![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
В
кинематике была получена формула,
связывающая абсолютную и относительную
производные переменного вектора
(3.62)
Напомним,
что здесь
- абсолютная производная, выделяемая
неподвижным наблюдателем;
-
относительная производная, вычисляемая
подвижным наблюдателем;
-
угловая скорость подвижного наблюдателя.
Перейдем к составлению уравнений
движения твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной точки О.
Кинетический момент твердого тела в
этом случае выражается формулой
(Свяжем систему осей Oxyz с вращающимся телом и воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента с учётом формулы (3.62)
(3.63)
Тензор
инерции твердого тела в осях, связанных
с самим телом, будет постоянным, поэтому
относительная производная его будет
,
и выражение (3.63) следует записать в виде
Тогда векторное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной точки будет иметь вид
(3.64)
Предполагая оси х, у, z главными, имеем
Проекции уравнения (3.64) на оси, связанные с телом, будут
(3.65)
Уравнения (3.65) называются динамическими уравнениями Эйлера.
Если
удобнее рассматривать уравнения вращения
в проекциях на подвижные оси х',
у', z',
не
связанные с твердым телом (а такие случаи
бывают, например, в теории гироскопов),
то уравнение (3.65) следует предварительно
преобразовать:
,
здесь
-
относительная производная кинетического
момента, вычисленная наблюдателем,
связанным с системой осей х',
у',z', а
-
угловая скорость этой системы. Проектируя
изменённое уравнение (3.65) на оси х',
у',z'
-
получаем
Полученные уравнения называют видоизмененными уравнениями Эйлера.
Пример.
Рассмотрим вопрос об устойчивости
вращения твердого тела по инерции. Пусть
твердое тело, закрепленное в точке
О,
вращается вокруг одной из главных осей
инерции (например, вокруг оси Ох),
и
движущие моменты полностью компенсируют
моменты сопротивлений, т. е.
.
Тогда решение
удовлетворяет уравнениям Эйлера
(3.65) с нулевыми правыми частями. Будет
ли это решение устойчивым? Для выяснения
этого вопроса исследуем возмущенное
движение, угловые скорости которого
представляются выражениями
(3.66)
-
малые возмущения (малые функции времени).
Подставляя величины (3.66) в уравнения
Эйлера с нулевыми правыми частями и
отбрасывая величины второго порядка
малости, получим
(3.67)
Из
первого уравнения (3.67) следует, что
=
const;
оставшиеся неизвестные (
)
будут решениями уравнения
,
где
(3.68)
Очевидно,
что устойчивость невозмущенного движения
будет иметь место при ограниченных
решениях уравнения (3.68), что, в свою
очередь, будет при положительных
значениях коэффициента
.
Тогда
условие устойчивости нашего невозмущенного
движения переписывается так:
,
и оно будет
выполнено при вращении по инерции вокруг
главной оси с наибольшим или с наименьшим
моментом инерции.