- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
В случае поступательного движения твердого тела, обозначая через v скорость, одинаковую для всех точек тела, найдем согласно формуле (3.85): , где через М обозначена масса тела. В случае вращения тела вокруг неподвижной оси Oz, обозначая угловую скорость через и расстояние элементарной массы от оси вращения через , имеем: , и формула (110) дает:
, (3.89)
где - момент инерции тела относительно оси вращения.
В случае плоского движения твердого тела относительным движением по отношению к поступательно движущимся осям является вращение тела с его угловой скоростью . Поэтому, поместив начало поступательно движущейся системы в центр инерции тела С, можем применить для вычисления величины , входящей в выражение (3.88), только что полученную формулу (3.89):
где - момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр инерции. Эту формулу можно преобразовать к виду, более удобному для некоторых приложений. Напомним, что , где PC — расстояние между мгновенным центром скоростей Р и центром инерции С. Тогда получим
Так как мгновенный центр меняет в процессе движения свое положение, совпадая с различными точками фигуры, то отрезок PC изменяет свою длину, зависящую от положения фигуры, т. е. не является постоянной величиной.
Переходим к вычислению кинетической энергии твёрдого тела. Удвоенное значение кинетической энергии твёрдого тела представляется интегралом . Подставив в эту формулу скорость точки твёрдого тела , после некоторых простых преобразований получим
(3.90)
Для вычисления последнего интеграла произведём преобразование подынтегрального выражения, рассматривая его как скалярно-векторное произведение трех векторов: , и ; произведя круговую перестановку сомножителей в нём и раскрывая при этом двойное векторное произведение, используем далее единичный тензор и формулу (50)
Подставляя этот результат в формулу (3.90), находим окончательное выражение для кинетической энергии твёрдого тела в самом общем случае движения
§ 3. Работа силы. Мощность.
Для характеристики действия силы на материальную точку на протяжении некоторого пути вводится мера этого действия, называемая работой силы. Сначала введем в рассмотрение понятие элементарной работы. Будем определять положение точки М на кривой дугой s, отсчитываемой от точки . Вектор-радиус точки М будет вектор-функцией от s. Работа силы на этом элементарном перемещении, или элементарная работа определится выражением Рис 61
Если сила перпендикулярна к перемещению, то cosα = 0 и работа равна нулю; если сила направлена по перемещению cosα=l и работа равна произведению величины силы на величину перемещения, и, наконец, если сила направлена против движения, то cosα= - 1 и произведение уже берется со знаком минус. Таким образом, в определении работы учитывается зависимость эффекта действия силы от направления ее по отношению к перемещению. Измеряется работа в килограммометрах (кгм) в технической системе единиц, в эргах (дина см) или джоулях ( эргов) - в физической системе. В общем же случае выражение не представляет полного дифференциала и символ следует понимать только как символ бесконечно малой величины, а отнюдь не дифференциала. В дальнейшем будет выяснено наличие частных классов сил, элементарная работа которых является полным дифференциалом некоторой функции от координат точки. Работа силы на конечном перемещении определиться интегралом
Интегрирование в полученном выражении производится по величинам, отнесенным к бесконечно малым дугам кривой . Поэтому этот интеграл называется криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги кривой от точки до точки . Такие интегралы (они называются криволинейными) часто встречаются в различных вопросах механики, гидродинамики и электродинамики.
Рассмотрим несколько примеров, когда вычисление работы может быть сведено к вычислению простого определенного интеграла:
1. если движение происходит по прямолинейной оси, например по оси Ох, и сила являлась функцией одного только х, то элементарная работа действительно представляет дифференциал .
2. Предположим, что движение точки задано уравнениями и, кроме того, задан закон изменения силы в зависимости от изменения времени, координат и скорости. Тогда, написав выражение элементарной работы через проекции силы и перемещения на оси и подставив их выражения через время t, получим ,где Ф (t) - известная функция времени. Чтобы найти работу на пути , надо взять интеграл
, где - моменты, соответствующие прохождению движущейся точкой положений и . Задача свелась к вычислению определенного интеграла по аргументу t.
3. Область пространства, в каждой точке которого однозначно определена некоторая функция, будем называть полем; в зависимости от того, будет эта функция скалярной, векторной или тензорной величиной, поле будет скалярным, векторным или тензорным. Так, скалярным полем будет температурное поле, когда вокруг источника тепла (нагретого тела) в каждой точке окружающей это тело среды будет свое значение температуры. Для движущейся сплошной среды (жидкость, газ) поле скоростей точек этой среды является примером векторного поля. Примером тензорного поля может служить малая деформация среды — в каждой точке среды относительные удлинения и углы сдвига образуют некоторый тензор, называемый тензором малых деформаций. Силовым полем называется область пространства, в каждой точке которой определен вектор силы , действующий на помещаемое в эту точку материальное тело. Силовое поле называется потенциальным, если сила представляет собой градиент скалярной функции. Рассмотрим свойства потенциальных силовых полей. По определению
, (3.91)
где оператор «набла» в декартовой системе координат равен
Здесь П = П(x, у, z) - потенциальная энергия (или потенциал) силового поля. Тогда
а это, в свою очередь, означает, что дифференциальная форма (элементарная работа)
(3.92)
в рассматриваемом случае будет полным дифференциалом. Итак, элементарная работа потенциальной силы является полным дифференциалом. Интегрируя соотношение (3.92) на конечном участке движения точки (от до , получим выражение для работы на конечном участке пути
Правая часть полученного выражения зависит только от положения (координат) начальной и конечной точек и, следовательно, работа в потенциальном силовом поле не зависит от вида пути. Рассмотрим поверхность равного потенциала П (х, у, z) =const. Сила направлена по нормали к поверхности равного потенциала; знак «минус» в формуле (3.91) указывает, что потенциальная сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии. Надо отметить, что потенциальная энергия была введена дифференциальным путём и поэтому определена с точностью до аддитивной постоянной; эта постоянная будет зафиксирована, если условиться об отсчёте потенциальной энергии от некоторого начального уровня.
Желая охарактеризовать работу с точки зрения времени, в течение которого она производится, вводят понятие мощности, как отношения произведенной работы к протекшему времени или как работу, отнесенную к единице времени. Обозначая мощность через N, можем написать:
Мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости. За единицу мощности можно принять любую единицу работы, отнесенную к единице времени, т. е. эрг/сек, джоуль/сек, кГм/сек; обычно за единицу мощности принимают следующие единицы:
1 ватт= эрг/сек = 1 джоуль/сек = 0,102 кГ м/сек,
1 киловатт =103 ватт= эрг/сек= 102 кГ м/сек,
1 кГ м/сек =9,807 ватт,
1 л. с. (HP) = 75 кГ м/сек = 0,736 киловатт.
Иногда принято работу измерять в единицах мощности, умноженных на единицу времени, т.е. в ватт • сек, в киловатт-часах и т.п.