9. Математичні поняття.

Кожна наука оперує своїми поняттями. За допом. понять ми виражаємо заг., істотні ознаки предметів і явищ, процесів і відносин об'єктивної дійсності. У математичних поняттях відображаються в осн. кількісні відносини і просторові форми матеріального світу.

Кожне поняття характеризується об'ємом і змістом.

Об'єм поняття– це множина об'єктів, на які розповсюджується дане поняття. Зміст поняття – це сукупність основних ознак об'єктів, що охоплюються цим поняттям. Зміст поняття розкривається за допомогою визначення, об'єм – за допом. класифікації. За допом. визначення і класифік. окр. поняття організовуються в с-му взаємозв'яз. понять.

У ШКМ уміння вказати об'єм поняття виявляється за допом. завдань типу: наведіть приклади різних трикутників, а уміння вказати зміст - за допом. завдань типу: що називається трикутником? Між об'ємом і змістом має місце закон зворотного відношення: чим ширше зміст поняття, тим вужчий його об'єм і, навпаки. Наприклад, поняття «трикутник». Додамо до 2-х його ознак: 1)плоский многокутник; 2)наявність 3-х сторін. Ще третю: 3) 2 сторони рівні. Отримали нове поняття «рівнобедрений трикутник». Зміст ширший, а об'єм вужче: множина рівнобедр. трикутників є підмнож. м-ни трикутників взагалі.

Формування понять– складний психологічний процес, що зазвичай протікає по такій схемі: відчуття – сприйняття – уявлення – поняття.Поняття абстрагується від індивід. рис і є рез-том узагальнення сприйняття і представлення вел. к-ті однорідних предметів і явищ. Завершальним етапом формування поняття, як прав., є його визначення.

Перерахування необх. і достатніх ознак поняття, зведених в зв'язну пропозицію, є визначення поняття. У ШКМ визначення розглядають як математичну пропозицію, яка зводить дане поняття мат-ки до вже знайомих мат-них понять. Необх., щоб учні розуміли, що ніякі визначення не доводяться. Про визначення не має сенсу говорити, істинне воно або хибне. Визначення м.б. правильним (коректним) або неправильним (некоректним) залежно від того, задовольняє воно чи ні певним вимогам (відсутність порочного круга і відсутність омонімії).

У математиці і в навчанні математики застосовуються різні способи визначень.

І. «Через найближчий ряд і видову відмінність».Наприклад, означення поняття «квадратне рівняння» – рівняння (рід) + вигляду «ромб» - паралелограм (рід) + сторони якого рівні (видова відмінність). Такі визначення дозволяють замінити при необхідності, наприклад, при доказі теорем, одне поняття іншим.

ІІ. Генетично(спосіб, вказуючий на походження поняття). Наприклад, визначення кола, круга, сфери, кулі, лінійного кута, двогранного кута, конуса, циліндра як тіл обертання – генетичні. Проте не всі математичні поняття визначаються таким чином. Процес зведення одного поняття до інших не може бути нескінченним. Тому є первинні поняття, які явно не визначаються через інші поняття, їх властивості виражаються в аксіомах, це неявні аксіоматичні визначення понять, наприклад, точка, пряма, площина, натуральне число