51.Методика вивчення числових послідовностей та прогресiй в шkm.

Арифметичною прогресією називається кожна числова послідовність, задана рекурентною формулою , де d- стале число. Це число називається різницею прогресії.

Відомо, що лінійною називають функцію, задану рівністю . Якщо ж у цій формулі аргумент х пробігатиме тільки множину натуральних чисел, значення функції становитимуть арифметичну прогресію. Правда, аргумент функції, заданої на множині натуральних чисел, частіше позначають буквою п, а не х. Тому можна сказати і так: послідовність, задану формулою , де а і b- дані числа, а п - змінна, яка може набувати тільки натуральних значень, називається арифметичною прогресією. Наприклад, формула визначає таку арифметичну прогресію:

5, 8, 11, 14, 17, ... .

Після цього можна ввести поняття різниці арифметичної прогресії, записати арифметичну прогресію у вигляді

Звідки індуктивно дістати формулу її загального члена:

Але можна вивести її також з рекурентної формули Для цього треба записати формулу при п = 2, 3, ... , п і додати рівностей:

+ . . . . . . . . . . . . .

_____________________

Сума п членів арифметичної прогресії Формулу

в усіх посібниках виводять однаково. Спочатку показують, що сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від початку і кінця, дорівнює сумі першого і останнього членів.

геометричною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме число. Це стале для даної послідовності число qназивають знаменником геометричної прогресії. Або таке означення: геометричною прогресією називається числова послідовність, яку можна задати рекурентною формулою , де q- стале число.

Треба добитися, щоб учні вільно записували будь-яку геометричну прогресію у вигляді

Загальний член цієї прогресії можна дістати, міркуючи за індукцією або розписавши рекурентну формулу для п = 2, 3, ..., п і помноживши знайдені формули:

× . . . . . . . . . . . .

____________

- Геометрична прогресія із знаменником - зростаюча, із знаменником - спадна, якщо , і навпаки, якщо .

Іноді розглядають і прогресії із знаменником , їх називають стаціонарними послідовностями.

Знаменник геометричної прогресії не може дорівнювати нулю. Наприклад, послідовність 3, 0, 0, 0, ... не є геометричною прогресією.

Формулу суми перших п членів геометричної прогресії

52. Методика вивчення тригонометричних функцiй.

Тригонометрія традиційно є однією з найважливіших складових частин ШКМ. У математиці тригонометричні функції (ТФ) часто визначаються аналітичним шляхом, але ТФ можуть бути визначені і геом. засобами. Такі визначення і викор. в ШКМ, оскільки вони наочні і доступні.

Етапи вивчення ТФ в школі:

1. ТФ визначаються для гострого кута прямокутного трикутника;

2. введенні поняття узагальнюються для кутів від 0^о до 180^о ;

3. ТФ визначаються для довільних кутових величин і дійсних чисел.

Перші два етапи реалізовуються в курсі геометрії (8кл), третій в курсі алгебри і початків аналізу (10кл).

1. На першому етапі cos, sin, tg визначаються не для довільного гострого кута, а для гострого прямокутного трикутника. Наприклад, косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

При закріпленні визначення cosα необхідно 2 типи завдань:

1. сформулюйте визначення cos α;

2. як знайти cosα, користуючись його визначенням.

Аналогічна робота з визначенням sin, tg. Необхідно на цьому етапі чітко відпрацювати алгоритми – правила знаходження катета або гіпотенузи.

На основі даних визначень будується невеликий пропедевтический курс тригонометрії, який має найголовніше загальноосвітнє значення. Він складається з основної тотожності: sin²α+cos²α=1, 1+tg²α=1/cos²α, 1+1/tg²α=1/sin²α, які дають можливість по даному значенню однієї з ТФ, знайти 2 інші, знаходити значення деяких кутів і т.д. Вивчаються формули зведення і теореми зростання синуса і спадання косинуса.

II етап - в темі «Декартові координати на площині»(8кл.) даються за допом. координат генетичні визначення (генезис-походження) синуса, косинуса, тангенса кутів від 0^о до 180^о. У цих визначеннях указуються побудови і обчислення, що дозволяють знайти значення ТФ.

Візьмемо коло на площині ху з центром в поч. координат і радіусом R. Неай α гострий кут, який утворює радіус ОА з додат. піввіссю ох. Нехай х і у – координати т.А. значення sinα, cosα, tgα для гострого кута α виражаються через координати т.А: cosα=x/R; sinα=y/R; tgα=y/x. Словесне визначення sinα: синусом кута α наз. відношення ординати у точки А(х;у) кола до її радіуса R.

Доведення формул зведення для кута (180^о-α) дає можливість обчислювати ТФ тупих кутів, а сформовані тут уміння викор. при розвязанні трикутників в курсі 9 класу.

Оскільки для геометрії важливий не загальнофункціональний погляд на ТФ (обл. опр., обл. значень, монотонність і так далі), а їх прикладна сторона (розвязання прямокутних і довільних трикутників, теорема синусів і косинусів, застос. тригонометричної тотожності),то на І і ІІ етапах немає терміну «тригонометрична функція», замість нього вживаються слова «косинус кута», «синус кута», «тангенс кута».

III етап (Алгебра і початок аналізу, 10кл. Шкіль). Зміст: «Тригонометричні ф-ції» - 18год.: ТФ кута, система радіан. вимірювання кутів і ін. ТФ числового аргументу. Періодичність ТФ, побудова графіків ТФ, властивості ТФ, співвідношення між ТФ, тригонометрична тотожність. Основна мета: ввести поняття ТФ довільного кута і ТФ числового аргументу, побудувати графіки і довести основні властивості ТФ.

У геометрії ТФ розглядалися як функції кута. Проте вимоги самої математики і її застосування вимагають розгляди ТФ числового аргументу. Вивчення теми поч. з повторення матеріалу про ТФ з курсу геометрії 8 кл. і введення поняття кута повороту. Після знайомства кутів, учні знайомляться з різними системами вимірювання дуг, грунтовно вивч. система радіанної міри і формули переходу від градусної міри кута до радіанної і навпаки.

Перед введенням визначень ТФ числового аргументу повторюються відомості про незалежність ТФ від радіусу R кола і тому вважають R=1, а відповідне коло називається одиничним. Далі розв. завдання, що підводить: на одиничному колі побудувати точки, на яких відображається початкова точка Р₀(1;0), при повороті навколо центру на кут α радіан, якщо: α=0; α=π/4; α=-π/4; α=-1; α=2. Після розв. зробити висновок: кожному дійсному числу α на одиничному колі відповідає точка Р_α, положення якої залежить від числа α; кожній точці Р_α на одиничному колі відповідає певна абсциса і ордината, які також залежать від α. Отже, маємо залежність між дійсним числом α і абсцисою і ординатою відповідної точки одиничного кола, на яке відображається початкова точка Р₀ при повороті на кут α радіан. Ці залежності отримали назву тригонометричних функцій числа, або ТФ числового аргументу.

Графіки ТФ будуються геометричним методом. Вони викор. при вивченні властивостей ТФ і їх доведеннях. Доцільно всі відомості про вл-ті ТФ дати у вигляді опорної таблиці.

53.Понятгя границi та неперервностi функцiй.

54.Поняття границi оберненоi функцiї в ШKM.