Функции Теория Понятие функции. Область определения и область значений

В окружающем нас мире нередко встречаются взаимосвязанные события. Температура зависит от высоты над уровнем моря, стоимость покупки в магазине зависит от количества купленного товара, яркость включенной в сеть лампы зависит от силы тока. Продолжать данный список можно бесконечно.

Особое место среди таких зависимостей занимают функциональные зависимости (или просто функции).

Функция – это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Другими словами, каждому значению независимой переменной (то есть выбираемой нами) должно соответствовать единственное значение зависимой переменной.

Пример. У учеников класса спросили, в каких районах Москвы они постоянно живут и какие напитки любят. Получили следующие ответы:

Имя ученика	Район Москвы	Любимые напитки
Петя	Сокол	Чай, кофе
Гена	Ховрино	Сок
Вова	Коптево	Минеральная вода
Саша	Войковский	Кофе
Коля	Беговой	Морс, кофе, чай
Дима	Аэропорт	Молоко, кефир
Антон	Сокол	Чай
Боря	Ховрино	Компот, морс
Витя	Головинский	Молоко
Вася	Ховрино	Чай

Несмотря на то, что несколько учеников живут в одном и том же районе, мы можем однозначно соотнести ученика (независимая переменная) и район, в котором он живет (зависимая переменная). Значит, зависимость района Москвы от ученика, который там проживает, является функциональной (считаем, что ученик не может постоянно жить в двух районах сразу).

С любимыми напитками ситуация обстоит иная. У некоторых учеников всего один любимый напиток, у некоторых – их несколько (два или три). Таким образом, однозначно соотнести ученика (независимая переменная) и любимый напиток (зависимая переменная) мы не можем. Значит, зависимость напитка от ученика, который его предпочитает, не является функциональной (один ученик может любить несколько напитков).

Независимую переменную называют аргументом. Аргумент принято обозначать буквой x. Зависимую переменную называют функцией, ее обозначают y или f и записывают y (x) или f (x) – таким образом отражают зависимость функции от аргумента.

Пример. При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь (функция, зависимая переменная) является функцией от времени (аргумент, независимая переменная).

Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 45 км/ч, зависимость пути S от времени t можно задать так: либо

Приведем еще несколько примеров функций. Например, или

Все значения, которые может принимать аргумент, называются областью определения функции. Ее принято обозначать как D(f ).

Пример. Рассмотрим зависимость площади круга от его радиуса. Данная зависимость является функциональной – так как, зная радиус круга, можно однозначно определить его площадь по формуле: Областью определения этой функции является множество всех положительных чисел (радиус отрицательным быть не может).

Все значения, которые может принимать функция при всех значениях аргумента из области определения, называются областью значений функции. Ее принято обозначать как E(f ).

Пример. Вернемся к примеру с автомобилем, который движется со скоростью 45 км/ч. Найдем, какие значения принимает функция пройденного пути (в километрах) в зависимости от времени в пути (в часах).

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	45	90	135	180	225	270	315	360	405

Данные из второй строки этой таблицы и будут входить в область значений функции.

Проверь себя

11. Сила тяжести Р, действующая на груз массой m, вычисляется по формуле:

где g – гравитационная постоянная, примерно равная 9,8 м/с². Укажите зависимые и независимые переменные для такой зависимости.

12. 

    y

    y

    Отметьте все рисунки, на которых изображена функция.

x

x

13. Какая формула описывает функциональную зависимость:

а) периметра квадрата от длины его стороны; б) длины окружности от ее радиуса?

14. Найдите область определения функции:

а) б) в)

15. Найдите область значения функции:

а) б) в)

Способы задания функции

Функции можно задать несколькими способами, каждый из которых показывает, как для каждого значения аргумента получить соответствующее значение функции.