . Отсюда имеем и

г) поэтому корнем является значение

Полные квадратные уравнения

Теперь рассмотрим наиболее общий случай, когда ни один из коэффициентов не равен 0.

Есть несколько методов решения полных квадратных уравнений.

Метод выделения полного квадрата.

Метод заключается в выделении полного квадрата, а затем извлечения из него корня, что приводит к двум ответам, как и должно быть.

Пример 1.

Решить уравнение .

Решение:

или

Решение квадратного уравнения с использованием дискриминанта

Для нахождения корней уравнения сначала находят дискриминант по формуле

а затем сами корни по формуле , если дискриминант неотрицателен (если , то корни совпадают, т.е. уравнение имеет один корень).

Если то уравнение не имеет корней.

Пример 2.

а) Решить уравнение

Решение:

Откуда

б) Решить уравнение

Решение:

поэтому уравнение не имеет корней.

Если второй коэффициент представим в виде целое число, т.е. является четным числом, можно использовать формулу

для расчета дискриминанта и

Решение с использованием теоремы Виета

Ранее мы уже знакомились с теоремой Виета. Согласно этой теореме, если квадратное уравнение является приведенным , то для его корней верны равенства:

Задания.

1. Решить уравнения методом выделения полного квадрата:

а)

б)

в)

г)

2. Решить уравнения, вычисляя корни по формуле

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

3. Решить уравнения, используя теорему Виета

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Решение рациональных уравнений

Уравнение называется рациональным, если его левая и правая часть – рациональные выражения.

Рациональное выражение — это любое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций и возведения в степень.

Пример 1.

– рациональные уравнения.

Рациональное уравнение называется целым, если его левая и правая части представляют собой целые выражения.

Если левая или правая часть является дробным выражением, то рациональное уравнение называется дробным.

Пример 2.

Уравнения – целые.

Уравнения – дробные.

При решении дробно-рациональных выражений рекомендуем придерживаться следующего алгоритма:

1. Привести дроби, входящие в уравнение, к общему знаменателю.

2. Умножить левую и правую часть уравнения на общий знаменатель.

3. Найти корни, обращающие знаменатель в 0.

4. Решить целое уравнение, полученное после умножения на общий знаменатель.

5. Исключить из ответа корни, обращающие знаменатель в 0.

Пример 3.

Решить уравнения:

а)

б)

Решение:

а) Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен 0.

Тогда

Однако значение обращает знаменатель в 0, и в ответе будет только одно значение .

б) Для начала разложим знаменатель первой дроби на множители

Приведем дроби к общему знаменателю

Теперь найдем корни, при которых общий знаменатель обращается в 0: это

После этого можем умножить на общий знаменатель.

Эти корни не совпадают с исключенными , поэтому они и являются итоговым ответом.

Задания.

1. Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

2. Решить уравнения с параметром:

а)

б)

в)

г)

д)

Решение иррациональных уравнений

Если переменная в уравнении находится под корнем, то такое уравнение называют иррациональным.

Уравнения вида

2. 

Нет решений.

Пример 1.

Решить уравнения:

а)

б)

Решение:

а) поэтому приходим к уравнению

б) поэтому уравнение не имеет решений

Уравнения вида

Решение аналогично предыдущему случаю, однако на функцию накладывается условие неотрицательности:

Пример 2.

Решить уравнения:

1. 

2. 

Решение:

1. 

Ответ: .

2. 

Второе неравенство не имеет решений, поэтому и все уравнение тоже.

Ответ: решений нет.

Уравнения более сложного вида

Уравнения более сложного вида, чем было описано ранее, решаются также методом возведения обоих частей в квадрат.

Пример 3.

Решить уравнение .

Решение:

Далее решение аналогично второму случаю, разобранному в этом разделе.

Метод введения новых переменных

Пример 4.

Решить уравнения:

а)

б)

Решение:

а) Сделаем замену

Тогда приходим к уравнению для t:

Теперь перейдем снова к переменной :

1. 

2. 

В этом случае корней нет, т.к. .

Ответ:

б) Для начала раскроем скобки

Мы привели уравнение к такому виду, чтобы было удобно сделать замену

Тогда

Это уравнение имеет корни

Первый корень отрицателен, его исключаем сразу.

Перейдем ко второму корню

Ответ:

Задания.

1. Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

2. Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

Примеры решения уравнений высших степеней. Биквадратное уравнение

С этого раздела мы начнем разбирать уравнения, где переменная находится в 3 степени или выше.

Начнем с так называемых биквадратных уравнений, т.е. уравнений вида

где, как и в случае квадратных уравнений,

Пример 1.

Решить уравнения:

а)

б)

Решение:

а) Сделаем замену . Тогда уравнение сводится к квадратному

Решаем его и находим корни Т.к. должно быть уравнение не имеет решений.

б) Аналогичной заменой приходим к уравнению

которое имеет корни Они оба положительные, поэтому можем перейти к рассмотрению двух уравнений для

1. 

2. 

Уравнение 4 степени имеет 4 или менее корней.

Ответ:

Задания.

1. Решить уравнения:

а) =0

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Теорема Безу и схема Горнера

Говоря о многочленах высших степеней, нельзя не упомянуть следующую очень важную теорему.

Пусть имеется некоторый многочлен . Разделим этот многочлен на

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Пример 1.

Найти остаток от деления:

а)

б)

Решение:

а) В этом случае Тогда по теореме Безу остаток от деления равен

б) Здесь Остаток

Пример 2.

С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен делится на двучлен без остатка.

Доказательство:

Для доказательства достаточно посчитать остаток от деления многочлена на двучлен:

Остаток равен 0, что и означает, что деление не содержит остатка.

Схема Горнера

В общем виде многочлен степени можно выразить через одночлен и остаток

где многочлен степени

Более подробно можно записать так:

Видно, что частное от деления на имеет степень , остаток при этом является константой.

Если мы раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях придем к равенству:

Отсюда находим выражения для коэффициентов в частном от деления (многочлене

Удобно пользоваться следующей таблицей:

Пример 3.

Выполнить деление многочлена на , используя схему Горнера.

Решение:

Составим таблицу:

Таким образом, частное равно а остаток равен 23.

Пример 4.

Разделить многочлен на двучлен , используя схему Горнера.

Решение:

Аналогично предыдущему примеру, составляем таблицу и приходим к ответу.

Частное от деления равно , а остаток равен 9.

Задания.

1. Не выполняя деления, найти остаток от деления:

а) на

б) на

в) на

г) на

2. Найти частное от деления и остаток, используя схему Горнера:

а) на

б) на

в) на

г) на

д) на

е) на

ж) на

з) на

Решение уравнений методом замены переменной

Ранее мы встречались с методом замены переменной. Этот метод помогает просто свести биквадратные уравнения к квадратным, а также помогает решать иррациональные уравнения, особенно содержащие корни степени 3 и больше. Также было разобрано несколько примеров решения уравнений высших степеней этим методом. Сейчас мы продолжим изучение этого метода.

Пример 1.

Решить уравнения:

а)

б)

Решение:

а) Сделаем замену

Тогда наше уравнение сведется к виду

Далее раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение

Делаем обратную замену и решаем 2 уравнения для

1. 

Корней нет.

2. 

Ответ: -4, -1

б) Сделаем замену

Тогда уравнение примет вид

При этом

Умножаем на t и решаем квадратное уравнение:

Далее делаем обратную замену

Учитывая, что умножаем на знаменатель дроби в левой части и снова приходим к квадратному уравнению:

Ответ: -2, -3

Уравнения вида где

, называют возвратными. Такие уравнения решают методом замены переменной, поделив перед этим на

Пример 2.

Решить уравнение Оно является возвратным.

не является корнем уравнения, поэтому разделим все уравнение на

Сделаем замену .

То есть

Приходим к 2 уравнениям:

1. 

Корней нет.

2. 

Корней нет.

Ответ: корней нет.

Пример 3.

Решить уравнение:

Левая часть уравнения представляет собой сумму квадратов. Отнимем от обеих частей уравнения их удвоенное произведение:

Сделаем теперь замену .

Приходим к уравнению

Его корни

1. 

Корней нет.

2. 

Ответ:

Задания:

1. Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

2. Решить уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Решение уравнений через разложение на множители

Разложение на множители является одним из самых часто применимых методов решения уравнений в математике, поэтому имеет смысл снова к нему вернуться. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Разложить на множители выражение

Решение.

Используя метод группировки или выделения полного квадрата можно очень долго решать этот пример. Однако есть гораздо более простой способ.

Посмотрим на это выражение как на квадратный многочлен относительно

Тогда многочлен можно представить в виде

.

В предыдущем разделе был рассмотрены некоторые примеры с нестандартной заменой переменных. В следующем примере для разложения на множители используется замена многочлена новой переменной.

Пример 2.

Разложить на множители многочлен

Решение:

Сделаем замену Тогда многочлен представим в виде

Разложим его, предварительно найдя его корни:

Пример 3.

Разложить на множители многочлен

Решение:

Опять же важно правильно сделать первый шаг и воспользоваться формулой квадрата суммы.

Часто при разложении на множители используются формулы

Задания.

1. Разложить на множители:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Группировка как метод решения уравнений

Очень удобным и очень популярным методом разложения на множители является метод группировки. С ним мы также уже знакомились, поэтому теперь разберем более сложные примеры.

Пример 1.

Разложить на множители

Решение:

Сгруппируем множители и Перемножив их между собой получаем уравнение

С такого вида уравнениями мы уже успели познакомиться. Делаем замену и приходим к уравнению

Возвращаемся к переменной

1. 

Корней нет.

2. 

Пример 2.

Разложить на множители многочлен

Решение:

Задания:

1. Разложить на множители

а)

б)

в)

г)

2. Решить уравнения

а)

б)

в)

г)

Уравнение с двумя переменными. Решение уравнений с двумя переменными

Общий вид уравнения с 2 переменными:

Например,

Так как в уравнении присутствуют 2 неизвестные, ответом также служит пара чисел Уравнение с 2 переменными имеет бесконечное множество решений.

Пример 1.

Решения уравнения – это пары чисел и т.д.

Для того, чтобы найти решение уравнения с 2 неизвестными нужно подставить в него некоторое значение одной переменной и решить уравнение с 1 неизвестной относительно второй.

График уравнения с 2 переменными

График уравнения – это множество точек, координаты которых являются решениями данного уравнения.

Наиболее часто встречаются следующие типы кривых:

1. Прямая задается линейным уравнением

2. Парабола задается уравнением

3. Гипербола задается уравнением

4. Окружность задается уравнением где – числа, причем радиус окружности, а координаты центра окружности.

График линейного уравнения с 2 неизвестными

Рассмотрим уравнение несколько случаев.

1. 

График этого уравнения – прямая.

2. 

График этого уравнения – прямая, проходящая через начало координат.

3. 

График этого уравнения – прямая, параллельная оси Она совпадает с осью

4. 

График этого уравнения – прямая, параллельная оси Она совпадает с осью

5. 

Решений нет.

6. 

Решение – вся координатная плоскость.

Пример 2.

Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Решение:

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Решая каждое из уравнений, получаем уравнения 2 прямых:

Задания:

1. Построить графики функций

а)

б)

в)

г)

д)

е)

2. Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:

а)

б)

в)

г)

Система двух линейных уравнений с двумя переменными: решение подстановкой и алгебраическим сложением

Системой уравнений называются 2 или более уравнения, для которых требуется найти общее решение. Если все уравнения, входящие в систему, линейные, тогда система также называется линейной.

Если число решений системы конечно, то система называется определенной. Если же число ее решений бесконечно, система называется неопределенной.

Пример 1.

– линейная система из 2 уравнений.

Системы называют равносильными, если их решения совпадают.

Решением системы уравнений является пара чисел , и решение системы можно представить графически. Решение каждого из уравнений системы изображается на координатной плоскости, а точка(и) пересечения графиков этих решений и есть решение системы. Мы будем рассматривать линейные системы уравнений, их решением является точка пересечения 2 прямых.

В зависимости от соотношения между коэффициентами уравнений, система может иметь или не иметь решение. Пусть дана система уравнений

1. Если , система решений не имеет. Графически это представляется в виде 2 параллельных прямых.

2. Если , прямые совпадают, и система имеет бесконечное множество решений.

3. Если то система имеет единственное решение.

Пример 2.

а) – эта система не имеет решений (случай 1)

б) – эта система имеет единственное решений (случай 3)

Пример 3.

Пара чисел (2; 1) является решением системы уравнений

Найти

Решение:

Т.к. указанная пара чисел является решением, она удовлетворяет этой системе. Подставим числа в систему и решим ее относительно

Перейдем теперь к методам решения линейных систем уравнений с 2 неизвестными.

Метод подстановки

Это наиболее часто используемый метод. Алгоритм заключается в следующем:

1. Из одного из уравнений выражаем любую из переменных в явном виде

2. Подставляем полученное выражение вместо этой переменной в другом уравнении

3. Решаем уравнение с 1 неизвестной

4. Подставляем это значение в уравнение из пункта 1) и находим значение второй неизвестной

Пример 3.

Решить методом подстановки систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения выразим . Подставим его во второе уравнение и решим его:

Теперь подставим в уравнение, где явно выражен т.е. .

Ответ:

Метод сложения

Этот метод заключается в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив или вычтя уравнения между собой. При это иногда предварительно требуется одно из уравнений умножить или разделить на некоторое число.

Пример 4.

Решить систему уравнений:

Решение:

Разделим для начала второе уравнение на 2. Получим систему

Теперь из первого уравнения вычтем второе. Получим

Для того, чтобы найти нужно значение подставить в любое из уравнений системы, например, в первое:

Ответ:

Задания:

1. Сколько решений имеет система уравнений

а)

б)

в)

г) ?

2. Решить системы уравнений

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Уравнения и системы уравнений с несколькими переменными (уравнения в целых числах)

Часто приходится иметь дело с реальными задачами, где используются только целые числа, что облегчает решение.

Пример 1.

Весь урожай составил 217 огурцов. Их разложили по банкам поровну, причем известно, что банок было больше 10. Сколько огурцов в каждой банке?

Решение:

Пусть было банок, в каждой по огурцов. Тогда Исходя из того, что число банок – целое, должен быть делителем числа 217. А оно имеет делители 1, 7, 31 и 217. Только 2 из них больше 10.

Ответ: 31 и 217.

Пример 2.

Решить уравнение в целых числах

Решение:

Выразим через :

Теперь выделим целую часть:

Т.к. и 5 – целые числа, дробь в правой части тоже должна быть целым числом, т.е. выражение должно быть делителем числа 3. Это числа

Подставляем эти числа в последнее уравнение и приходим к ответу.

Ответ: .

Уравнения с тремя переменными

Пример 3.

Решить систему уравнений:

Решение:

Сложим первое уравнение со вторым:

Но поэтому откуда

Из первого уравнения

Из последнего уравнения находим

Ответ:

Пример 4.

Решить систему уравнений:

Решение:

Перемножим все 3 уравнения:

Далее

Аналогично

Ответ:

Задания:

1. Решить в целых числах уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

е)

(в натуральных числах)

Решение простейших нелинейных систем уравнений с двумя переменными

Все ранее используемые нами методы решения линейных систем уравнений также пригодны и для решения нелинейных систем уравнений.

Метод подстановки

Пример 1.

Решить систему уравнений:

Решение:

При система не имеет решений.

Выразим из второго уравнения и подставим это выражение в первое уравнение:

Далее находим значения второй переменной

Ответ:

Пример 2.

Решить системы уравнений:

Решение:

Вынесем общий множитель во втором уравнении за скобки и подставим значение из первого:

Из второго уравнения имеем .

Подставляем это в первое уравнение и получаем:

Ответ:

Метод алгебраического сложения

Пример 3.

Решить систему уравнений:

Решение:

Сложим первой уравнение со вторым:

Либо , тогда из первого уравнения.

Либо из второго уравнения:

Ответ:

Пример 4.

Решить систему уравнений:

Решение:

Сложим эти 2 уравнения:

Сумма 2 неотрицательных чисел равна 0, только если каждое из них равно 0. Поэтому:

Ответ:

Метод почленного умножения и деления систем уравнений

Пример 5.

Решить систему уравнений:

Решение:

Перемножим уравнения и разделим их друг на друга ( :

Перемножим уравнений между собой и найдем

Из любого из уравнений

Ответ:

Метод замены переменной

Пример 6.

Сделаем замену: Тогда система будет выглядеть так:

Сложим теперь эти уравнения и найдем

Находим далее и приходим к 2 системам уравнений:

1. 

2. 

Системы не имеют решений.

Ответ: нет решений.

Задания.

1. Решить системы уравнений:

а)

б)

в)

г)

2. Найти точку пересечения графиков функций:

а) и

б) и

в) и

г) и

Числовые неравенства и их свойства

Выражения вида и ( больше и меньше .

Рассмотрим некоторые их свойства:

1. значит и наоборот

2. На координатной прямой большее число обозначается правее меньшего

3. Неравенства бывают строгими ( и нестрогими ( . Они отличаются тем, что нестрогое допускает равенство левой и правой части, а строгое – нет.

4. Если то

5. Если и , то (свойство транзитивности)

6. Если

7. Если то

а)

б)

8. Если почленно сложить или перемножить неравенства одного знака, знак неравенства не изменится:

9. Если

10. Если

Пример 1.

Доказать, что при любых значениях верно неравенство

Доказательство:

Раскроем скобки перенесем все в левую часть:

Это неравенство всегда верно, а значит верно и исходное.

Пример 2.

Известно, что Оценить:

а)

б)

в)

Решение:

а) Домножим исходное двойное неравенство на 2, а затем отнимем 3, тем самым придем к ответу:

б) Поступаем аналогично предыдущему пункту:

в) В этом случае при переходе от нужно будет поменять знак неравенств:

Линейное неравенство с одной переменной

Линейным неравенством называется неравенство вида .

Его решение – это число, при подстановке которого неравенство переходит в верное числовое неравенство. Например, – верное числовое неравенство.

Пример 3.

Решить неравенство:

Решение:

То есть решением неравенства является любое число, меньше при этом само число не является решением, т.к. знак неравенства строгий. Ответ записывают в следующем виде:

Ответ: .

Пример 4.

Найти наибольшее число, являющееся решением неравенства

Решение:

В данном случае неравенство нестрогое, и ответом является число -38. Если бы неравенство было строгим, ответа бы не существовало.

Ответ: -38.

Задания:

1. Решить неравенства

а)

б)

в)

г)

2. Найти наибольшее или наименьшее число, удовлетворяющее неравенству (самому обосновать выбор в зависимости от примера):

а)

б)

в)

г)

Линейные неравенства с одной переменной и сводящиеся к ним

В предыдущем разделе мы научились решать линейные неравенства. Теперь рассмотрим более сложные случаи и задачи, сводящиеся к линейным неравенствам.

Рассмотрим задачу, для решения которой требуется составить неравенство.

Пример 1.

От деревни до железнодорожной станции 20 км. Поезд уходит со станции в 11 часов. В каком часу человеку, живущему в деревне, надо выйти из дома, чтобы успеть на поезд, если он будет идти со скоростью 5 км/ч?

Решение:

Пусть пешеход вышел в часов утра. Тогда до 11 часов он шел бы часов и прошел бы км. Тогда, чтобы успеть на поезд, это расстояние должно быть не меньше 20 км. Отсюда получаем неравенство и решаем его:

То есть, чтобы успеть на поезд, человеку нужно выйти из деревни не позднее 7 часов утра.

Пример 2.

При каких значениях значение дроби больше дроби на

Решение:

Для решения составим неравенство и решим его.

Пример 3.

Найти область определения функции

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому составим неравенство, определяющее допустимые значения переменной

Пример 4.

Решить неравенство:

Решение:

Данная дробь будет положительной, если знаменатель будет отрицательным, т.е.

Линейное неравенство с параметром

Пусть требуется решить неравенство Возможны несколько случаев:

1. 

Тогда .

Тогда

3. 

а)

Тогда решений нет.

б)

Тогда -любое число.

Пример 5.

Решить неравенство:

Решение:

Рассмотрим все случаи.

1. 

Тогда

2. 

Тогда

3. 

Тогда получаем неверное неравенство , т.е. решений нет.

Задания.

1. В одном бассейне налито 100 литров воды, а во втором – 150 литров воды. Каждый час в первый бассейн вливается 15 литров воды, а во второй – 5 литров. В какие моменты времени в первом бассейне будет больше воды, чем во втором?

2. Партию деталей решили поровну разложить по ящикам, сначала в каждый ящик положили по 12 деталей, но при этом осталась одна деталь. Тогда из одного ящика вынули все детали, и в оставшиеся ящики удалось разложить все детали поровну. Сколько деталей было в партии, если в каждый ящик помещается не более 20 деталей.

3. Найти область допустимых значений функций:

а)

б)

4. При каких значениях переменной дробь меньше значения дроби на

5. При каких значениях параметра квадратное уравнение имеет 2 действительных различных корня?

6. Решить неравенства с параметром:

а)

б)

в)

г)

Система линейных неравенств

Аналогично системе уравнений, можно ввести понятие системы неравенств. Решением является множество значений переменной, удовлетворяющее одновременно обоим неравенствам.

Совокупность неравенств, что решением является как промежуток, удовлетворяющий первому неравенству из совокупности, так и второму.

Пример 1.

а) Решения системы неравенств

не существует.

б) Решением совокупности неравенств

являются 2 промежутка

Неравенства с модулем

Неравенства с модулем сводятся к решению системы либо совокупности неравенств.

1 случай.

а)

Решений нет.

б)

в)

Неравенство сводится в системе неравенств

2 случай.

а)

– любое число

б)

в)

Неравенство сводится к совокупности неравенств

Если знак неравенства строгий, ситуация аналогична.

Пример 2.

Решить неравенства:

а)

б)

Решение:

а) Это неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ:

б) Это неравенство аналогично совокупности неравенств:

Пример 3.

Для каждого значения решить неравенство:

а)

б)

Решение:

а) Рассматриваем все случаи.

1)

Решений нет

2)

Неравенство сводится к системе неравенств:

В этом случае решение

б)

1)

– любое число

2)

3)

Решение сводится в совокупности неравенств:

Решением в этом случае является промежуток

Задания.

1. Решить неравенства:

а)

б)

в)

г)

2. Решить неравенства с модулем:

а)

б)

в)

г)

Квадратные неравенства. Метод интервалов

Неравенство вида называется квадратным.

Рассмотрим основные методы решения таких неравенств.

Метод сведения к системе линейных неравенств

Метод основан на разложении квадратного трехчлена на множители.

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Для начала найдем корни уравнения Его корни Тогда многочлен можно представить в виде

Вернемся к неравенству

Т.к. произведение множителей положительно, значит они либо оба положительные, либо оба отрицательные. Получается система уравнений:

1)

Ее решение:

2)

Ее решение:

В ответ будет входить объединение этих промежутков, т.к. в обоих случаях выполняется исходное неравенство.

Ответ:

Графический метод

Алгоритм решения:

1. Находим корни соответствующего квадратного уравнения (если они есть).

2. Определяем направление ветвей параболы:

– ветви направлены вверх

– ветви направлены вниз

3. Рисуем график квадратичной функции и по графику решаем неравенство.

Пример 2.

Решить неравенства:

а)

б)

в)

Решение:

а) Решим квадратное уравнение

Проведем через эти точки параболу с ветвями, смотрящими вниз .

Из графика видно, что функция принимает неотрицательные значения при

б) Аналогично решаем квадратное уравнение Его корни

Рисуем эскиз графика:

Функция принимает неотрицательные значения при

в) Решаем уравнение Оно не имеет корней, т.е. график функции не пересекается с осью При этом первый коэффициент положителен, значит ветви смотрят вверх, и функция расположена над этой осью.

Т.е. решением являются все значения

Пример 3.

Решить систему неравенств:

Решение:

Первое уравнение сводится к системе неравенств . При этом решением второго неравенства является область

Таким образом, в ответ должно войти пересечение этих областей, т.е.

Метод интервалов

Метод интервалов является очень удобным методом решения неравенств.

Его алгоритм заключается в следующем:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства, перенести все в левую часть, оставив справа 0, и решить соответствующее уравнение.

2. Отметить на числовой прямой корни этого уравнения.

3. Подставить в уравнение с 0 в правой части произвольное значение из каждого интервала. Если знак неравенства то в ответ войдут те интервалы, где функция положительна, и наоборот.

Пример 4.

Решить методом интервалов неравенство:

Решение:

Найдем корни уравнения Это

Отметим их на числовой прямой и подставим значение из каждого интервала. Например, значение принадлежит второму интервалу, подставим его в левую часть уравнения:

ставим знак «+».

Знак нашего неравенства «>», поэтому в ответ войдут промежутки со знаком «+».

Ответ:

Задания:

1. Решить квадратные неравенства:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Задачи на использование процентов

Повторение пройденного

Что такое процент?

рer cent (лат.) – от каждой сотни

Пример. Найти 15% от 200.

Решение. От каждой из двух сотен необходимо взять 15 единиц.

Итого. 15+15 = 30

Проверь себя

1. Найти 45% от 100.

2. Найти 70% от 300.

3. Найти 95% от 400.

4. Найти 80% от 50.

5. Найти 20% от 250.

Процент в общем случае

Один процент – одна сотая часть величины.

То есть, например,

При решении задач полезно преобразовывать проценты в десятичные дроби.

Например, если требуется найти 16% от 25 можно, воспользовавшись логикой «от каждой сотни» (т.е. взять 16 единиц от 100 и разделить полученный результат на 4, так как 25 в четыре раза меньше 100).

Также можно перевести проценты в десятичную дробь по определению:

Окончательно имеем:

Можно воспользоваться и логикой расчета 1% величины.

1% от 25 – это одна сотая часть этого числа.

А 16% – в 16 раз больше, чем 1%, т.е.

Этой логикой можно пользоваться и при решении более сложных задач.

Проверь себя

1. Найти 75% от 12.

2. Найти 40% от 540.

3. Найти 70% от 280.

4. Найти 12% от 145.

5. Найти 103% от 240.

Изменение величины на некоторое число процентов

Когда говорят, что число увеличилось на х, это значит, что к числу надо прибавить x. Если же число уменьшилось на x, это значит, что из числа надо вычесть x.

Если величина увеличилась на х% (перевыполнение плана, прирост денег в банке, наценка), то новая величина станет равна 100% + x%. Если величина уменьшилась на х% (скидка, уценка, налог), то новая величина станет равна 100% – x%.

В десятичной записи увеличение величины а на х% выглядит так:

В десятичной записи уменьшение величины а на х% выглядит так:

Проверь себя

1. Из кастрюли, стоящей на плите, испарилось 10% воды. Сколько процентов первоначального объема воды в кастрюле составляет вода, оставшаяся в кастрюле?

2. Магазин закупает хлеб и продает его с наценкой 20%. Сколько процентов закупочной цены составляет цена хлеба в магазине?

3. Двадцатая часть жителей многоквартирного дома имеет постоянную работу. Сколько процентов жителей этого дома не имеет постоянной работы?

4. На базаре цену на ковер снизили на четверть. Сколько процентов первоначальной стоимости ковра составляет цена ковра со скидкой?

5. Население поселка составляет семь пятых населения деревни. На сколько процентов население поселка больше населения деревни?

Типы задач на процентные расчеты

Чаще всего в простейших задачах на процентные расчеты используется следующая формула: