- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
Глава 19. Элементарная теория удара
§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
Явление удара тела о неподвижную преграду или соударения двух движущихся тел связано с процессом деформации тел вблизи точки их соприкасания и распространением волны сжатия внутри этих тел. Этот процесс не может быть изу
Рис 69 чен в рамках механики абсолютно твердого тела.
Предметом изучения теоретической механики служит лишь сравнение движения точки или системы точек до и после удара; при этом явление удара рассматривается как некоторый скачкообразный процесс, продолжительность которого бесконечно мала. На самом деле, продолжительность удара представляет хотя и очень малую, но конечную величину, зависящую от многочисленных физических факторов: упругих характеристик материала соударяющихся тел, их формы и размеров, относительной скорости сближения и др. В качестве примера укажем, что продолжительность соударения двух латунных шариков диаметра 26 мм при относительной скорости их сближения 74 мм/сек равна t = 2 сек. Рассмотрим часто встречающийся случай, когда модуль F, возникающих при контакте сил изменяется по закону, изображенному на рис 69. До соударения модуль сил F равен нулю, затем растет, достигая некоторой максимальной величины, после чего быстро падает, обращаясь снова в нуль при t>τ. Импульс силы за время τ ее действия определяется обычной формулой
будем считать, что импульс силы при ударе конечен, хотя время действия импульса очень мало, а сила при этом очень большая. На основании теоремы об изменении количества движения имеем , или . Здесь и скорости точки в начале и конце удара. Так как импульс силы конечен, то при ударе скорость точки мгновенно изменяется на конечную величину. Найдём перемещение точки за время удара. Рассмотрим силу , изменяющуюся за время удара. Тогда и
.
Интегрируя последнее равенство в пределах от нуля до τ , получим
, (6.5)
Где и - радиусы – векторы точки в конечный и начальный моменты времени, а - среднее значение импульса на отрезке (0, τ) . Из формулы (6.5) видно, что перемещение точки при мгновенном действии ударной силы равно нулю.
К оэффициент восстановления. При соударении двух тел в точке контакта возникают ударные силы, приложенные к каждому из тел. Они имеют одинаковые модули и противоположно направлены. Пренебрегая трением, будем считать, что ударные силы и их импульсы и направлены по общей нормали к поверхностям
Рис 70 соударяющихся тел (см.рис 70 ). Как показывают наблюдения, гипотеза об абсолютной твердости тел является недостаточной для объяснения процесса удара и необходимо учитывать физические свойства тел. Сам процесс удара можно разбить на две фазы. В течение первой фазы происходит сближение тел по линии общей нормали, в результате чего проекция на нормаль относительной скорости точки контакта тел уменьшается до нуля. Вслед за этим начинается вторая фаза удара: тела, восстанавливая свою форму, начинают удаляться друг от друга, нормальная составляющая относительной скорости точки соприкосновения, переменив знак, возрастает по абсолютной величине, но не достигает, как правило, своего значения, в начале удара. Как показывают опыты, в первом приближении можно принять следующую гипотезу (гипотеза Ньютона): отношение модуля нормальной составляющей относительной скорости точки контакта тел после удара к ее величине до удара есть некоторая физическая постоянная, характеризующая физические свойства соударяемых тел, но не зависящая от их массы и относительной скорости. Эта физическая постоянная называется коэффициентом восстановления. Обозначая коэффициент восстановления через k и учитывая, что полного восстановления скорости, как правило, не происходит, будем иметь . В предельном случае, когда k = 1, удар называется абсолютно упругим, во втором предельном случае, когда k= 0, удар называется абсолютно неупругим. В остальных случаях (0<k<1) удар называется не вполне упругим, или просто упругим. Заметим, что при абсолютно неупругом ударе двух тел нормальная составляющая относительной скорости точки соприкосновения после удара равна нулю. Для таких тел весь процесс удара заключается только в первой фазе; после максимального сближения тел восстановления их формы в точке контакта не происходит, и оба тела движутся в дальнейшем совместно (в частности, оба тела могут остановиться) или одно тело скользит по поверхности другого.
Обозначим через единичный вектор общей нормали к поверхностям тел в точке контакта, направленный внутрь второго тела. Пусть и - скорости точек контакта первого и второго тел в начале удара, а и —соответствующие величины в конце удара. Тогда, по определению коэффициента восстановления, будем иметь
Коэффициент восстановления может быть определён следующим образом Представим себе, что одно из соударяемых тел выполнено в виде плиты и неподвижно закреплено в горизонтальном положении, другое тело— шарик. Шарик поднят на высоту над плитой и отпущен без начальной скорости. Скорость его в момент соприкосновения с плитой вычисляется по известной формуле , измерив высоту h, на которую поднимается шарик после отскакивания, можно найти его скорость в конце удара: . Таким образом, коэффициент восстановления k оказывается равным . Значения коэффициентов восстановления для различных пар соударяемых материалов приводятся в справочниках. Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся тел находятся на общей нормали, проведённой в точке контакта. Р ассмотрим косой удар точки о неподвижную преграду с учётом мгновенного трения, возникающего в точке контакта (рис. ). Запишем два отношения
.
Первое – отношение нормальных составляющих скоростей после и до удара, второе – отношение касательных составляющих скоростей, где λ – коэффициент мгновенного трения. Разделив второе на первое, получим
.
Скорость после удара равна