2.3 Cредние величины, вариация

Средняя — обобщающий показатель, выражающий типичные размеры количе­ственно варьирующих признаков качест­венно однородных исследуемых явлений. Выражает равнодействующую влияния всей совокупности факторов на вариацию признака.

Средняя характеризует общий уро­вень этого признака, отнесенный к единице совокупности (средний уровень жизни, средняя урожайность определенной сельскохозяйственной культуры, средняя зарплата и др.), Так, средняя заработная плата совокупности рабочих представляет собой отношение суммы заработной платы всех рабочих к их числу.

Основное требование научного применения средней состоит в том, чтобы она характеризовала качест­венно однородные в отношении осредняемого признака совокупности. Если при расчете средней объединяются качественно разно­родные совокупности (разные социальные группы), то в этом случае получаемые показа­тели искажают действительность. Выде­ление качественно однородных совокупностей производится на основе мето­да группировок. Чтобы средняя выражала типические размеры призна­ка, она должна основываться на массовом обобщении фактов. В этом случае на ее значение не будут оказывать существенное влияние случайные факторы.

В зависимости от характера осредняемого признака и имеющихся данных, применяются различные виды средней (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая и др.).

Средняя арифметическая простая - используется по не сгруппированным данным и представляет собой сумму отдельных (i) значений признака (х1, х2, х3, ..., хп), деленную на их число (п):

х = åх : п

где хi — варианты,

п - число наблюдений.

Средняя арифметическая взвешенная - исчисляется из значений варьирующего признака (ва­риант) с учетом весов, т. е. используется по сгруппированным данным.

х = å хf : Σ f

где f — веса,

Средняя взвешенная исчисляется, когда различные вариан­ты в вариационном ряду встречаются по несколько раз. Весом в этом случае является частота, т. с. показатель того, сколько раз данная варианта встречается в ряду. С этим весом варианта входит в расчет средней.

Группы работников по уровню оплаты, тыс. руб. (x )	Число работников в группе, чел. ( f )	Фонд оплаты труда, тыс. руб.(f x)
20	10	200
30	20	600
40	30	1200
50	20	1000
60	10	600
Итого	90	3600

Σ f x 3600

x = ---------- = -------- = 40 тыс. руб./ чел.

Σ f 90

Исчисление средней арифметической из величин интервального ряда

Иногда варианты признака, из которых исчисляется средняя, представлены в виде интервалов (от − до). В таких случаях условно принимается за среднюю середина каждого интервала после чего взвешивание производится обычным порядком с учетом вида интервала:

Пример:

Закрытый интервал:

Группы рабочих по оплате труда, тыс. руб./чел.	Средняя оплата труда, тыс. руб./чел. (х)	Число рабочих в группе, чел. (у)	Фонд оплаты труда в группе, тыс. руб. (х у)
30 – 40	35	10	350
40 – 50	45	20	900
50 - 60	55	10	550
Итого	-	40	1800

1800

х = ------- = 45 тыс. руб. /чел.

40

Средняя зарплата составила 45 тыс. руб. на человека.

Открытый интервал

Выполнение нормы выработки, %	Среднее значение- интервала, % (х)	Число рабочих в группе, чел. (у)	Фонд нормо-человек (х у)
до 80	70	20	1400
80 – 100	90	60	5400
100 – 150	125	150	18750
150 – 200	175	30	5250
свыше 200	225	10	2250
Итого	-	270	33050

Среднее значение интервала «до» определяется следующим образом: величина интервала принимается равной следующего интервала (в данном случае 20 % (80 - 100), в этом случае получаем начальное значение интервала равное «60» (80 - 20). В целом первый интервал составляет «60 - 80» и соответственно среднее значение равно 70%.

Аналогично рассчитывается среднее значение интервала «свыше 200»: величина предыдущего интервала составляет 50% (200 - 150), следовательно величина последнего интервала будет 200 - 250 и соответственно среднее значение интервала составит 225%.

33050

х = ---------- = 122,4 %

270

Средняя норма выработки составила 122,4 %.

При использовании данных средних следует учитывать, что средняя из величин интервального ряда обычно носит приближенный характер, т.к. при их расчете были допущены определенные условности (взята середина интервала, распространение величины последующего и предыдущего интервалов при расчете интервалов «до» и «свыше»).

Средняя гармоническая - применяется, когда в качество весов выступают произведе­ния значений варьирующего признака на количество единиц, обладающих данным его значением (Σ fx : x).

Если для расчета средней имеются не три ряда данных (x, f, fx), а только два (x, fx). В этом случае расчет производится по формуле, являющейся модификацией формулы (стр. 48).

Σ fx 3600

X = --------------- = ----------------------------------------------------------------- =

Σ fx : x 200 : 20 + 600 : 30 + 1200 : 40 + 1000 : 50 +600 : 60

3600

= -------- = 40 тыс. руб./ чел.

90

Результат получен тот же, что и по формуле на стр.48.

При расчете средней цены, скорости, темпов роста следует пользоваться не средней арифметической, а средней гармонической

Пример. Необходимо определить среднюю цену реализации продукции 3 сортов по данным следующей таблицы (табл.3).

Таблица 3

Продукция	Цена, тыс. руб./т. (x )	Выручка, тыс. руб. (f x)
1 сорт	50	5000
2 сорт	45	135
3 сорт	40	80
Итого	-	5215

Σ fx 5215 5215

X = --------------- = ------------------------------------ = ----------- 49 666, 7 руб./т

Σ fx : x 5000 : 50 + 135 : 45 + 80 : 40 105

Средняя геометрическая используется при расчете средних темпов роста и исчис­ляется путем извлечения корня степе­ни п из произведения отдельных значений признака:

К = ПК,

где п равно числу значений признака,

П — знак пере­множения.

К – отдельные темпы роста

Пример. Необходимо определить средний темп роста продукции завода «Маяк» за три года по следующим данным.

Годы (К)	Производство продукции, т	Темпы роста продукции (цепные), коэффициенты
1	500	1,000
2	525	1,050
3	550	1,048
Итого	1575	1,0 ????

‗

К = ПК = 1,000 х 1,050 х 1,048 = 1, ???

Средняя хронологическая - средняя, исчисленная по совокупности значений показателя в разные моменты или периоды времени. В зависимости от вида ряда динамики, применяются различные способы ее расчета: средняя хронологического интервального ряда, средняя хронологического моментного ряда.

Средняя хронологического интервального ряда - средняя величина из уровней интервального ряда динамики, исчисляется по формуле:

å y

y = --------- ,

n

где y - средний уровень ряда;

y - уровень ряда динамики;

n - число членов ряда.

Средняя хронологического моментного ряда.

При равных промежутках времени между датами, на которые имеются данные, и равномерном изменении размера показателя между датами, средняя хронологического моментного ряда исчисляется по формуле:

1: 2 y 1 + y 2 + .... + yn - 1 + 1 : 2 y n

y = -----------------------------------------------

n - 1

Пример. По следующим данным определите среднюю выручку за 1 квартал.

	Январь	Февраль	Март
Выручка на 1 число, тыс. руб.	100	120	90

1 : 2 х 100 + 120 + 1 : 2 х 90

y = --------------------------------------- = 107,5 тыс.

2

Таким образом, среднемесячная выручка за первый квартал составила 107,5 тыс. руб.