Перед тем, как перейти непосредственно к формуле суммы членов арифметической прогрессии, рассмотрим конкретный пример. Пример. Найти сумму первых 100 натуральных чисел.

Решение. На первый взгляд, у этой задачи нет простого и изящного решения. Кажется, нет другого варианта решения задачи, кроме как путем последовательного сложения чисел. Однако блестящее по своей красоте решение, согласно легенде, предложил юный Карл Фридрих Гаусс, будущий великий математик. Эта задача была решена им в пятилетнем возрасте.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им решить приведенную нами задачу. Решим задачу так, как решал ее молодой математик:

1) Запишем искомую сумму:

2) Снова запишем сумму 100 натуральных чисел, однако уже в обратном порядке:

3) Если расположить эти суммы друг под другом, то можно заметить, что сумма первых, вторых, третьим и т.д. членов в каждой последовательности постоянна (в данном случае, она равна 101):

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1

Аналогичный вывод можно было сделать на основе характеристического свойства арифметической прогрессии.

4) Сосчитаем, сколько пар чисел у нас получилось. Получается, 100 пар с постоянной суммой 101 дадут в итоге

5) Однако мы сложили числа от 1 до 100 два раза. Таким образом, чтобы получить искомую сумму, нужно разделить 10100 на 2. Получаем 5050. Это и есть сумма всех натуральных чисел от 1 до 100.

На основании решенной задачи выведем формулу для суммы n членов арифметической прогрессии. В нашей задаче была дана арифметическая прогрессия 1, 2, 3, …, n с разностью d = 1 и n = 100. Формулой для вычисления суммы служило выражение:

Слева направо: 1 – это первый член прогрессии, 100 – n-ный член прогресии, 100 – количество членов прогрессии, которые требуется суммировать. Запишем то же самое выражение в общем виде:

или

Проверь себя

Определить число x, если числа в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.
Ненулевые числа a, b, c удовлетворяют условиям Докажите, что числа в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.
Сумма третьего и семнадцатого членов арифметической прогрессии равна 30. Найдите сумму девятого и одиннадцатого членов этой прогрессии.
Найдите сумму первых девяноста членов арифметической прогрессии
Вычислите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен 2, а восьмой член равен 23.

Практика

Блок А

Спиленные на лесопилке брёвна укладываются пирамидой, как показано на рисунке. Сколько рядов потребуется для размещения подобным способом 66 брёвен? Ответ: 11
Консервы в торговом зале магазина расставляются пирамидой по принципу «банка на банку» (см. рис.). Сколько рядов потребуется для размещения подобным способом 81 банки консервов? Ответ: 9
Курс лечения в криосауне обычно начинают с короткого минутного сеанса, увеличивая длительность каждого следующего сеанса на 30 секунд. Какое наибольшее число сеансов сможет совершить пациент за 27 минут? Ответ: 9
В некоторой карточной игре используется стандартная колода карт (52 карты). Первому игроку раздается три карты, а каждому последующему игроку – на одну карту больше. Определите наибольшее возможное число участников данной игры. Ответ: 8
В первом ряду углового сектора стадиона 8 мест, а в каждом последующем ряду – на 4 места больше. Сколько мест в 25 ряду этого сектора? Ответ: 104
Взвод построен по шеренгам так, что в первой шеренге стоит 5 солдат, а в каждой последующей шеренге – на 3 солдата больше. Сколько солдат стоит в десятой шеренге? Ответ: 32
Больному прописано лекарство в виде таблеток. В первый день больному необходимо выпить 2 таблетки, увеличивая в каждый последующий день суточную дозу на 2 таблетки. Сколько таблеток необходимо купить больному для недельного курса лечения? Ответ: 56
Для того, чтобы выложить тротуар плиткой за смену (8 часов), строители решают работать по следующей схеме: в течение первого часа выложить 100 м² плитки, а в каждый последующий час выкладывать на 20 м² плитки больше, чем в предыдущий. Чему равна площадь тротуара (в квадратных метрах)? Ответ: 1360
Высота строящегося здания ежемесячно увеличивается на одно и то же число метров. За первый месяц строители возвели здание высотой 4 метра. На сколько метров необходимо увеличивать высоту здания ежемесячно, чтобы за год построить здание высотой 37 метров? Ответ: 3
С каждым километром спуска с горы температура воздуха повышается на одно и то же число градусов. Температура воздуха на высоте 8000 метров составляет –37^оС. Чему равно изменение температуры воздуха с каждым километром спуска с горы, если температура воздуха у подножья горы составляет 15^оС. Ответ: 6,5
(ОГЭ) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −125; −122; −119; … . Найдите первый положительный член этой прогрессии. 1
(ОГЭ) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −127; −120; −113; … . Найдите первый положительный член этой прогрессии. 6
(ОГЭ) Дана арифметическая прогрессия , разность которой равна Найдите -122,9
(ОГЭ) Дана арифметическая прогрессия , разность которой равна Найдите -128,8
(ОГЭ) Дана арифметическая прогрессия −232; −227; −222; … . Найдите -117
(ОГЭ) Дана арифметическая прогрессия −143; −137; −131; … . Найдите 7
(ОГЭ) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 137,5; 129; 120,5; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии. -7
(ОГЭ) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 184; 176,5; 169; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии. -3,5
(ОГЭ) Дана арифметическая прогрессия: −19; −16; −13; ... . Какое число стоит в этой последовательности на 64-м месте? 170
(ОГЭ) Дана арифметическая прогрессия: −27; −25; −23; ... . Какое число стоит в этой последовательности на 82-м месте? 135
(ОГЭ) Арифметическая прогрессия задана условиями Найдите 64
(ОГЭ) Арифметическая прогрессия задана условиями Найдите 103