10. Математичні речення.

Кожна математична теорія являє собою безліч речень, що описують якусь структуру (якщо ця теорія викладається змістовно в певній конкретній інтерпретації) або якийсь аксіоматичний клас структур (якщо вона викладається абстрактно поза всякої інтерпретації).

Належність речень до деякої математичної теорії визначається двома ознаками: (а) речення записано (або сформульовано) на мові даної теорії, складається з математичних (що належать мови теорії) і логічних термінів або символів і не містить ніяких інших термінів або символів; (Б) речення істинне, тобто є або вихідним істинним реченням (аксіомою) даної теорії, або його істинність встановлюється доказом за допомогою вже відомих (вихідних або раніше доведених) істинних тверджень. З кожним математичним реченням пов'язані зміст і логічна форма (або структура).

Подання, що можна обмежитися в навчанні математики лише розкриттям змісту кожного математичного речення, помилкове. Зміст нерозривно пов'язаний з формою, і не можна осмислити перше без розуміння другого. Так як одна з центральних задач навчання математики полягає в навчанні встановлення істинності математичних речень (найчастіше за допомогою доказів), а істинне значення цих реченнь залежать від їх логічної структури, то природно вважати одним із завдань методики викладання математики розкриття логічної структури математичних речень.

Будь-яке математичне (і не тільки математичне) речення або елементарне, тобто розчленовується на частини, кожна з яких в свою чергу є реченням, або побудовано з елементарних, певним чином з'єднаних між собою логічними зв'язками.

Сукупність і порядок логічних зв'язків, за допомогою яких складне речення утворене з елементарних, становить логічну структуру цього складного речення.

Без розуміння точного сенсу логічних зв'язків не може бути досягнуто і правильне розуміння точного сенсу всієї логіко-математичної конструкції, тобто математичного речення, утвореного з їх допомогою, а отже, і вираженого в ньому математичного змісту.

Відношення рівносильности і слідування між реченнями знаходять широкі застосування в математиці і в навчанні математики. Перше з цих відншень зводиться до другого, а відношення слідування є основою будь-яких доказів.

11. Математичні доведення.

В математиці доведенням називається ланцюжок логічних умовиводів, який показує, що при якомусь наборі аксіом і правил виведення вірно деяке твердження. Тобто кажучи «математичне доведення», ми маємо на увазі доказ математичного речення. У шкільному курсі математики учні ознайомлюються з такими ос­новними методами доведень: синтетичним, аналітичним, аналітико-синтетичним (його інколи називають методом руху з двох кінців), методом доведення від супротивного, повної індукції, математичної індукції, методами геометричних перетворень (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне перенесення, гомотетія та подіб­ність), алгебраїчним методом, окремими випадками якого є векторний і координатний. У сучасному шкільному курсі застосовано також ме­тоди математичного аналізу: метод границь, методи диференціального та інтегрального числення. +Аналітичний метод. Міркування виконуються від того, що потрібно довести. При цьому з припущення правильності того, що слід довести (осно­ва), виводяться наслідки, які приводять до очевидної правильної нері­вності (наслідку). +Синтетичний метод. У ньому міркування ведуться від умови або від уже відомого твердження до того, що доводіться. Суть цього методу полягає втому, що необхідне доведення виводиться за допомогою вже відомих (доведених) тверджень. Логічною основою аналітичного методу, як і синтетичного, є аксіома: з правильного твердження завжди випливає правильний наслідок. +Аналітико-синтетичний метод. Цей метод полягає в тому, що по­шук доведення починають аналітичним методом, але міркування не доводять до кінця, а, спиняючись на певному кроці, починають мір­кувати у зворотному напрямі, тобто з розгортання умови. Отже, завер­шують доведення синтетичним методом. +Метод доведення від супротивного. Цей метод уводять уже в 7 кла­сі напочатку навчання курсу планіметрії. Його логічною основою є за­кон виключення третього: з двох супротивних тверджень одне завжди правильне, друге - неправильне, а третього бути не може. Завдяки цьому закону замість доведення певного твердження під час використан­ня методу доведення від супротивного доводять, що супротивне йому твердження - неправильне, і на цій підставі роблять висновок, що правильне доводжуване твердження. +Метод математичної індукції. Логічною основою цього методу є принцип математичної індукції, взятий в шкільному курсі за аксіому: якщо твердження А(п), яке залежить від натурального числа п, ви­конується для п = 1 або п = щ та із припущення, що воно виконуєть­ся для натурального числа п = k, де k > и0, випливає, що воно вико­нується і для п = k + 1, то це твердження виконується для будь-якого натурального числа п(п > п0). +Векторний метод. Векторний метод доведення геометричних твер­джень полягає в тому, що їхні умови і вимоги перекладають на мову векторів. Отримані векторні рівності приводять до потрібного вигляду на основі властивостей операцій над векторами, а потім результат пере­кладають у зворотному напрямі - на мову геометрії.