3. Простейшие квадратичные функции (параболы)

Пример. Проследим, как при изменении числа х будет меняться его квадрат (можно представить, как будет расти площадь квадратной клумбы, если будет изменяться длина ее стороны).

Для этого предварительно обратим внимание на следующие характерные особенности функции 

а) Функция определена при всех значениях x (то есть если подставить вместо х любое число, мы обязательно получим какое-нибудь значение y). Например, и т.д.

б) Так как то при двух значениях х, которые отличаются только знаками, получаются два одинаковых положительных значения у. Например, Таким образом, y (функция) никогда не принимает отрицательных значений.

в) Если абсолютная величина х (иначе говоря, |x|) увеличивается, то и значение у также увеличивается.

x > 0	1	2	3	4	5	6	7
x < 0	–1	–2	–3	–4	–5	–6	–7
|x|	1	2	3	4	5	6	7
х2	1	4	9	16	25	36	49

г) Если дать переменному х малое приращение, то ему будет соответствовать малое приращение у.

Например, если x = 2 и мы придадим ему малое приращение 0,1 (другими словами, к 2 прибавим 0,1), то у увеличится с до таким образом, функция прирастет на 0,41. Если же придать значению х = 2 еще меньшее приращение (например, увеличим х на 0,01), то значение у станет равным В итоге приращение функции в этом случае составит 0,0401, что меньше прошлого приращения.

Таким образом, чем на меньшую дробь мы увеличим х, тем на меньшее число увеличится у.

Получается, что если х будет непрерывно увеличиваться (например, от значения 2), переходя через все возможные значения х, тогда и у будет увеличиваться непрерывно, переходя через все значения, большие 4, однако эти изменения будут происходить непропорционально.

Такая функция называется нелинейной (как противоположность линейной функции, в которой приращение функции относительно приращения аргумента происходит пропорционально). Это различие отчетливо видно на рисунке ниже (слева – линейная функция, справа – нелинейная).

Теперь изобразим график функции. Для этого составим таблицу:

x	–3	–2	–1	0	1	2	3
у = х2	9	4	1	0	1	4	9

Указанные в таблице точки поместим на чертеже и обведем кривой. Получим график функции который называется параболой.

Рассмотрим некоторые свойства параболы.

а) Парабола – это непрерывная кривая. Действительно, если мы будем непрерывно изменять значение x (как в положительном, так и в отрицательном направлении), кривая не будет прерываться (то есть для каждого значения x найдется какое-то значение у).

б) График параболы располагается по одну сторону от оси x – именно по ту сторону, где лежат положительные значения y.

в) Ось y делит параболу на две одинаковые части (их называют ветвями параболы). Если попробовать «перегнуть» график по оси y, то ветви полностью совместятся – например, точка с абсциссой –1 перейдет в точку с абсциссой 1, точка с абсциссой –2 – в точку с абсциссой 2 и т.д. Точка, в которой две ветви параболы сходятся, называется вершиной параболы.

г) Ветви параболы бесконечны, так как значения х и у могут увеличиваться и увеличиваться. График параболы устремляется от вершины вверх и отдаляется от оси y влево и вправо.

д) При х = 0 y также равен 0. Получается, что при х = 0 функция имеет наименьшее значение из всех возможных. Наибольшего значения функция не имеет, так как график параболы будет бесконечно долго расти вверх.

Рассмотрим теперь график функции при нескольких различных значениях а.

Изобразим графики функций и

у = 2х²

у = 0,5х²

у = х²

у = –х²

На чертеже видно, что первые три кривые похожи: бесконечные непрерывные ветви, вершина параболы расположена в точке (0; 0). Однако с ростом а эти три кривые все больше и больше удаляются от оси у.

Если рассмотреть четвертый график (график функции ) и сравнить его с графиком функции то можно заметить, что при одном и том же значении х обе функции имеют одну и ту же абсолютную величину, но противоположны по знаку.

Поэтому в этом случае мы имеем дело с одинаковыми параболами. Единственное отличие заключается в том, что функция расположена выше оси х (ветви параболы направлены вверх), а функция – ниже оси х (ветви параболы направлены вниз).

Таким образом, при a > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 – вниз.

Проверь себя

1. Задана функция:

а) Найдите область определения и область значений этой функции.

б) Чему равен коэффициент a данной функции? Куда направлены ветви параболы? В какой точке параболы находится ее вершина?

в) Начертите график этой функции.

г) Определите (графически) координаты точки пересечения графика этой функции и графика функции y = –6x + 3.

2. Парабола симметрична относительно оси у, проходит через точку A (–2; 1), а ее вершина лежит в начале координат. Составьте уравнение этой функции.

3. Запишите уравнение функции по ее графику:

4. Задана функция

а) Есть ли у этой функции наибольшее значение? Если да, определите его и укажите, при каком значении х оно достигается?

б) Есть ли у этой функции наименьшее значение? Если да, определите его и укажите, при каком значении х оно достигается?

5. Заданы две функции: и Отличаются ли чем-либо графики этих функций? Аргументируйте свой ответ.