49.Методика вивчення показникової функції.

Введення поняття показникової функції доцільно здійснювати за тією самою методичною схемою, за якою вивчалися всі попередні функції (див. розд. 11).

На етапі мотивації доцільно навести приклади залежностей, які виражають показниковою функцією.

У кожному з наведених прикладів формула задає функцію, для обчислення якої сталий множник доводиться множити на степінь сталої зі змінним показником, яка має цілком певне додатне значення. Найпростішим випадком таких залежностей є функція вигляду , яку називають показниковою. Означення 13.8. Показниковою функцією називають функцію у = а^х, де а - задане додатне число, що не дорівнює одиниці; х і у - змінні. Властивості показникової функції учні спочатку «читають» за графіком, а потім учитель доводить їх аналітично. Попередньо потрібно повторити властивості степенів.

Властивість 1. Областю визначення функції у = а^х є множина

всіх дійсних чисел, оскільки вираз а^х за а > 0 визначений для будь-якого х. Цю властивість можна розглянути на прикладі функції у = 2^х:

Аналогічно доводиться властивість спадання показникової функції. На цьому етапі важливо сформулювати наслідок із властивості 5, на якому ґрунтується розв'язування показникових рівнянь і нерівностей.

Властивість 6. Якщо а > 1, то за х -> +00 значення у -> +00, а за х -» -00 значення у -» 0, залишаючись додатним. Враховуючи мо­нотонність функції, можна стверджувати, що в цьому випадку функція монотонно зростає від 0 до +00.

Якщо 0 < а < 1, то за х -» +°° значення г/ -» 0, залишаючись до­датним, а за ї-> -00 значення у -» +°°. Враховуючи монотонність, можна стверджувати, що в цьому випадку у - а^х монотонно спадає від +00 до 0.

Властивість 7. Областю значень функції є множина всіх до­датних чисел.

Незважаючи на те, що за доведеною властивістю 2 функція у = а^х набуває лише додатних значень, залишається нез'ясованим питання, чи не змінюється вона стрибкоподібно. Можна довести, що показни­кова функція є неперервною, але це доводиться в курсі математично­го аналізу вищої школи.

На завершення доцільно розв'язати вправи на застосування вла­стивостей показникової функції до порівняння значень степенів, ос­нов степенів, їхніх показників, показати використання показникової функції під час вивчення явищ навколишнього світу. Такі приклади й задачі наведено у посібнику [386].

50. Методика вивчення логарифмічної функції.

Основою для розв'язування логарифмічних рівнянь і нерівностей, тотожних перетворень логарифмічних виразів є чотири теореми про основні властивості логарифмів і наслідки з них, а також деякі важ­ливі логарифмічні тотожності. Це тотожності:

Можна запропонувати учням самостійно знайти функцію, оберне­ну до показникової функції у = ах, скориставшись відомим їм алго­ритмом відшукання формули функції, оберненої до даної, з яким во­ни могли ознайомитися раніше під час вивчення обернених тригоно­метричних функцій. Учні самі доходять означення логарифмічної функції як оберненої до показникової, виконуючи три кроки.

Побудувавши графік логарифмічної функції як кривої, симетричної графі­ку функції у - ах відносно прямої у = х (рис. 13.11), учні спочатку «прочитують» властивості цієї функції за графіком, а потім доводять їх аналітично, використо­вуючи теорему про властивості взаємно обернених функцій.

У зв'язку з вивченням логарифміч­ної функції достатню увагу потрібно приділити засвоєнню логарифмічних то­тожностей та застосуванню їх до об­числення значень виразів, тотожних перетворень логарифмічних виразів, розв'язування логарифмічних рівнянь, нерівностей та їх систем.