- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 3. Пара сил и её свойства.
Рассмотрим две силы и , равные по величине и направленные в противоположные стороны, но действующие на тело не по одной прямой (рис. 6). Сумма этих двух сил равна нулю, а момент?
h
(1.2)
Перечислим основные свойства пары сил как свободного вектора:
Пару сил можно переносить в плоскости действия, пару сил можно переносить в плоскость параллельной исходной. Из формулы (1.2) следует, что, оставляя неизменным один из сомножителей, можно менять два остальные, сохраняя при этом значение момента пары: так, например, оставляя неизменным угол α, можно пропорционально изменить величины АВ и F. Совокупность пар, как угодно расположенных в пространстве, статически эквивалентна одной паре с моментом, равным векторной сумме моментов слагаемых пар. Это обозначает: чтобы сложить моменты нескольких пар надо сложить векторно их моменты или по правилу параллелограмма или векторного многоугольника.
Здесь следует отметить, что, если две пары имеют одинаковый момент, нельзя говорить, что они равны, их действие на тело статически эквивалентно. Пара сил, вообще говоря, является искусственным элементом, так как подобрать равными и параллельными две силы можно только с точностью измеряющих эти величины приборов, но введение её как элемента момента силы будет полезно при дальнейшем
Рис 6. изложении материала.
§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
П усть заданы какие-то два произвольных вектора и . Мы хотим сложить эти два вектора. Если что-то складывать, то, во-первых, надо выбрать место, куда складывать, а во-вторых, определиться, как складывать. "Место'"— это центр приведения, выбранная нами произвольно точка О. А правила сложения объясним на конкретном примере. Приложим нулевой вектор ( , ) в точке О, причем выберем модули этих векторов равными модулю . Итак, был вектор , стала совокупность трёх векторов ( , , )). Сгруппируем их теперь по другому( , ( , ))≈( ,( ,, )). Вроде бы ничего не изменилось (знак ≈ обозначает эквивалентность), но получили силу ,приложенную в выбранном центре О, и совокупность ( , ), образующих пару сил с моментом . Если проделать те же операции с вектором , то получим
≈( ,( , ))≈( ,( , ))
то-есть получили силу , приложенную в выбранном центре, и пару сил ( , ) с моментом .Теперь два вектора приложены в том же центре О, и их можно сложить по правилу параллелограмма. Но!!! Помимо суммы этих двух векторов еще есть сумма двух пар, двух свободных векторов, которое тоже можно сложить и получить результирующий вектор момента. Получили СИЛУ и МОМЕНТ! Чему равна сила? — сумме двух заданных сил. а момент? - моменту этих двух сил относительно выбранного центра. Все изложенные соображения можно распространить и на сколь угодное количество сил. Результатом этих преобразований будет сила, равная сумме слагаемых сил, и пара сил с моментом равным сумме моментов пар.
, ( 1.3 )
Вектор называется – главный вектор системы сил.
Вектор называется – главный момент системы сил относительно выбранного центра.
Метод Пуансо приводит, таким образом, к следующей основной теореме статики: произвольная пространственная система сил, приложенная к твердому телу, статически эквивалентна силе, равной главному вектору, приложенной в произвольной точке тела (центре приведения), и паре сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно указанного центра приведения.
Теперь можно дать более точную формулировку статической эквивалентности двух систем сил: если две системы сил имеют одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра приведения, то такие системы сил статически эквивалентны.
Как меняются главный вектор и главный момент при переходе к другому центру приведения? Из построения на рис. 7 видно, что сумма всех сил, а, следовательно, и главный вектор системы сил, не изменится. Главный же момент будет другой, так как теперь моменты сил надо будет считать относительно другого центра, плечи пар станут другими. Пусть новый центр будет в точке Р. Тогда,
(5)
Первое слагаемое - момент сил относительно старого центра, второе- момент главного вектора относительно нового центра, тогда окончательно запишем
(1.4) т.е. главный момент сил зависит от центра приведения. Умножим скалярно выражение (1.4) на орт главного вектор, т.е. спроектируем вектор главного момента на направление главного вектора сил
Второе слагаемое равно нулю как скалярное произведение ортогональных векторов, следовательно
(1.5)
Проекция главного момента на направление главного вектора есть величина постоянная и не зависит от выбора центра приведения. Величины, не зависящие от выбора центра приведения, называются статическими инвариантами. Т.о. имеются две статически инвариантные величины: главный вектор системы сил и проекция главного момента на направление главного вектора.