- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
Динамика точки и твёрдого тела
__________________________________________________________
Глава 9. Динамика точки.
§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
При описании процессов, происходящих в окружающем нас мире, мы используем определенные математические модели; эти модели правильно отражают основные, главные свойства материи и по мере увеличения наших знаний все более усложняются, что дает возможность описывать процессы, характер протекания которых на предыдущем этапе исследований был нам еще не ясен.
Классическая механика- механика Ньютона - является одной из таких моделей; она изучает законы, которым подчиняются процессы движения материальных тел в пространстве. При этом пространство наделяется рядом свойств: оно считается трехмерным, евклидовым и непрерывным.
Трехмерность пространства означает, что положение любого его места (точки) определяется тремя величинами — тремя координатами; обычно употребляются три декартовы (прямоугольные) координаты; при этом принимается постулат о возможности отсчитывать эти координаты от некоторой неподвижной точки (начала координатной системы).
Пространство считается евклидовым, что предполагает отсутствие в нем кривизны; иначе говоря, принимается постулат Евклида о том, что параллельные прямые не пересекаются. С физической точки зрения это положение соответствует утверждению, что свойства пространства не зависят от содержащегося в нем вещества. Наконец, пространство предполагается непрерывным, т.е. считается, что расстояние между двумя точками может быть сколь угодно малым и не существует предельно малой длины, которая бы ограничивала малость расстояний и размеров.
Движение материальных тел в пространстве осуществляется с течением времени. В механике Ньютона время не связано с пространством и темп течения времени принимается одинаковым для всех тел, независимо от скоростей их движения; время также считается непрерывным. Всё это представляется нам совершенно естественным, как необходимые поправки оказываются несущественны для тех относительно небольших, по сравнению со скоростью света, скоростей и больших, в сравнении с элементарными частицами, размеров движущихся тел, с которыми мы встречаемся при изучении обычных процессов движения. Однако все это не совсем верно; это лишь первое приближение к познанию явлений, происходящих в окружающем нас мире. Мы теперь знаем, что механика Ньютона неприменима к изучению процессов движения, происходящих с большими скоростями, и при рассмотрении явлений, происходящих в микромире. Данные современной науки позволяют утверждать, что пространство имеет кривизну, которая зависит от распределения в нем тяготеющих масс; что время нельзя отрывать от пространства: трехмерное пространство и время следует заменить четырехмерным пространственно-временным континуумом; темп времени и размеры движущихся тел зависят от скорости движения наблюдателя. Наконец, изменилось и понятие массы как неизменной характеристики инерции каждого отдельного тела; оказалось, что масса является переменной величиной и зависит от скорости движения тела. В последнее время возникли серьезные сомнения в непрерывности пространства и времени; по-видимому, пространство и время, так же как и вещество, надо считать дискретными, т. е. существуют наименьшие размеры и наименьший интервал времени — кванты пространства и времени.
Таким образом, классическая механика не может описывать движение тел при любых условиях и имеет ограниченную область применения — при немалых размерах движущихся тел и при небольших скоростях их движения. В этом диапазоне механика Ньютона оправдала себя многочисленными совпадениями процессов движения тел, предсказанных расчетами, с действительно происходящими и наблюдаемыми в природе и в технике.
Классическая механика опирается на ряд положений, аксиом, провозглашаемых без доказательства, а затем, на базе принятых положений, выводятся дифференциальные уравнения движения материальной точки и системы материальных точек, уравнения движения твердого тела, общие теоремы и вариационные принципы, позволяющие решать конкретные частные задачи. В ряде случаев это оказывается недостаточным. Тогда приходится обращаться к экспериментам и вытекающим из них законам, устанавливающим зависимости действующих на тела сил от их взаимного расположения, от скоростей ихдвижения и т. п. Так, в теоретической механике используются; закон всемирного тяготения Ньютона, закон Гука (для упругих сил), законы Кулона (для сил трения), аэродинамические законы сопротивления движению твердых тел в жидкой и газообразной средах и др.
В теоретической механике с успехом применяются абстрактные понятия материальной точки и абсолютно твердого тела. Под материальной точкой понимается модель тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь, но оно обладает конечной массой. На определенном этапе изучения механики становится очевидным, что материальной точкой можно называть тело любого размера, если не учитывается его вращение.
Абсолютно твердым телом называется такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого не изменяется. Иначе говоря, твердое тело предполагается настолько жестким, что можно пренебречь его деформациями. Окружающие нас материальные тела находятся в непрерывном движении и взаимодействуют друг с другом. Поскольку понятие «движение» можно трактовать весьма широко, следует оговорить, что здесь под движением понимается перемещение тел в пространстве с течением времени. Взаимодействия тел, результатом которых является их движение, будем называть силами. Пространство и время являются формами существования материи, и как материальное тело не может существовать вне пространства (и времени), так не бывает и «пустого пространства», т. е. пространства без материальных тел. Даже в глубоком космосе имеется вещество, достаточное количество частиц, хотя бы и в очень малой концентрации. Тем не менее можно представить себе материальную точку, помещенную в «пустое пространство», иначе говоря, настолько удаленную от остальных материальных тел, что их действиями на нее можно пренебречь; такая материальная точка называется изолированной.
Аксиома 1 (первый закон Ньютона): ускорение изолированной материальной точки равно нулю:
Интегрируя это уравнение, получаем , где --постоянный вектор, который может быть и нулём. Т.о., первую аксиому можно сформулировать так: изолированная материальная точка неподвижна или движется с постоянной по величине и направлению скоростью.
Если же материальная точка не изолирована, то на нее действуют другие материальные тела, вследствие чего у рассматриваемой материальной точки появляется ускорение; количественное выражение этого ускорения определяется второй аксиомой динамики.
Аксиома 2 (второй закон Ньютона): ускорение, приобретаемое материальной точкой при действии на нее силы, пропорционально величине этой силы и направлено по направлению действия силы. Вторая аксиома выражается векторной формулой
,
в которой коэффициент пропорциональности т, называемый массой точки, определяет меру сопротивляемости точки изменению ее движения, т. е. характеризует инерцию точки. Из второго закона Ньютона непосредственно следуют дифференциальные уравнения движения материальной точки. Сила, которая приложена к данной точке (телу) и сообщает ей ускорение, есть результат действия на нее некоторого другого тела. Очевидно, что и это другое тело испытывает действие силы со стороны данной точки, также приводящее к изменению его движения. Если взаимодействующие друг с другом два тела имеют одинаковые массы, то они будут находиться в равных условиях, и, следовательно, силы, действующие на каждое из этих тел, будут одинаковы. Что же будет происходить при разных массах взаимодействующих тел? Ответ на этот вопрос дает третья аксиома динамики.
Аксиома 3 (третий закон Ньютона): силы взаимодействия двух тел равны по величине, действуют вдоль одной прямой и направлены в противоположные стороны. Это положение кратко формулируется так: действие равно и направлено противоположно противодействию.
Так как материальная точка может находиться в окружении многих тел, а каждое тело будет действовать на данную точку с некоторой силой, возникает вопрос, какое ускорение приобретает точка в этом случае. Если допустить, что действие нескольких сил на точку можно, как и в статике, заменить действием только одной силы — их равнодействующей, то задача отыскания ускорения решается сразу. Таким образом, приходим к четвертой аксиоме динамики.
Аксиома 4 (принцип независимости действия сил): ускорение, приобретаемое материальной точкой при действии нескольких сил, равно геометрической сумме тех ускорений, которые имела бы точка при действии каждой силы в отдельности.
Пусть на точку действуют п сил. Следуя второй и четвертой аксиомам, имеем:
……………
Складывая левые и правые части этих соотношений, получаем
(3.1)
где ,
Таким образом, в правой части уравнения движения материальной точки (3.1) стоит равнодействующая всех сил, действующих на эту точку.
Различают два типа движения точки: свободное и несвободное, когда на ее перемещения наложены ограничения, называемые связями. На свободную точку действуют силы, которые подчиняются определенным закономерностям; эти силы называются задаваемыми или активными. Так силы упругости и силы тяготения известным образом зависят от координат точки; силы сопротивления зависят от скорости движения точки; существуют активные силы, зависящие от времени(вынуждающие силы).
При несвободном движении материальной точки, наряду с задаваемыми силами, на нее действуют еще силы реакций связей, которые являются неизвестными и могут быть найдены лишь. после определения закона движения самой точки. В этом случае, естественно, решение задачи усложняется.