§ 9. Интеграл энергии.
Предположим,
что время не входит явно в выражение
кинетического потенциала (функции
Лагранжа)
,
т.е. связи предполагаются стационарными.
Составим полную производную по времени
от кинетического потенциала, учитывая,
что
,
а
(4.36)
Преобразуем первую сумму к виду
,
(4.37)
а уравнение Лагранжа запишем с учетом диссипации энергии и других сил в следующей форме
.
(4.38)
Подставив (4.37) в выражение (4.36), получим
.
(4.39)
Сравнивая второе слагаемое в выражении (4.39) с уравнением Лагранжа в форме (4.38), перепишем полученное равенство (4.39) в виде
.
(4.40)
В
случае стационарных связей
,
а (по формуле 4.32)
,
тогда выражение (4.40) можно записать в
виде 
или
. (4.41)
Изменение полной механической энергии, подчинённой стационарным связям, в единицу времени равно мощности непотенциальных приложенных сил (первое слагаемое в правой части (4.41) - мощность диссипативных сил).
Вопросы для самопроверки.
1. Напишите диф. уравнение движения стержня, скользящего концами по наклонной и горизонтальной поверхностям. Масса стержня m, длина l. Трение отсутствует (рис 1).
2. Что такое возможные перемещения (определение)?
3
.
Сколько степеней свободы имеет система,
состоящая из 4 (3,5…) точек, на которую
наложено 4 (3,5…) голономных связей?
4. Что Вы можете сказать о связи, представленной выражением F= bx +cy -аt >0?
5. Сформулируйте статический принцип возможных перемещений (в самой общей формулировке).
6. Как формулируется статический принцип возможных перемещений в обобщенных координатах?
7. Как формулируется динамический принцип возможных перемещений (общее уравнение динамики)?
8. Напишите уравнение Лагранжа 2го рода в общем виде.
9. Как записывается уравнение Лагранжа 2го рода в случае консервативной системы сил?
10. Как записывается диссипативная функция Рэлея?
11. Напишите уравнение Лагранжа с учетом сил диссипации и возмущающих сил.
12. Как изменяется полная механическая энергия при наличии диссипации и возмущающих сил .
1
3.
Определите горизонтальную реакцию в
шарнире О,
если угол ОАВ
равен 120 град., точка К
посередине ОА,
ОА=АВ=L.
1 4. Определить соотношение между моментом М и силой Q, если угол ОВА равен 30, а угол ВОА—60град.
16. Чему равна горизонтальная (вертикальная) реакция в шарнире В? Система состоит из двух стержней, в точке С шарнир, треугольник АВС равнобедренный со сторонами АС=ВС=L, угол при основании 60 град, сила Р перпендикулярна ВС и приложена в середине стержня.
РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ
Малые колебания системы с одной степенью свободы.
__________________________________________________________