![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
Проектируя уравнение (1) на координатные оси и учитывая зависимости задаваемых сил от координат, скоростей и времени, получим дифференциальные уравнения динамики точки. Так, для декартовых координат имеем:
(3.2)
Дифференциальные уравнения движения в цилиндрической системе координат будут иметь вид
;
В заключение приведем дифференциальные уравнения динамики точки в проекциях на оси натурального триэдра; эти уравнения бывают особенно удобны в тех случаях, когда известна траектория движения точки. Проектируя уравнение (3.1) на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории, получаем
,
,
Рассмотрим
теперь на примере уравнений динамики
точки в декартовых координатах (3.2)
постановку и процесс решения задач
динамики точки. Существуют две основные
задачи динамики точки: прямая
и
обратная.
Первая
задача динамики (прямая)
состоит
в следующем: дано движение точки,
обладающей массой
,
т.
е. заданы функции
(3.3)
требуется
найти силы, вызывающие это движение.
Решение этой задачи не представляет
затруднении. Согласно уравнениям
(3.1) и (3.3) находим проекции
для
чего дважды дифференцируем заданные
функции (3.3).
,
,
(3.4)
Выражения (3.4) представляют проекции равнодействующей всех сил, действующих на точку; часть сил (или часть проекций) могут быть известными, остальные (но не более трёх проекций) найдутся из уравнений (3.4). Эту задачу можно формально привести к решению задачи статики, если переписать уравнение (3.1) в виде
Здесь
-
сила инерции точки, проекции которой
на оси х,
у, z
равны
выражениям (3.3) с противоположными
знаками. Формальное сведение задачи
динамики к задаче статики при помощи
введения сил инерции, которое довольно
часто практикуется в задачах механики,
носит название метода
кинетостатики.
Вторая (обратная) задача динамики точки ставится следующим образом: на точку массы т, положение и вектор скорости которой в начальный момент времени известны, действуют заданные силы; требуется найти движение этой точки (ее координаты х,у,z) как функции времени. Так как правые части уравнений (2) -проекции сил на оси х, у, z- являются известными функциями координат, их первых производных и времени, то для получения требуемого результата надо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Аналитическое решение такой задачи оказывается возможным лишь в отдельных частных случаях. Однако численные методы позволяют решить задачу с практически любой необходимой степенью точности. Предположим, что мы проинтегрировали систему дифференциальных уравнений (3.2) и нашли выражения для координат х, у, z в функции времени. Так как система (3.2) имеет шестой порядок, то при интегрировании ее появятся шесть произвольных постоянных и мы получим следующие выражения для координат:
(3.5)
Для
определения постоянных
(i
= 1,
2,...
6)
в этом решении следует обратиться к
начальным условиям задачи. Записывая
поставленные условия применительно к
декартовым координатам, имеем при t
=
0
(3.6)
Подставляя в найденное выражение (3.5) первую группу начальных условий (3.6) при t =0, получаем три уравнения, связывающие постоянные интегрирования:
Недостающие три соотношения находятся следующим образом: дифференцируем уравнения движения (3.5) по времени и подставляем в полученные выражения вторую группу начальных условий (3.6) при t = 0; имеем
Решая теперь совместно эти шесть уравнений, получим искомые значения шести произвольных постоянных интегрирования (i = 1, 2,... 6), подставляя которые в уравнения движения (3.5), находим окончательное решение задачи.
(9)
При составлении дифференциальных уравнений движения точки для конкретного случая следует, прежде всего, оценить действия различных факторов: учесть основные силы и отбросить второстепенные. При решении различных технических задач часто пренебрегают силами сопротивления воздуха и силами сухого трения; так, например, поступают при вычислении собственных частот колебательных систем, на значения которых упомянутые силы оказывают незначительное влияние. Если тело движется вблизи поверхности земли, то его силу тяжести считают постоянной, а поверхности земли — плоской; при удалении от поверхности земли па расстояния, сравнимые с ее радиусом, необходимо уже принимать во внимание изменение силы тяжести с высотой, поэтому в таких задачах используется закон тяготения Ньютона.
Нельзя пренебрегать силой сопротивления воздуха при больших скоростях движения тела; в этом случае обычно принимают квадратичный закон сопротивления (сила сопротивления считается пропорциональной квадрату скорости движения тела).
(3.6)
Здесь
-
скоростной напор, ρ
– плотность среды, в которой движется
точка,
-
коэффициент сопротивления,
-
характерный поперечный размер. Однако,
как будет показано ниже, в некоторых
задачах необходимо учитывать внутреннее
трение в жидкости (в газе), что приводит
к более общей формуле для определения
силы сопротивления
Если движение тела происходит в вязкой среде, то и при небольших скоростях движения надо учитывать силу сопротивления, однако в этой задаче достаточно считать ее пропорциональной первой степени скорости.
Пример.
Рассмотрим задачу о прямолинейном
движении точки в среде с сопротивлением,
сила сопротивления задана выражением
(3.6). Начальная скорость точки -
,
конечная -
.
Надо определить среднюю скорость
движения на заданном интервале скоростей.
Из формулы (3.2) имеем
или
(3.7)
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, решение которого может быть представлено в виде
,
решение которого запишется в виде
(3.8)
Для
определения пройденного расстояния
перейдём к новым координатам, для этого
умножим левую и правую части уравнения
(3.7) на
;
при этом заметим, что
,
тогда и здесь получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
,
решение которого может быть представлено в виде
(3.9)
Из формул (3.8) и (3.9) получаем выражение для средней скорости
.
Для
средняя скорость равна
.
Но
если положить
,
то нетрудно увидеть, что в этом случае
и
,
то есть движущееся тело никогда не
остановится, что, во-первых, противоречит
здравому смыслу, а во-вторых неясно чему
будет равна средняя скорость. Чтобы
определить
возьмём левые интегралы в пределах от
до бесконечно малого
ε,
тогда
получим
и
.
Неопределённость
вида
раскрыта по правилу Лопиталя. Столь
необычный результат является следствием
неправильно выбранной модели сопротивления
движению. Рассмотрим пример, в котором
сила сопротивления задана формулой
.
Как и в предыдущем случае имеем
дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными
или
.
Проделав выкладки аналогичные предыдущему решению, получим
,
Для имеем
.
Для определения пройденного расстояния переходим к зависимости S(x) и получаем
Для имеем
,
Тогда средняя скорость равна
(3.10)
Как видно в этом случае время и пройденный путь конечны, а средняя скорость определяется формулой (3.10).