Числовые последовательности Теория Понятие числовой последовательности

Числовая последовательность – это пронумерованное множество чисел, которые расположены в порядке возрастания номеров.

Пример. Зависимость высоты дома от его этажа – пример числовой последовательности.

Номер этажа	1	2	3	4	5	6
Высота дома на уровне этажа, м	3	6	9	12	15	18

Здесь каждому элементу последовательности (в данном случае, высоте дома) соответствует определенный порядковый номер (в данном случае, этаж). При этом все элементы (члены) последовательности расположены в порядке возрастания их номеров.

Числовая последовательность в общем виде обозначается так:

Здесь члены последовательности.

Члены последовательности обозначают маленькими буквами с индексами (индекс каждого члена означает его порядковый номер в последовательности). Например, – это первый член последовательности, а – сотый член последовательности. Индекс может быть только натуральным числом (т.е. 1, 2, 3, …).

Так, в приведенной выше последовательности, показывающей высоту на уровне каждого этажа дома, имеем: и т.п. Третий член последовательности по отношению ко второму считается последующим, а первый член по отношению ко второму – предыдущим (аналогично и для других членов).

Числовая последовательность бесконечна, если вместо n можно подставлять любые другие натуральные числа (бесконечное множество).

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Если же в последовательности каждый член, начиная со второго, меньше предыдущего, то такая последовательность – убывающая.

Проверь себя

6. Является ли множество натуральных простых чисел числовой последовательностью? Если да, то вычислите: а) первый член последовательности; б) второй член последовательности; в) седьмой член последовательности.

7. Каким по счету членом последовательности, представляющей собой множество натуральных четных чисел, будет число: а) 2; б) 16; в) 29?

8. Бесконечны ли следующие числовые последовательности: а) множество натуральных чисел; б) множество натуральных четырехзначных чисел; в) множество квадратов натуральных чисел?

9. Определите, является ли приведенная числовая последовательность убывающей или возрастающей:

а) 2, 9, 16, 23, ...

б)

в)

10. Числовая последовательность представляет собой множество кубов натуральных чисел. Определите номер последнего трехзначного члена этой последовательности.

Способы задания числовой последовательности

Числовую последовательность задают несколькими способами.

1. Словесно

Пример. Числовая последовательность – множество натуральных чисел, кратных четырем: 4, 8, 12, 16, ... .

2. Аналитически (формулой n-ного члена)

При такой форме задания последовательности любой член последовательности вычисляется путем подстановки его номера вместо n.

Пример. Последовательность задана формулой:

Используя эту формулу, можно легко вычислить любой член последовательности по его порядковому номеру. Например:

Пример. Последовательность задана формулой:

Такая последовательность называется стационарной и имеет вид С; С; С; С; … , где С – какое-нибудь число.

Следует отметить, что представить последовательность, изначально заданную в словесной форме, в аналитической форме не всегда просто.

3. Рекуррентно (с помощью предыдущих членов)

В этом случае указывается правило, позволяющее вычислить n-ный член последовательности, зная предыдущий ( ) член последовательности. При этом дополнительно указывается хотя бы первый член последовательности, так как предыдущих ему членов в последовательности нет.

Такой способ задания последовательности называется рекуррентным (от лат. recurrere – бежать назад, возвращаться).

Как вы заметили, название метода выбрано не случайно – при вычислении членов последовательности необходимо возвращаться к предыдущим членам. И при этом, не обязательно к одному члену. В этом мы убедимся на одном из следующих примеров.

Пример. Задать рекуррентно последовательность натуральных нечетных чисел.

Решение. Первый член такой последовательности равен 1. Для того, чтобы получить каждый последующий член, к предыдущему члену следует прибавить 2 (последовательность нечетных натуральных чисел имеет вид: 1; 3; 5; 7; …). То есть:

Таким образом, мы задали последовательность рекуррентно (т.е. через предыдущий член).

Пример. Задать рекуррентно последовательность, в которой каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, и найти первые семь членов последовательности, если а

Решение. Для того чтобы задать эту последовательность рекуррентно, потребуется использовать в формуле не только предшествующий n-ному член, по и член, следующий перед ним.

Так как для получения нового члена последовательности необходимо сложить два предыдущих члена, рекуррентная формула будет выглядеть так:

Воспользовавшись полученным рекуррентным соотношением, можно вычислить несколько членов. Имеем:

Полученная нами последовательность (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …) более известна как последовательность Фибоначчи.

Числа, встречающиеся в этой последовательности, будоражат умы математиков и по сей день – в разных сферах человеческой жизни открываются все новые и новые закономерности, развивающиеся по методу Фибоначчи (например, в биологии, архитектуре и даже игре на бирже).

Проверь себя

1. Числовая последовательность представляет собой множество нечетных натуральных чисел, кратных семи. Вычислите: а) первый член последовательности; б) пятый член последовательности; в) сотый член последовательности.

2. Задайте аналитически следующие последовательности:

а) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

б)

в)

3. Найдите шестой член в следующих последовательностях:

а)

б)

в)

4. Вычислите третий, четвертый и пятый члены числовой последовательности, заданной формулой:

а)

б)

в)

5. Определите, какой по номеру член последовательности, заданной формулой равен 0,5.

Практика

Блок А

25. Дана числовая последовательность: 7, 14, 21, 28, ... . Определите а) пятый член последовательности; б) десятый член последовательности; в) пятидесятый член последовательности. 35, 70, 350

26. Найдите сотый член последовательности -299

27. Числовая последовательность представляет собой множество чисел, кратных 11. Каким по счету членом этой последовательности будет число: а) 132; б) 188? 12, никаким

28. Дана числовая последовательность: Определите первый целый член этой последовательности. 0

29. Определите первый рациональный член последовательности: 7

30. Определите третий отрицательный член последовательности: 678, 673, 668, 663, … . -12

31. Определите, является ли приведенная числовая последовательность убывающей или возрастающей: