График функции, имеющей вид y = kx, проходит через точку А (2; –7). Вычислите значение коэффициента k.
Постройте график функции y = kx при значении k = 0. Какими особенностями обладает этот график?
Запишите уравнение функции по ее графику. Определите коэффициент пропорциональности данной функции.
Сложные линейные функции и функция обратной пропорциональности
Вспомним, как выглядит график функции y = 2x, и построим графики функций y = 2x – 1 и y = 2x + 1. Выберем несколько значений x и составим таблицы.
x |
1 |
2 |
y = 2x |
2 |
4 |
x |
1 |
2 |
y = 2x – 2 |
0 |
2 |
x |
1 |
2 |
y = 2x + 2 |
4 |
6 |
Построив графики функций, можно заметить следующее:
1) график функции y = 2x + 2 параллелен графику функции y = 2x и получается путем параллельного переноса графика функции y = 2x на 2 единицы вверх.
2) график функции y = 2x – 2 параллелен графику функции y = 2x и получается путем параллельного переноса графика функции y = 2x на 2 единицы вниз.
у
=
2х
– 2
у
=
2х
+ 2
у
=
2х
В общем виде функции, которые мы только что построили, можно записать так: y = kx + b, где k и b – постоянные числа (константы). Чтобы построить график функции y = kx + b, можно параллельно перенести график функции y = kx на b единиц вверх.
Определить значение b по графику функции y = kx + b просто. Для этого заметим, что при подстановке х, равного 0, уравнение функции y = kx + b переходит в y = b. Таким образом, значение b на графике функции y = kx + b равно значению функции в точке х = 0.
Следует отметить, что графики функций вида y = kx + b параллельны графику функции y = kx, поэтому уровень наклона всех этих графиков, выражаемый угловым коэффициентом k, остается неизменным.
Таким образом, прямая пропорциональная зависимость выражается линейной функцией. С обратной пропорциональной зависимостью ситуация кардинально иная.
Пример. Один принтер может распечатать книгу за 10 минут. А за сколько минут эту книгу распечатают 5 одинаковых принтеров?
Решение. Чем больше принтеров будет печатать книгу, тем меньше времени потребуется для выполнения этой работы. Именно такая зависимость называется обратно пропорциональной.
Запишем пропорцию и стрелками укажем направление роста параметров (количества принтеров и времени на печать книги):
1 Принтер – 10 мин.
5 Принтеров – х мин.
Получаем:
откуда
откуда
x
= 2.
Получается,
зависимость в задаче выражается формулой
Построим таблицу значений функции:
x |
1 |
2 |
5 |
10 |
y |
10 |
5 |
2 |
1 |
По поводу этой таблицы мы можем сделать такое же замечание, какое делали раньше, когда говорили о графике функции у = 2х. Если х будет переходить через все значения, которые находятся между указанными в таблице (например, через значения, заключающиеся между 1 и 2), то и у будет принимать промежуточные значения, которые заключены между 10 и 5. Например, у может при этом сделаться равным 8 – для этого требуется, чтобы число x приняло значение, при котором:
Таким образом, x должен быть равен 1,25, что произойдет при непрерывном изменении x от 1 до 2.
Нанеся значения, указанные в таблице, на чертеж и последовательно соединив все полученные на графике точки непрерывной кривой, мы получим график обратной пропорциональной зависимости из решенного нами примера.
Таким
образом, в общем виде обратно
пропорциональная зависимость выражается
формулой (такой график называется
гиперболой):
Обратим внимание на следующую особенность этого графика: при увеличении абсциссы х ордината y все уменьшается, приближаясь к нулю. Поэтому кривая, по мере ее продолжения направо, все ближе и ближе будет приближаться к оси x, однако никогда ее не достигнет (в случае, если k ≠ 0, нет такого значения x, при котором у = 0).
Аналогично можно сделать вывод, что при уменьшении значения x в сторону нуля значение y будет становиться все больше и больше. Таким образом, график при продолжении налево будет неограниченно подниматься вверх, приближаясь к оси y, однако ее никогда не достигнет (дробь из формулы выше не будет существовать при x = 0, так как х находится в знаменателе).
Если
построить графики функций
и
то можно заметить, что графики отличаются
друг от друга только уровнем «вдавленности»
к началу координат (чем
меньше k,
тем больше график функции «вдавлен» к
вершине прямого угла).
Проверь себя
Задана функция:
а) Найдите область определения и область значений этой функции.
б) Чему равны коэффициенты k и b данной функции?
в) Начертите график этой функции.
г) Определите (графически) координаты точки пересечения графика этой функции и графика функции y = 2x.
Определите по графикам функций y = kx + b знак коэффициентов k и b.
Определите уравнение функции по ее графику. Определите коэффициенты k и b данной функции.
Задана функция:
а) Найдите область определения и область значений этой функции.
б) Чему равен коэффициент k данной функции?
в) Начертите график этой функции.
г) Определите (графически) координаты точки пересечения графика этой функции и графика функции y = 6.
График функции, имеющей вид
проходит через точку А
(4; 0,8). Вычислите значение коэффициента
k.