45. Введення поняття функції. Різні трактовки поняття функції.

Функція - одне з фундаментальних понять математики, а функціональна ідея є однією з певних ідей розвитку шкільного курсу математики.

В існуючих програмах з математики як для шкіл (класів) з поглибленим вивчення математики, так і для базових шкіл тема В«ФункціїВ» займає великий обсяг, до того ж дуже багато питань, що стосуються функцій, містить програма з математики для вступників до ВНЗ, тому особливо важливим є питання про трактування цього фундаментального поняття математики.

Існують різні трактування загального поняття функції. В математиці відомі два основних напрямки: так зване класичне , орієнтоване в основному на додаток математики у фізиці і техніці і спирається на поняття В«змінна величина В», і сучасне (або теоретико - множинне), пов'язане з відмовою від розпливчастого поняття змінної величини, яке дозволяє значно розширити поняття функції, оскільки розглядає функції не тільки від В«ВеличинВ».

Прикладом класичного напряму трактування функції може служити визначення функції: В«Залежність однієї змінної від іншої, при якій кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної, називають функціональною залежністю, або функцією.

Незалежну змінну інакше називають аргументом , а про залежної змінної кажуть, що вона є функцією від такого аргументу. " З одного боку витлумачують функцію як «відповідність (Правило) по якому для будь-якого х (незалежної змінної) з безлічі Х зіставляється цілком певне (єдине) у (залежна змінна) з Y.

З іншого боку, вони визначають функцію як відповідність між множинами: якщо Х і Y - два довільних множини, то кажуть, що на Х визначена функція f, приймаюча значення з Y, якщо кожному елементу х Х поставлений у відповідність єдиний елемент yY ".

Це вже другий сучасний (теоретико - множинне) напрямок.

Методика введення поняття графіка ф-ції у 8 кл.Вводиться поняття ф-ції конкретно-індуктивним методом: треба використовувати лінійну ф-цію, задану з допом. формули але формулу не повідомляти в готовому вигляді, а отримати її як рез-т узагальнення індуктивного вирішення завдань: №1. Площа квадрата залежить від сторони. Для кожного значення змінної а, можна знайти відпов. значення змінної S. №2. Шлях, пройдений автобусом із швидкістю 50 км/ч залежить від часу. Для кожного t >= 0 : t = 0,5 ; S = 25 ; t = 2 ;S = 100… №3. Маса шматочка крейди залежить від його обема. №4. Кожному значенню температури повітря t відпов. єдине значення висоти h стовпчика рідини в термометрі. №5.Кожному значенню змінної х відпов. єдине значення виразу 2х. Висновок: Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини М відпов. одне значення змінної у називають функцією від х. Змінну х називають аргументом функції. Множина М – обл. визначення функції; залежність між х і у – функціональною залежністю. Аргумент називають ще незалежною змінною, афункцию – залежною змінною.

За Макаревичем: кожному значенню незалежної змінної відпов. єдине значення залежної змінної. Таку залежність однієї змінної від іншої називають функціональною залежністю або функцією. Незалежну змінну інакше називають аргументом, а про залежну змінну говорять, що вона є функцією від цього аргументу.Значення залежної змінної наз. значеннями функції, всі значення, які приймає незалежна змінна, утворюють область визначення функції.

Далі по Бевзу розгл. 2 способи задання функції: формулами; таблицями.(у=2х-1; таблиці квадратів, синусів, косинусів і т.д.) Далі (по Бевзу) дається поняття про графіки ф-ції. Розглядаються ф-ції У=2х-3 де –2=<x<=5, складаються таблиці для цілих значень аргументу від –2 до 5. Висновок: Графіком ф-ції наз. множина всіх точок координатної площини, абсциси яких рівні значенням аргументу, а ординати відповідають значенням функції.Далі аналогічно будується графік у=6/х, де 1=<x<=6 і вирішується питання про те, щоб для б.-я. значення х вказати відповідне значення ф-ції по графіку; після побудови б.-я. графіку ф-ції можна скласти і таблицю її значень. Наступну функцію можна задати і графічно, тобто за допомогою графіків, це наочний спосіб. По графіку можна відразу сказати, при яких значеннях аргументу значення ф-ції додатні, відємні, рівні нулю, зростають або убувають і т.д.Існують прилади, які самі креслять графіки: термозафы, барографи, кардіографи і т.д.